PraktykumLAAG
.pdf
|
|
|
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
|
|
|
11 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
Переставні матриці. Якщо |
Одинична матриця En та нульова |
|
|
||||||||
|
матриці A та B справджують |
матриця On |
порядку n переставні з |
|
||||||||
|
співвідношення AB BA, то їх |
|
||||||||||
|
називають переставними. |
|
будь-якою квадратною матрицею того |
|
||||||||
|
|
ж порядку. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AEn EnA A |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
OnA AOn |
On |
|
|
|
|||
|
Натуральний степінь k |
Матричний многочлен. Якщо |
|
|
||||||||
|
квадратної матриці A розуміють як* |
f (x) akx |
k |
... a1x a0 |
, то |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A AA...A; A |
def |
многочленом f (A) від матриці A |
|
|
|||||||
|
E . |
|
|
|||||||||
|
k |
|
0 |
n |
|
|
||||||
|
|
n n |
називають матрицю |
|
|
|
||||||
|
|
k разів |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f (A) a |
Ak ... a A a E |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
0 n |
|
|
1.5. Транспонування матриць
|
Транспонування матриці. Заміну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
| |
|
|
|||
|
рядків матриці на її стовпці, а стовпців |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
— на рядки, називають |
|
|
a |
a |
2 |
a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
транспонуванням матриці. |
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
||||||||
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Матрицю, розміром n m, яку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
одержують з матриці A розміром |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m n транспонуванням стовпців |
|
|
|
|
|
(a |
2 |
) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рядків), називають транспонованою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a ) |
|
|
|
|||||
|
матрицею до A і позначають A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||||
|
aT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
ji |
,i 1,m, j 1,n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Властивості транспонування |
Симетрична і кососиметрична |
||||||||||||||||||
|
матриць. |
|
|
|
|
|
|
|
|
матриця. Матрицю A називають |
||||||||||
|
(AT)T A; |
|
|
|
|
|
|
симетричною, якщо |
|
|
|
|
|
|||||||
|
(A B)T AT BT; |
|
|
|
|
AT A, |
|
|
|
|||||||||||
|
( A)T AT; |
|
|
і кососиметричною, якщо |
|
|||||||||||||||
|
T |
|
T T |
|
|
|
|
AT A. |
|
|
|
|||||||||
|
(AB) |
B A |
|
|
Добуток будь-якої матриці на |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
транспоновану до неї матрицю є |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симетричною матрицею. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Матрицю A можна помножити саму на себе тоді й лише тоді, коли вона квадратна.
12 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1.6. Індуктивне означення визначника
Визначник матриці. Визначником |
При n 1: |
|
|||||||
(детермінантом) квадратної матриці |
n |
|
|||||||
A називають число |
|
A |
|
detA, яке |
det A ( 1)1 k a1kM1k , |
||||
|
|
||||||||
обчислюють за правилом |
k 1 |
|
|||||||
При n 1 : |
де M1k — визначник матриці порядку |
||||||||
|
a11 |
|
a11. |
(n 1), яку одержано з матриці A |
|||||
|
|
||||||||
|
|
викреслюванням 1-го рядка та k -го |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
стовпця . |
|
|
|
||||||||
Доповняльний мінор. Визначник |
Алгебричне доповнення. Число |
||||||||
матриці, одержаної викреслюванням з |
A ( 1)i j M |
|
|||||||
матриці A i -го рядка та j -го стовпця |
ij |
ij |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Mij |
називають алгебричним доповненням |
|
називають доповняльним мінором |
елемента aij . |
|
|||||||
елемента aij . |
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначник матриці порядку n є числом, що дорівнює сумі добутків з n елементів матриці, узятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця матриці з певним знаком.
