PraktykumLAAG

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.5. Обчислити визначник

зведенням до трикутного вигляду.

2.5. Обчислити визначник

зведенням до трикутного вигляду.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

																		1. Матриці									71
													0
											5		0

																	T
													1				T
14) BD не існує, DB 1													1	, D B не існує;

													1
											6		1

						4		19
					5	4		19
																	42	37
																	42	37
15) CC				T		16		20			T										2		,CD не існує;
15) CC					4	16		20		,C C								53	,C				,CD не існує;
															37			53
						20
					19	20		74

						3		13
					10	3		13
																26
				T							T					26		7				2
				T		1		4			T								, D			2		, DC			не існує;
16) DD					3	1		4	, D D									2	, D					, DC			не існує;
															7			2
						4
					13	4		17

																				1				1
											7							7		1				1


17) c L не існує, Lc																				20				1
17) c L не існує, Lc									52 , LM 27											20				1			,
		1						1
																				13
											32							15		13				1

					8	6														7				6
			11		8	6														7				6

2
2					51	48																		46
L			22		51	48	,CL не існує, LC												52					46	;

					33
			14		33	33													32					23

												5								3				6
												5						4		3				6


18) d M не існує, Md												9								15				15
18) d M не існує, Md												9	, ML 8							15				15			,
		1							1
																				9
												7						12		9				9

					4																5			2
			3		4	1															5			2

	2
M	2				5	1																		2
M		7			5	1	, DM				не існує, MD 9													2			;

					1
			5		1	3														7				2

																								7
																		19						7


																					52
19) c Lc ,CLA, ACL не існує, LCA 144																					52				;
		1		1

																		78			32

																				9				1
																				9				1


																									3
20) d Md , DMB, BDM не існує, MDB 13																									3	.
		1		1

																			11						1

		6				2 5					3 2				2	1
		6	4			2 5	1 5				3 2				2	1
1.20. 1)				2)					X
1.20. 1)			;	2)			; 3)		X		1		,Y				;
	2		6		1 5		2 5				1	3		1		2

		2 5 1 5
		2 5 1 5					3 5		1 5
4) X
4) X					,Y					.
	3 5 2 5						2 5		3 5

		52	468		156		312
1.21. 1)		52	468		156		312	; 2)		24

			171			57					.
	19		171			57	114			58

72	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

		0	2					3 2			1
1.22. 1)		0	2			2)		3 2			1
					;
					;								.
	2		0				1 2				6

		1	2									1		na						n	n	n 1
		1	2									1		na							n
					;	2)	O		;	3)
1.23. 1)					;	2)	O		;	3)							; 4)						n	.
	0						3 3				0												n
	0		1								0				1			0

														1				1 8										3
					8			2						1				1 8						6 6				3
					8			2
1.24. 1)	O										3)						25		1						11			1
1.24. 1)	O		; 2)							;	3)		13				25		1		; 4)			3	11			1		.
		2 2				1		10
						1		10
																	29 4								6
													16				29 4							6	6		11

	a		b							a b					5a										2		0				2		7
	a		b							a b					5a										2		0				2		7

1.26. 1)				,a,b ; 2)														,a,b . 1.27. 1)											;	2)
1.26. 1)				,a,b ; 2)														,a,b . 1.27. 1)											;	2)		9		.
										a															1							9
	0 a									a						b									1	1							5
																																2	5
																																2

2. Визначники

Навчальні задачі
						3 1			2
						3 1			2


					3			1	6
2.1. Для матриці A					3			1	6	знайти доповняльний мінор та алгебрич-

						7		0
						7		0	4

не доповнення елемента a12.
Розв’язання. [1.6.2, 1.6.3.]


		3	1 2				3	6
		3	1 2

M12	3		1	6					( 3) 4 6 7 12 42 54;
	7		0	4			7	4
	7		0	4
	викреслюємо
	викреслюємо
	1-й рядок і 2-й
	стовпець
								
							A ( 1)1 2M				12	54.
						12					12

Коментар. Щоб одержати мінор M12 елемента a12, треба з матриці A ви-

креслити 1-й рядок і 2-й стовпець.

Визначник одержаної матриці і буде мінором M12.

 Aij ( 1)i j Mij .

														2. Визначники												73
											1			3		1
											1			3		1


2.2.											1 2					0
2.2.			Задано матрицю A								1 2					0	.

											1			5
											1			5		3

2.2.1.			Обчислити визначник detA за означенням.
Розв’язання. [1.6.1.]
			3	1			1 1		2 0									1 2		1	0			1 3	1 2		
		1
		1

		1 2		0		1 ( 1)				5 3						3 ( 1)				1	3		1 ( 1)		1 5
		1	5 3
		1	5 3			1 ( 6) 3 3 1 ( 7)															22.
						1 ( 6) 3 3 1 ( 7)															22.
							обчислюємовизначники 2- гопорядку
						0
Коментар. 					2	0	2	( 3) 0								5 6;
Коментар. 					5	3	2	( 3) 0								5 6;
	1		0												1 2
				( 1) ( 3) 0				1 3;										( 1) 5 2 1 7.

	1 3															1 5

2.2.2.			Обчислити визначник detA за схемою Саррюса (трикутників).
Розв’язання. [1.7.2.]
								3		1			1			3		або	1		3	1
							1
							1
							1	2		0		1				2
							1	5		3			1			5			1		2	0
																			1		5	3
																			1		5	3

det A (1 2 ( 3) 3 0 1 1 ( 1) 5)(1 2 1 1 0 5 3 ( 1) ( 3))

11 11 22. i j k

2.3.1. Обчислити визначник 2 1 3 , розкладаючи його за 1-м рядком.

7 4 0

Розв’язання. [1.7.3.]

i ( 1)1 1


	j	k
1		3	a11A11 a12A12 a13A13
4		0
1		3			2	3
				1 2				1 3
				1 2				1 3
4		0	j ( 1)		7	0	k ( 1)

12i 21j 15k .

2 1

7 4

74	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

	1	a	2
2.3.2 Обчислити визначник	3	b	6	, розкладаючи його за 2-м стовпцем.
	7	c	4

Розв’язання. [1.7.3.]

	1	a	2
	3 b 6			a12A12 a22A22 a23A23
	7	c	4
			6		1 2		1 2
				2 2		3 2
1 2		3		2 2		3 2
a( 1)		7	4	b( 1)	7 4	c( 1)	3 6

54a 10b 12c.

2.4.Користуючись властивостями, довести, що

					4 2				4	2
					2 3				2	3	0.
					1 1

Розв’язання. [1.8.2, 1.8.3, 1.8.5.]
	4 2		4 2		[1.8.2]			4 4 2					2 4 2	[1.8.3]
	4 2		4 2					4 4 2					2 4 2

	2 3 2			3				2 2 3					3 2 3
	1 1							1 1					1 1

	Визначник дорівнює сумі						Виносимо спільний					Виносимо спільний
двох визначників,							множник					множник
оскільки1-й стовпець							1-го стовпця					1-го стовпця
є сумою двох стовпців
			4	2				2	4	2	[1.8.5]
		4	4	2				2	4	2

		2	2 3					3 2 3			0 0 0.
		1	1 1					1 1 1
		Визначник має
		Визначник має				Визначник має
	два рівні стовпці					два рівні стовпці

Розв’язання. [1.9.2–1.9.5.]

2. Визначники

1 0 1 0

3 3 5 12 4 1 1 2 2 0 1

Множимо1-й рядок на відповідні коефіцієнти і віднімаємойого від решти рядків


a2	a2

a3	a3

a4	a4

			1	0	1	0
												
3a1			0 3		8 1					4
2a			0	4	3 1			a3	a3	3	a2
1					2 1					3
2a1			0	2	2 1					2
			Множимо 2-й рядок				на	a4	a4	3 a2
			Множимо 2-й рядок				на	a4	a4	3 a2
		відповідні коефіцієнти
		і віднімаємо йоговід
		3- гота 4 -го рядків

	1	0	1	0										1		0	1	0
	0	3	8	1										0		3	8	1		[1.9.3]
	0	0	41		1									0		0	41		1
	0	0	3		3									0		0	3		3
			3		3						10						3		3
			10	5							10						0 65
	0	0	10	5			a	4	a4		41	a3		0 0			0 65
			3		3						41							41
			3		3													41
	Множимо 3-й рядок					на
відповідний коефіцієнт
і віднімаємо йоговід
4- го рядка
										41			65		

								1 3							65.
								1 3							65.
										3
										3			41

Коментар. Формуємо 1-й стовпець — додаванням до решти рядків 1-го рядка з відповідними коефіцієнтами, досягаємо нулів під елементом a11 (якщо 1-й

стовпець нульовий, то і визначник дорівнює нулеві; якщо ж ні, переставленням рядків завжди можна досягнути, щоб 1-й елемент 1-го стовпця був ненульовий (зручніше за все — одиниця)).

Додаємо до 2-го рядка 1-й рядок, помножений на ( 3), і записуємо результат у 2-й рядок.

Додаємо до 3-го рядка 1-й рядок, помножений на 2 і записуємо результат у 3-й рядок.

Додаємо до 4-го рядка 1-й рядок, помножений на ( 2), і записуємо результат у 4-й рядок.

Перший стовпець трикутної матриці сформований.

Формуємо 2-й стовпець (1-й рядок не бере участь у перетвореннях).

		4
		4
Додаємо до 3-го рядка 2-й рядок, помножений на			, і записуємо результат
		3
		3
у 3-й рядок.
	2
	2
Додаємо до 4-го рядка 2-й рядок, помножений на		, і записуємо результат у
	3
	3

4-й рядок.

Формуємо 3-й стовпець (1-й і 2-й рядки не беруть участь у перетвореннях).

76	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

	10
	10
Додаємо до 4-го рядка 3-й рядок, помножений на		, і записуємо результат

	41

у4-й рядок.

Визначник матриці з цілими елементами є цілим числом (хоча під час обчис-

лення можуть виникати дроби).

2.6. Знайти		методом приєднаної матриці обернену матрицю до матриці
	2	3	1


	4	5	2
A				.

		7	3
5

Розв’язання. [1.10.4.]
[Крок 1. Обчислюємо визначник матриці A. ]
	2	3	1
detA	4	5	2	1 0.
	5	7	3

Існує обернена до матриці A.
[Крок 2. Знаходимо алгебричні доповнення A																						елементів a				матриці.]
																					ij			ij
	A					5 2			1,A							4				2	2,A				4 5		3,
	A					5 2			1,A							4				2	2,A				4 5		3,
		11				7 3						12				5				3			13		5 7
		A				3 1			2,			A					2			1	1,		A		2 3		1,
		21				7 3						22					5			3			23		5 7
		A				3 1			1,A									2		1	0,		A		2 3		2.
		A				3 1			1,A									2		1	0,		A		2 3		2.
				31		5 2						32						4		2			33		4 5
[Крок 3. Складаємо приєднану матрицю.]
											1 2			3					T			1	2 1
											1 2			3								1	2 1

							A					2	1 1									2	1	0
							A					2	1 1									2	1	0	.

													0										1
										1			0			2					3		1	2

[Крок 4. Знаходимо обернену матрицю A 1.]
				1		2 1						1	2		1
		1		1		2 1						1	2		1
1		1
1					1			0					1						0
A			2		1			0		2			1						0	.

		1			1			2					1						2
			3		1			2			3		1						2

[Крок 5. Перевіряємо правильність обчислень.] 
				1		2 1					2 3		1							1 0 0
				1		2 1					2 3		1							1 0 0
1
1				2 1			0				4 5		2							0 1 0
A A				2 1			0				4 5		2							0 1 0			.

					1 2						5 7
			3		1 2						5 7		3							0 0 1

Коментар. Якщо detA 0, то для матриці A не існує оберненої. Якщо detA 0, то обернена матриця існує.

2. Визначники			77
Алгебричні доповнення знаходимо за формулою A	( 1)i j M	ij	.
ij		ij

Мінори Mij дістаємо викреслюванням з визначника i -го рядка та j -го стовпця.

Приєднану матрицю знаходимо за формулою

	A		A	A	T
		11	12	13
A			A	A
A	A		A	A	.
		21	22	23
			A	A
	A		A	A
		31	32	33

Обернена матрицю знаходимо за формулою

A 1 det1 A A .

Досить перевірити рівність A 1A En .

															1	1
2.7. Розв’язати		матричні	рівняння						AX B, XA B,
2.7. Розв’язати		матричні	рівняння						AX B, XA B,					де A	0		,
															0	1


B	2	0
B		.
	1	3

Розв’язання. [1.10.7.]
detA 1	0. Отже, існує матриця
		1									1
		1		1 1				1			1	1
		A									0	.
		A										.
						0		1				1
				1
						AX B;
		1			1 1					2			3 3
		1			1 1					2	0		3 3
		X A B											1 3	.
					0 1				1		3		1 3

						XA B;
		1			2								2 2
		1			2		0		1 1				2 2
		X BA			1									.
					1		3		0		1	1 2

Коментар. Завдяки невиродженості матриці A матричне рівняння можна розв’язати за допомогою оберненої до A матриці.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

2.8.За яким правилом обчислюють визначник квадратної матриці: а) 1-го порядку; б) 2-го порядку; в) 3-го порядку?

2.9.Як зв’язані між собою алгебричне доповнення і мінор заданого елемента? Чому дорівнює доповняльний мінор та алгебричне доповнення еле-

	a			a
		11		12
мента a12	матриці A					?
мента a12	матриці A			a		?
	a		21	a	22
			21		22

78	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

2.10.Задано матрицю A. Обчисліть доповняльні мінори та алгебричні доповнення вказаних елементів:

		3	1 2
		3	1 2


1)		3	1 6		;
1)	A	3	1 6	,a22,a32	;

		7	0 4
		7	0 4

2.11. Обчисліть визначник:

1 4 1) 5 2 ;

3)	cos	sin	;
	sin	cos
5)		log 1
			;
	1
	logb a	a b
		1

1 2 3

7)4 5 6 ;

7 8 9

1 2 1

9)0 1 7 ;

0 0 10

				0			1		0
				0			1		0


2)				0 2 7
2)	A			0 2 7							,a23,a11.

				1 1 4
				1 1 4

2)		2 1				;
		2 1
		3	4
4)		a b				a b				;


		a b				a b

6)		loga b					loga2 b					;
		loga b					loga2 b
		log 2 a					log		a
			b					b
			2 2
		1	2 2
8)		2 1 1						;
		3	1		4

1 0 0

10)2 1 0 .

1 7 10

2.12. Знайдіть значення ,					при яких визначник дорівнює нулеві:
1)			;				2)		3	2	;
	1								3	2
	3	5						2

	1 2			0					11	2	8
	1 2			0					11	2	8
3)		0	2 0			;	4)		2	2 10		.
		2	2	1					8	10 5

2.13. Обчисліть визначники розкладанням за символічним рядком:

	a	b	c			a	1	4
1)	1	3	5	;	2)	b	2	5	;
	2	4	6			c	3	6

						2. Визначники				79
		3	4	1			a	1	1	1
	2	3	4	1			a	1	1	1
3)	4	2	3	2	;	4)	b	0	1	1	.
3)	a b c d				;	4)	c 1		0	1	.
	3	1	4	3			d	1	1	0

2.14.Скільки доданків входить у формулу повного розкладу визначника: 1) 4- го порядку; 2) 5-го порядку?

2.15.1) Відомо, що det A 2. Чому дорівнює det AT ?

2) Відомо, що det A5 5 3. Чому дорівнює det(2A)?

3) Наведіть приклад двох таких матриць A та B, що det(A B) det A det B.

4) Чи правдиве твердження det AB det BA, якщо AB BA для квадратних матриць A та B ?

2.16. Чому дорівнюють визначники:

0 0 0

; 2)

b e

; 3)

2a 2b 2c

2.17. Користуючись властивостями визначника, доведіть, що:

	1	2	3	1	0	0			1 1 3		0	0 5
1)	1 0		1	1 2		4	;	2)	2 3	4	0 1		0	.
	2	3	4	2	1 2				1 1	2	1 1		2

2.18. Користуючись властивостями визначника, обчисліть визначник:

1)	131	231		;		2)	13547	13647	.
1)	130	230		;		2)	28423 28523		.

		427	327				15325	15323	37527
	246	427	327				15325	15323	37527
3)	1014	543	443		;	4)	23735	23735	17417	.
	342	721	621				23737	23737	17418

80	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

2.19. Обчисліть визначники, методом елементарних перетворень:

	1	2	3	4			3	5	1	4
1)	2	3	4	1	;	2)	1	3	0	2	;
1)	3	4	1	2	;	2)	3	5	2	1	;
	4	1	2	3			1	3	5	7

	3 3			2				5
3)	2	5		4					6		;
3)	5	5		8					7		;
	4	4		5					6
		2	3		4		5

	1
	5	1	2		3		4
5)	4	5	1	2			3			;
	3	4	5	1			2
	2	3	4	5			1


		2			3						5	3

7)		6			21						10	2 3		;
7)		10	2			15					5		6	;
		10	2			15					5		6

	2			2	6						10	15
			2		2		...				2

	3
	2		3		2		...				2
9)	2		2		3		...				2	;
	... ... ... ... ...
	2		2		2		...				3

2.20.Числа 185, 518, 851 діляться на

ділиться на 37.

	3	5	2	2
4)	4	7	4	4	;
4)	4	9	3	7	;
	2	6	3	2

2 1 1 1 1

1 3 1 1 1

6)1 1 4 1 1 ;

1 1 1 5 1

1 1 1 1 6

	1		2	3	...	n
	1		0	3	...	n
8)	1		2	0	...	n	;
	... ... ... ... ...
	1		2	3	...	0
			2	3 ...	n

		1
		2	2	3 ...	n
10)		3	3	3 ...	n	.
		... ... ... ... ...
		n	n	n ...	n
									8	5

								1
37. Доведіть,				що визначник				5	1	8
								8	5	1

2.21.Доведіть: 1) що добуток двох невироджених матриць є невиродженою матрицею; 2) що добуток двох квадратних матриць, з яких хоча б одна вироджена, є виродженою матрицею.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf