Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLAAG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

5. Вектори

Навчальні задачі

5.1.1. Вектори AD,BE та CF — медіани ABC . Дове-

сти, що AD BE CF 0.

Розв’язання. [2.2.2, 2.2.3.]





AD AB BD AB

;

Рис. до зад. 5.1.1

BE BC CE BC 12CA;

CF CA AF CA 12 AB.

Додаємо рівності:



Коментар. Використовуємо правило трикутника додавання векторів.

За означенням медіани (D — середина сторони BC ) і множення вектора на

число.

За правилом замикача.

5.1.2. M — точка перетину медіан ABC, O — дові-

льна точка простору. Довести, що

OA OB OC

Рис. до зад. 5.1.2

Розв’язання. [2.2.2, 2.2.3.]





OM OA AM OA

;

OM OB BM OB 23 BE;

OM OC CM OC 23CF.

Додаємо рівності:

3OM OA OB OC

OA OB OC.

скористаємось результатом

зад. 5.1.1

102	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

OM 13 OA OB OC .

Коментар. Використовуємо правило трикутника додавання векторів.

За властивістю медіан трикутника (вони поділяються спільною точкою перетину у відношенні 2 : 1) і множення вектора на число.

5.2.Яку умову мають справджувати ненульові вектори a та b, щоб викону-

валась рівність

Розв’язання. [2.2.2.]

Побудуймо на векторах

та

, відкладених від точки O, па-

ралелограм OADB .

Тоді

, BA

Рис. до зад. 5.2

Рівність

a b a b

означає, що довжини діагоналей паралелограма рівні. Отже, цей паралелограм є прямокутником і вектори a та b перпендикулярні.

5.3. Задано: ABC,AM AB, AN AC.

Знайти

при яких значеннях та вектори MN та BC —

колінеарні.

Рис. до зад. 5.3

Розв’язання. [2.4.4, 2.5.5.]

Виражаємо вектори BC та MN через пару неколінеарних векторів AB, AC ,

які утворюють базис у множині всіх векторів площини:

;

BC AC AB

{AB,AC }

MN AN AM AC AB

{AB,AC }

З колінеарності векторів BC та MN випливає, що

1 1 .

						5. Вектори								103
									4				9
													9


					a				1
5.4.	У просторі задано вектори				a				1				0
5.4.	У просторі задано вектори									та b			0	. Знайдіть вектори a

													3
								2					3

	та 2
			3b	.
		a	3b	.
Розв’язання. [2.5.4.]
												4
									4			4



				a ( 1)a 1							1		;


									2		2

			4			9	2 4 3 ( 9)		35
			4			9	2 4 3 ( 9)		35



2a 3b 2				3		0	2 ( 1) 3 0
2a 3b 2		1		3		0	2 ( 1) 3 0	2		.

							2 2 3 3
		2			3		2 2 3 3	5

Коментар. Лінійним діям над векторами відповідають лінійні дії над їхніми стовпцями координат у фіксованому базисі.


															l


5.5 З’ясуйте				для яких значень l				та m колінеарні вектори
5.5 З’ясуйте				для яких значень l				та m колінеарні вектори					a 2			та


															5


		1




b m				?


		3

Розв’язання. [2.5.5.]

					l	2	5	3l	5,		5		6
			b		l	2	5				5		6
	a									l		,m		.
	a				1	m	3			l	3	,m	5	.
					1	m	3	5m 6			3		5

Вектори колінеарні для l	5	,m	6 .
	3		5
							2			3
							2			3



5.6. З’ясуйте, для яких значень вектори a
5.6. З’ясуйте, для яких значень вектори a						1		,b	1		,c	1	ком-


						3			2			8
планарні?
планарні?
Розв’язання. [2.5.6, 2.3.4.]
[Крок 1. Записуємо матрицю з координатних стовпців.]
			2	3
			2	3

			1	1	1
	A		1	1	1	.

				2	8
		3		2	8

104	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

[Крок 2. Знаходимо ранг матриці методом Ґауса.]
	2	3			1	1		1	1	1	1	1	1	1
	2	3			1	1		1	1	1	1	1	1	1

	1				3	2		8	0	5	5	0	5	5
A	1	1 1			3	2		8	0	5	5	0	5	5	.

	3	2			2	3			0	5		0	0
	3	2	8		2	3			0	5	2	0	0	7

Для того щоб rang A 3 необхідно, щоб
						7 0			7.
Вектори компланарні, якщо 7.
Коментар.		Вектори				та		компланарні тоді й лише тоді, коли ранг мат-
					,b
				a	,b		c

риці, утвореної їхніми координатними стовпцями буде менший 3 або матриця вироджена.