1.7. Обчислення визначника
Обчислення визначника 2-го порядку
Доповняльні мінори |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M |
|
|
|
a11 |
|
|
a12 |
a |
|
; |
|
||||||||||
елементів 1-го рядка |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
22 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M |
|
|
a11 |
|
|
a12 |
|
a |
21 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
12 |
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула обчислення |
|
|
a11 |
a12 |
|
a a |
|
|
|
|
a a |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
11 |
22 |
|
12 |
|
21 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема обчислення |
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
ad bc |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
d |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначник для неквадратних матриць не означують.
Визначник матриці порядку n означують через визначники матриць порядку (n 1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Обчислення визначника 3-го порядку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Доповняльні мінори елементів 1-го рядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
a22 |
|
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a23 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
M |
|
|
11 |
|
12 |
13 |
|
|
|
;M |
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
|
|
|
a32 |
|
a33 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
|
a32 |
|
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
a31 |
|
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула обчислення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a |
|
a22 |
a23 |
|
a |
|
a21 a23 |
|
a |
|
|
|
a21 a22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
|
|
11 |
|
a |
32 |
a |
33 |
|
|
12 |
a |
31 |
a |
33 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
a |
31 |
a |
32 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Схема Сарюса* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
c |
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
e |
f |
|
|
d |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
h |
i |
|
|
|
g |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(aei bfg cdh) (ceg afh bdi) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Схема трикутників |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислення визначника порядку n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Розклад визначника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
за i -м рядком (1 i n) |
|
|
|
|
|
|
|
det A ( 1)i k aikMik |
|
|
aikAik |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Розкладом визначника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
за j -м стовпцем (1 j n) |
|
|
|
|
|
|
|
detA ( 1)k j akjMkj |
akjAkj |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Простих схем для визначників порядку 4 і вище не існує.
|
14 |
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1.8. Властивості визначника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рівноправність рядків та |
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
a12 |
|
|
|
a11 |
|
|
|
a21 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
стовпців. Транспонування матриці не |
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
a12 |
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
змінює її визначника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
detA detAT |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Лінійність. Якщо стовпець (рядок) |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
b12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
визначника є сумою двох стовпців |
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
b22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(рядків), то визначник дорівнює сумі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
двох відповідних визначників. |
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a11 |
|
b12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Однорідність. Спільний множник |
|
|
|
a |
|
ka |
|
|
|
|
|
k |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
стовпця (рядка) можна виносити за |
|
|
|
a1121 |
ka1222 |
|
|
a1121 |
|
a1222 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
знак визначника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det(kA ) kn det A |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Антисиметричність. Якщо |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
переставити два стовпці (рядки) |
|
|
|
|
a1121 |
|
|
a1222 |
|
|
a1222 |
|
a1121 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
визначника, то він змінить знак. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Умови рівності нулеві визначника. |
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Визначник матриці дорівнює нулеві, |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
якщо матриця містить пропорційні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
стовпці (рядки) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ka11 |
|
ka12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема анулювання. Сума |
|
|
|
|
|
a A |
a A |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
добутків елементів стовпця (рядка) |
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
визначника на алгебричні доповнення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відповідних елементів іншого стовпця |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рядка) дорівнює нулеві. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Визначник не зміниться, якщо до |
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
будь-якого стовпця (рядка) додати |
|
|
a21 ka11 |
|
|
a22 |
ka12 |
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
інший стовпець (рядок), помножений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
на деяке число k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Визначник добутку двох квадратних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
матриць дорівнює добуткові |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
визначників цих матриць. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначник матриці дорівнює нулеві, якщо матриця містить: 1) нульовий стовпець (рядок); 2) два рівні стовпці (рядки).
a11A11 a21A21 det A
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
15 |
1.9. Обчислення визначника методом Ґауса (за допомогою елементарних перетворень)
Елементарні перетворення матриці. Елементарними перетвореннями матриці називають:
1)переставляння стовпців (рядків);
2)множення стовпця (рядка) на число, відмінне від нуля;
3)додавання до стовпця (рядка) іншого стовпця (рядка), помноженого на деяке число.
Дія елементарних перетворень
матриці на її визначник:
1)переставлення стовпців (рядків) змінює знак визначника;
2)помноження стовпця (рядка) на число відмінне від нуля, помножує визначник на це число;
3)додавання до стовпця (рядка) іншого стовпця (рядка), помноженого на деяке число не змінює визначника.
Матриці A та B називають еквівалентними, якщо одна з них одержана з іншої скінченною кількістю елементарних перетворень, і позначають A B.
Визначник верхньої (нижньої) |
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 a1n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
трикутної матриці дорівнює добуткові |
|
|
|
0 |
|
a22 |
a2n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
діагональних елементів. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11a22...ann |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
ann |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Визначник одиничної матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En |
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
дорівнює 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок методу Ґауса. Мета методу — за допомогою елементарних |
|
|||||||||||||||||||||||||||
перетворень звести визначник до трикутного вигляду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a |
21 |
a |
22 |
... |
a |
2n |
|
|
|
|
|
|
as1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
detA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
s |
|
|
|
a ,s |
2,n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
... ... ... |
... |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
an1 |
an2 ... |
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
|
|
a11 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
b |
... |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
22 |
|
2n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
... ... ... |
... |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
bn2 ... |
bnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Крок методу повторюється для визначника n 1 |
і так далі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
16 |
|
|
|
|
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1.10. Обернення матриць |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Обернена матриця. Оберненою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
матрицею до квадратної матриці A |
|
|
|
|
A 1A AA 1 En . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
порядку n називають матрицю A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
таку, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Критерій оборотності матриці. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Квадратна матриця є оборотною тоді й |
|
A — оборотна detA 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
лише тоді, коли вона невироджена |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(det A 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Властивості обернення матриць |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Якщо обернена матриця існує, то |
(A 1) 1 A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
вона єдина. |
|
|
|
|
|
(A 1 )k |
|
(Ak ) 1, |
k 0,1, 2,...; |
|
|
||||||||||||||
|
Матриці A та A 1 взаємообернені й |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
переставні. |
|
|
|
|
|
|
(AB) 1 B 1A 1; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
(A 1)T (AT ) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
detA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
detA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Алгоритм методу приєднаної |
Обернену до A матрицю знаходять |
|
|||||||||||||||||||||||
|
матриці. |
|
|
|
|
|
|
за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Обчислюють визначник матриці A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Якщо detA 0, то оберненої до A |
A 1 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
detA |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
матриці не існує. |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
A |
A |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
21 |
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо detA 0, то будують |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A22 |
An2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 A12 |
|
|
|
||||||||||
|
приєднану до A матрицю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
detA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Aij . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
|
|
||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
2n |
|
|
nn |
|
|
|
|
Формула обернення матриці 2-го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
d |
b |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядку A |
a |
b |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
c |
a |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
detA |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Ґауса — Йордана |
|
|
|
|
|
елементарні перетворення |
|
|
|
||||||||||||||||
|
(елементарних перетворень) |
(A | En ) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
рядків розширеної матриці |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(En | A 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Розв’язання матричного рівняння |
An nXn l |
Bn l X A 1B; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
методом оберненої матриці |
X |
m n |
A |
B |
m n |
X BA 1 |
|
||||||||||||||||||
|
(для невироджених матриць A) |
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
17 |
1.11. Лінійна залежність і незалежність стовпців матриці
Лінійна комбінація стовпців. |
y |
|
|
|
a |
11 |
|
|
a |
1n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лінійною комбінацією стовпців |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
2n |
|
a ,a |
|
,...,a |
з коефіцієнтами |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2,..., n називають стовпець |
y |
|
|
|
|
a |
m1 |
|
|
a |
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|||||||||||||
|
y 1a1 2a2 ... nan . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Лінійна незалежність системи |
Лінійна залежність системи |
|
||||||||||||||||||||
стовпців. Систему стовпців |
стовпців. Систему стовпців |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a1,a2,...,an |
однакової висоти |
a1,a2,...,an однакової висоти |
|
|
|
|||||||||||||||||
називають лінійно незалежною, якщо з |
називають лінійно залежною, якщо |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
існують такі числа 1, 2,..., n, |
|
не |
|||||||||||||
рівності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1a1 |
2a2 ... nan 0 |
рівні одночасно нулеві, що |
|
|
|
|
|||||||||||||||
випливає, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1a1 2a2 |
... nan 0. |
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
2 ... n 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Критерій невиродженості |
Критерій виродженості |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
квадратної матриці. Квадратна |
квадратної матриці. Квадратна |
|
||||||||||||||||||||
матриця невироджена тоді й лише |
матриця вироджена тоді й лише тоді, |
|||||||||||||||||||||
тоді, коли її стовпці лінійно незалежні. |
коли її стовпці лінійно залежні. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Критерії лінійної залежності стовпців |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Система з n 1 стовпців лінійно |
{x1, x2,...,xn,y} — лінійно залежна |
|||||||||||||||||||||
залежна тоді й лише тоді, коли хоча б |
||||||||||||||||||||||
один із стовпців є лінійною |
y |
1x1 |
2x2 |
... nxn |
||||||||||||||||||
комбінацією решти стовпців. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Стовпці a1,...,an |
заввишки n |
|
a1,...,an — лінійна залежні |
|
||||||||||||||||||
лінійно залежні тоді й лише тоді, коли |
|
|
||||||||||||||||||||
визначник матриці, |
утвореної |
|
|
|
|
|
detA 0 |
|
|
|
|
|||||||||||
стовпцями a1,...,an, дорівнює нулеві. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Стовпці e ,i |
|
|
, одиничної матриці E |
лінійно незалежні. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1,n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будь-який стовпець a заввишки n є лінійною комбінацією одиничних стовпців, коефіцієнтами якої є елементи стовпця a.
|
18 |
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
|
|
1.12. Ранг матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підматриця. Підматрицею |
Визначник підматриці порядку k |
|
|
|
порядку k матриці A називають |
називають мінором порядку k. |
|
|
|
матрицю, утворену з елементів |
|
|
|
|
матриці A, які розташовані на |
|
|
|
|
перетині вибраних k |
рядків та k |
|
|
|
стовпців. |
|
|
|
|
Ранг матриці. Рангом матриці A |
Базисна підматриця (мінор) |
|
|
|
називають найбільший з порядків її |
матриці. Невироджену підматрицю |
|
|
|
невироджених підматриць і |
матриці, порядок якої дорівнює рангу |
|
|
|
позначають |
|
матриці, називають базисною, а її |
|
|
rang A. |
визначник — базисним мінором. |
|
|
|
Ранг нульової матриці вважають |
Рядки і стовпці матриці A, які містять |
|
|
|
рівним нулеві. |
|
елементи базисного мінору, називають |
|
|
|
|
базисними. |
|
Теорема про базисний мінор.
Базисні стовпці матриці A лінійно незалежні.
Кожний стовпець матриці A може бути поданий як лінійна комбінація базисних стовпців.
Східчаста матриця. Ненульовий |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
елемент рядка з найменшим номером |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
* |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
називають лідером рядка. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицю називають східчастою, якщо |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||
вона справджує умови: |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) нульові рядки матриці (якщо вони є) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
— лідери; |
|
|
|
|
|
|
||||
розташовані нижче ненульових; |
— будь-які елементи |
|
|
|
||||||
2) номери стовпців, у яких стоять |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лідери рядків, зростають. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Будь-яку матрицю елементарними перетвореннями можна звести |
|
|
|
|||||||
до східчастого вигляду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зведена східчаста матриця.
Східчасту матрицю називають
зведеною (редукованою), якщо:
1)всі лідери рядків дорівнюють 1;
2)над лідерами стоять 0.
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Всі елементи, які розташовані вліво і вниз від лідера рядка східчастої матриці нульові.
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
19 |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
Властивості рангу матриці. |
Ранги еквівалентних матриць рівні. |
|
||||||||||
|
Ранг матриці дорівнює найбільшій |
|
|
|
A |
|
|
|
0 |
rang An |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
кількості лінійно незалежних рядків |
|
|
|
|
A |
|
|
0 |
rang An |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(стовпців) матриці. |
|
|
|
|||||||||
|
Ранг східчастої матриці дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кількості ненульових рядків. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Транспонування матриці, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
елементарні перетворення матриці та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
видалення нульових рядків (стовпців) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матриці не міняють її рангу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Алгоритм зведення матриці до |
Алгоритм перетворення матриці |
|
||||||||||
|
східчастого вигляду (прямий хід |
до зведеного східчастого вигляду |
|
||||||||||
|
методу Ґауса). |
(метод Ґауса — Йордана). |
|
||||||||||
|
Якщо матриця нульова, то |
Зводять матрицю до східчастого |
|
||||||||||
|
зупиняються — матриця вже має |
вигляду (прямий хід методу Ґауса). |
|
||||||||||
|
східчастий вигляд. |
Відкидають нульові рядки (це вже |
|
||||||||||
|
Знаходять перший зліва стовпець з |
не є елементарним перетворенням). |
|
||||||||||
|
лідером; переставляючи рядки, |
Ділячи останній рядок на його |
|
||||||||||
|
переміщують рядок, який містить цей |
лідера, одержують 1. |
|
|
|||||||||
|
лідер нагору. |
Додаючи до решти рядків новий |
|
||||||||||
|
Додаючи до всіх рядків, які |
|
|||||||||||
|
останній рядок, помножений на |
|
|||||||||||
|
розташовані нижче, цей рядок, |
відповідні коефіцієнти, дістають нулі |
|
||||||||||
|
помножений на відповідні коефіцієнти, |
над 1. |
|
|
|
||||||||
|
дістають під лідером нулі. |
Повторюють кроки 1–4 для решти |
|
||||||||||
|
Повторюють кроки 1–3 для решти |
|
|||||||||||
|
рядків. |
|
|
|
|||||||||
|
рядків. |
Процес припиняється, якщо рядки |
|
||||||||||
|
Процес припиняється якщо рядки |
|
|||||||||||
|
вичерпано. |
|
|
||||||||||
|
вичерпано або решта рядків нульові. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знаходження рангу матриці методом Ґауса.
Матрицю за допомогою елементарних перетворень зводять до східчастого вигляду.
Кількість ненульових рядків у східчастому вигляді матриці дорівнює її рангові.
20 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1.13. Системи лінійних алгебричних рівнянь
|
Система |
m |
лінійних алгебричних |
|
|
x |
|
|
a |
|
x |
|
... a |
|
|
x |
|
|
|
b , |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
рівнянь (СЛАР) з n невідомими |
|
|
x |
|
|
a |
|
x |
|
... a |
|
|
|
x |
|
|
b , |
|
|
|||||||||||||||||||
a |
|
|
|
2 |
2n |
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
,x |
,...,x |
|
|
|
|
|
21 |
1 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
.............................................. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
a |
|
x |
|
... |
a |
|
|
|
|
x |
|
b |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 1 |
|
|
m2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
m |
|
||||||||||||
Основна матриця системи* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|||||
Стовпець невідомих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Стовпець вільних членів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розширена матриця системи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
b1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A | b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Матричний вигляд СЛАР |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
b1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Векторний вигляд СЛАР |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
m |
||||||||||
* Перший індекс коефіцієнта aij при змінній вказує на номер рівняння, а другий — на
номер невідомої, при якій стоїть цей коефіцієнт.
Розширена матриця системи повністю задає СЛАР.