												4									2							1						5
												4									2							1						5


5.7. Задано вектори a																					2		c					1			l			4		Перевіри-
5.7. Задано вектори a							1								,b						2	,	c					1		,	l			4	.	Перевіри-


												1								5							1						5

ти, що вектори					,			,				утворюють базис у просторі і знайти координати
						b
				a		b				c
вектора		у базисі {
	l										,b		,			}.
	l								a		,b		,		c	}.
Розв’язання. [2.4.5, 2.5.1, 2.5.6.]
[Записуємо СЛАР у векторному вигляді.]
					4														2										5
					4														2			1							5


					1														2										4
			x1		1					x2									2	x3 1									4	.


					1												5					1						5

І спосіб.
[Крок 1. Записуємо розширену матрицю системи.]
																	4			2	1					5



																	1			2		1				4
								A									1			2		1				4	.

																				5		1
															1					5		1			5

[Крок 2. Зводимо її до східчастого вигляду.]
			4				2					1						5						1			2			1		4

																				

			1				2							1					4					0		3				2		1
A			1				2							1					4	...				0		3				2		1	.

						5								1													0 9
		1				5								1				5					0				0 9					9

[Крок 3. Висновуємо про лінійну незалежність (залежність) векторів a,b,c .]

Оскільки rang A 3, то вектори a,b,c — лінійно незалежні і утворюють базис серед усіх векторів простору.

[Крок 4. За допомогою зворотного ходу методу Ґауса знаходимо координати вектора l у базисі {a,b,c} .]

						5. Вектори															105
																					1,

	1 2	1		4				1 0 0					1						x	1
	1 2	1		4				1 0 0					1							1

	0 3	2		1		...		0	1		0		1								1,
	0 3	2		1		...		0	1		0		1						x	2	1,
																				2
		9		9									1
0 0		9		9			0 0 1						1								1
																			x		1
																				3
																				3

										1



			l a b				c									.
			l a b				c		1							.


										1
												{			,b ,			}
												{		a	,b ,		c	}
ІІ спосіб.
[Крок 1. Записуємо матрицю системи.]
						4	2		1
						4	2		1

						1	2		1
						1	2		1		.


					1 5					1

[Крок 2. Обчислюємо її визначник.]
					4	2		1		27 0.
					1	2		1		27 0.
					1	5		1

[Крок 3. Висновуємо про лінійну незалежність векторів a,b,c .] Оскільки мат-

риця невироджена, то вектори a,b,c — лінійно незалежні і утворюють базис серед усіх векторів простору.

[Крок 4. Розв’язуємо систему за правилом Крамера.]

					5		2		1
			1		4		2		1		27;
					5		5		1
			2				5		1		27;
					4		5		1
					1		4		1
					1		5		1
							2		5

					4
			3		1		2		4		27.
					1		5		5
x	1	1	27 1; x	2		2		27 1; x						2		3	27 1.
x			27 1; x					27 1; x									27 1.
			27						27								27
			27						27								27
[Крок 5. Записуємо відповідь.]
										1
										1




			l a b c 1


									1
											{		,b ,		}
											{	a	,b ,	c	}

106	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

Коментар. Для того щоб трійка векторів a,b,c тривимірного простору утворювала базис простору, необхідно й досить, щоб вона була лінійно незалежною. Отже, щоб ранг матриці A утвореної з їхніх координатних стовпців, дорівнював трьом (матриця була невиродженою).

Тоді вектор l однозначно розкладається за базисом {a,b ,c } : x1a x2b x3c l .

Оскільки лінійним діям над векторами відповідає лінійні дії над їхніми коорди-

натами (координатними стовпцями), то

x1a x2b x3c l .

Дістали СЛАР, записану у векторному вигляді.

Дослідити лінійну незалежність стовпців a,b,c і розв’язати СЛАР можна, застосовуючи до системи метод Ґауса — Йордана або метод Крамера.

Зведення матриці до східчастого вигляду див. у зад. 3.3.

5.8.Задано дві точки A1(1;2;0) та A2(4;6; 3). Знайти координати вектора

a A1A2.

Розв’язання. [2.6.6.]

			x1			4	1		3
	 x2		x1			4	1		3

			y			6	2		4

a y		2								.
		2		1

			z
	z	2	z	1	3 0			3
		2		1

Коментар. Щоб знайти координати вектора, віднімаємо від координат кінця вектора координати початку.

5.9.Задано три послідовних вершини паралелограма: A(1; 2;3), B(3;2;1), C(6;4;4). Знайти його четверту вершину.

Розв’язання. Нехай вершина D(x;y;z). Оскільки ABCD — паралелограм, то

BC AD.

Знаходимо координати векторів BC та AD :
		3
	[2.6.6]	3		x 1



BC		2
BC		2	, AD y 2		.

		3
		3		z 3

З рівності векторів BC та AD випливає, що
	3		x 1			3,
	3		x 1		x 1	3,	x 4,
				[2.5.3]

						2,		D(4; 0;6).
2		y 2			y 2	2,	y 0,	D(4; 0;6).

						3
3		z 3			z 3	3	z 6

5. Вектори

107

5.10.Задано дві вершини A(1;3;5), B( 1;2;1) паралелограма ABCD і точка перетину його діагоналей E(1;0;1). Знайдіть дві інших вершини парале-

лограма.

Розв’язання. [2.6.7.]

Оскільки 1 2 (1 1) 0, то точка E — не є середи-

ною відрізка AB. Отже, A та B — суміжні вершини. Точка C поділяє відрізок AE зовнішнім чином у відношенні 2:

D C

A B

Рис. до зад. 5.10

[2.6.7]

xC 2xE xA 1; yC 2yE yA 3;

zC 2zE zA 3.

Отже, C(1; 3; 3), D(3; 2;1). [Координати точки D знаходять так само.]

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

5.11.Скільки різних векторів задають усілякі впорядковані пари точок, утворені з вершин: 1) трикутника; 2) паралелограма?

5.12.Чому дорівнює сума векторів AB BC CA, якщо A, B і C — вершини трикутника?

5.13.Задано тетраедр ABCD. Знайдіть суми векторів:

1) AD CB DC;

AB BC DA CD.

5.14. На рисунку зображені вектори

Який з цих век-

	торів є сумою? різницею решти?
	торів є сумою? різницею решти?	a
		a
		Рис. до зад. 5.14

5.15.Нехай a b . Чи випливає з цього, що a b ?

5.16.За початок усіх векторів завдовжки r, узято точку A. Де розташовані кінці цих векторів?

5.17. Відомо, що

. Виразіть вектор AC через AB, якщо AC AB.

5.18.Відомо, що a 0 і b a. Яким має бути число , щоб виконувалась умова:

b і

108	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

5.19.Виразити вектор BA через вектор AB.

5.20.Виразити вектор a через колінеарний з ним одиничний вектор e.

5.21. У трикутнику ABC вектор AB m і вектор AC n. Побудуйте вектор:

							.
1)	m	n	;	2)	m	n	.
	2				2

5.22.У трикутнику ABC задано AB a, AC b , точка M — середина сторони BC . Виразіть вектор c AM через вектори a та b.

5.23.У трикутнику ABC M — точка перетину медіан трикутника, AM a,

AC b . Розкладіть вектори p AB та q BC за векторами a та b.

5.24. На стороні AD паралелограма ABCD відкладено вектор a AK завдо-

вжки

, а на діагоналі AC

— вектор b

AL завдовжки

AL 6 AC . Доведіть, що вектори p KL та q LB колінеарні.

5.25.У трикутнику ABC : AM AB і AN AC. Виразити вектори AB

та AC через неколінеарні вектори a MN та b BC.

5.26.Задано три некомпланарних вектори a,b та c :

доведіть, що вектори

компла-

5b 3

нарні;

знайдіть значення , при якому вектори

компланарні;

знайдіть

значення

та ,

за

яких

вектори a

та

колінеарні.

5.27. Задано вектори a

. Знайдіть координати век-

торів:

	1) 2
			3b		;
		a	3b	c	;
							3
							3



5.28.							0
5.28.	Задано вектори a						0	,b


						2

	2) 16
				5b	9		.
			a	5b	9	c	.

1



		Знайдіть вектори b , 2a b .
4	.	Знайдіть вектори b , 2a b .


5

5. Вектори

109

5.29.З’ясуйте, чи є система векторів, заданих координатами в деякому базисі, лінійно залежною:

1) a		(1;2;3)T ,			(3;6;9)T ;	2) a	(4; 2;6)T ,a		(6; 3;9)T ;
	1		a	2				2
						1

3)a1 (2; 3;1)T , a2 (3; 8;5)T , a3 (1; 4;3)T ;

4)a1 (5; 4;3)T , a2 (3; 3;2)T , a3 (8;1;2)T .

5.30.Переконайтесь, що {e1,e2} — базис у множині всіх векторів на площині.

Знайдіть розклад вектора a за базисом {e1,e2}, якщо:

		1				2			0				4			3			1

											2) e
1) e			,e				,a			;	2) e			,e	2		,a			.
1	2			2	1			2			1	2			2			7
	2				1			2				2				5		7

5.31. У базисі {

e3} задано вектори:

e1,

e2,

a1 (6; 6; 2)T ,

(4; 0; 5)T ,

(2; 0; 0)T ,

a4 (0; 4; 0)T ,

a5 (6; 6; 0)T ,

(0; 0; 7)T ,

(0; 3; 4)T ,

8 (0; 1; 0)T ,

a9 (2; 3; 1)T ,a

(0;10;13)T .

Вкажіть вектори: 1) колінеарні e1, e2, e3; 2) компланарні векторам e1 та e2, e1 та e3, e2 та e3 ?

5.32.Переконайтесь, що {e1,e2,e3} — базис у множині всіх векторів у прос-

торі. Знайдіть розклад вектора a за базисом {e1,e2,e3}, якщо:

	1					1						1				0
	1					1						1				0

	0															2		;

1) e		,e		1			,e				1		,a
1			2					3


	0				0						1					1

	2						3							1			8
	2						3							1			8

	1						2							3			10

2) e			,e	2					,e	3					,a				.
1				2						3


	1						1						1			0

						1				2
						1				2



5.33.	З’ясуйте, при яких значеннях l	та	m вектори					b
5.33.	З’ясуйте, при яких значеннях l	та	m вектори	a l			та	b	4


					1				m

колінеарні?

110	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

									1
				1					1		1



5.34.	З’ясуйте, при якому значенні	вектори			7				5			3
5.34.	З’ясуйте, при якому значенні	вектори	a		7	,b			5	,c		3

									4
					2				4

	компланарні?
5.35.	На матеріальну точку діють
		дві сили F1			2			і	F2	3b,		де
		дві сили F1			2		a	і	F2	3b,		де

a (5; 2;3)T ,b (1;0;4)T . Знайдіть рівнодійну цих сил.

5.36.Знайдіть координати векторів MN і NM, якщо:

1)	M(1;1), N(2;5);	2)	M(2;	9),N(1; 4);
3)	M(0;1;2), N(1;5;7);	4)	M(2;	9;10),N(0;2; 4).

5.37.Вектор a (3;1; 5)T відкладено від точки M( 2;7;1). Знайдіть координати кінця вектора.

5.38.Відрізок з кінцями в точках A(3; 2) і B(6; 4) поділено на три рівних частини точками C,D. Знайдіть координати точок поділу.

5.39.Відрізок з кінцями в точках A( 2;5;13) і B(6;17; 7) поділено точками C, D,E на чотири рівних частини. Знайдіть координати точок поділу.

5.40.Задано вершини A(3; 4;7), B( 5;3; 2), C(1;2; 3) паралелограма

ABCD. Знайдіть координати вершини D, що протилежна вершині B.

Відповіді

5.11. 1)		7 векторів; 2) 9 векторів.									5.12.
5.11. 1)		7 векторів; 2) 9 векторів.									5.12.	0.
5.13. 1)
			AB		; 2)																	,
							0.
											5.14. b														b			a			,					b					.
											5.14. b			a						c			c		b			a			,		a			b				c	.
5.15. Ні, не випливає [2.2.1].											5.16. На колі з центром у точці A радіусом r.
											5.18. 1)						1				; 2)										1				.
5.17. AC 3AB.																	1														1
5.17. AC 3AB.
																		a														a

5.19. BA AB ( 1)AB.											5.20.								.
5.19. BA AB ( 1)AB.											5.20.	a			a		e		.
5.22.				1				1		.	5.23. p 3a
									b							b										2b				3							.
	c					a																		,q										a
	c					a	2																	,q										a
		2					2
																										,													.
													b								a								b
											5.25.																											a
5.24. LB 5KL.											5.25.	AB															AC											a

5.26. 2)		1, 2 ; 3) 1.									5.27. 1) ( 12; 2)T ; 2) (0; 0)T .

5.28.b (1; 4; 5)T , 2a b ( 7; 4; 9)T .

5.29.1)–3) лінійно залежна; 4) лінійно незалежна.

5.30.1) a 45 e1 25 e2; 2) a e1 e2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf