Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLAAG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

7. Векторне множення векторів

121

	22 ( 2)2 ( 3)2
		13.
a

ha 28 . 13

7.6.Знайти об’єм і висоту, опущену на основу, утворену векторами a та b, паралелепіпеда, побудованого на векторах

Розв’язання. [2.14.5, 2.14.6, 2.13.1.]

[2.14.5]

[2.14.6]

(

)

(

)

, h

пар

[a,b ]

[2.12.4]

[1.7.2]

[

]

1 1 1

9 5

1 1

5 6

9 6

9 5

4k .

[2.9.4]

( 1)2 ( 3)2 ( 4)2

[

]

26.

[Обчислюємо мішаний добуток за означенням.]

[2.13.1]

(

) ([

)

[2.9.2]

(

, 11

)

28.

15k

28;

пар

7.7. З’ясувати,

для яких значень параметра

вектори

k ,

k :

1) компланарні; 2) утворюють праву трійку; 3) утворюють ліву трійку.

Розв’язання. [2.14.7, 2.14.8.]

[Обчислюємо мішаний добуток векторів a,b,c .]

122	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

					[2.12.3]	2	5	7	[1.7.2]	1	1		1	1		1 1
					[2.12.3]	2	5	7	[1.7.2]
(								1	2			5			7
		,b,		)		1	1
	a	,b,	c	)		1	1			2			1			1 2
						1	2
						1	2

2( 2) 5( 1) 7 6 3 .

Вектори a,b , c компланарні, якщо

6 3 0 2.

Вектори a,b , c утворюють праву трійку, якщо

6 3 0 2.

Вектори a,b , c утворюють ліву трійку, якщо

6 3 0 2.

7.8.
7.8.	Силу F									i		2		j	4k						прикладено до точки A(1; 2; 3). Знайти момент
	цієї сили щодо точки O(3; 2; 1).
Розв’язання. [2.14.4.]
																							[2.14.4]
																																		].
																			M		O (F		) [OA, F											].
Знайдімо вектор
																						1	3										2
																						1	3										2



																						2	2										0
																OA						2	2										0		.


																					3		( 1)								4


																				[2.12.4]					i		j		k
																			]					2 0					4			8					12
						M	O (F				) [OA, F																												4k		.
						M	O (F				) [OA, F																									i		j	4k		.
																								1		2			4

Задачі для аудиторної і домашньої роботи
7.9.	Задано:								1,								2												2				. Обчисліть:
																													2
							a1						a2								та (a1,a2 )								3
	1)		[					;

				a1,a2 ]
	2)	[2																										3)		[

					a1 a2,a1 2a2 ]													;														a1 3a2, 3a1 a2 ]								.

7.10.Яку умову мають справджувати вектори a1 та a2, щоб були колінеарни-

ми вектори:

2 та

2) 3

2 та

a1 3a

a1 a2;

7.11.Чи зміниться векторний добуток, якщо до одного із множників додати вектор, колінеарний другому множнику?

7. Векторне множення векторів

123

7.12.

Обчисліть площу трикутника, побудованого на векторах p

та q 3a 2b , якщо

5, (a,b )

4 .

Обчисліть

площу

паралелограма, побудованого на

векторах

p 6a 3b та q

3a 2b , якщо

5, (a,b )

6 .

7.13.

Задано:

5,(a,b )

6 . Виразіть через вектори

та b оди-

ничний вектор

ортогональний до векторів

та b

і такий, що:

1) трійка

— права;

2) трійка

— ліва.

7.14.Задано вектори a1 (3; 1;2)T та a2 (1;2; 1)T . Знайдіть координати векторів:

1) [a1,

2 ];

2) [2

a1 a2,a2 ];

3) [2

2, 2

2 ].

7.15. Обчисліть площу трикутника

з вершинами A(1;1;1), B(2; 3; 4) та

C(4; 3;2).

7.16.1. У трикутнику з вершинами A(1; 1;2), B(5; 6;2) та C(1;3; 1) знай-

діть висоту h BD .

2. Знаючи вектори AB 3i 2j 6k та BC 2i 4j 4k

знайдіть довжину висоти AD трикутника ABC.

7.17. Знайдіть, для яких значень і вектор i 3j k буде колінеарний векторові [a;b ], якщо a (3; 1;1)T , b (1;2;0)T .

7.18.Знайдіть координати вектора x, якщо він ортогональний до векторів a1 (4; 2; 3)T та a2 (0;1;3)T , утворює з ортом j тупий кут і

x26.

7.19.Знайдіть координати вектора x, якщо він ортогональний до векторів

a1 (2; 3;1)T та a2 (1; 2;3)T і також справджує умову

(x, i 2j 7k ) 10.

7.20.Сила F 2i 4j 5k прикладена до точки A(4; 2;3). Знайдіть момент цієї сили щодо точки O(3;2; 1).

124	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

7.21. Вектори a1,a2,a3 утворюють праву трійку, взаємно перпендикулярні та

3. Обчисліть (

a1,a2,a3 ).

7.22.

Одиничні вектори a,b,c

утворюють ліву трійку; та (a,b )

;

c a,

cb. Обчисліть (a,b,c).

7.23.Чому дорівнює: 1) ([i , j ], k ); 2) (a,b,a)?

7.24.Нехай вектори a,b,c утворюють праву трійку. Яку трійку утворюють вектори:

1) b ,a,c; 2) b ,c,a; 3) c,b ,a ?

7.25.Встановіть, якою (правою чи лівою) є трійка a,b ,c, якщо:

		1			2			1				1			2			1




												2
1) a 1			,b	1		,c	2		;	2) a			,b	1		,c	1		.


	2			1			2				1			1			2

7.26.Задано вектори a1 (1; 1;3)T , a2 ( 2;2;1)T та a3 (3; 2;5)T . Об-

числіть (a1,a2,a3 ). Яка орієнтація трійок: 1) a1,a2,a3; 2) a2,a1,a3; 3) a3,a1,a2 ?

7.27.Встановіть, чи компланарні вектори a,b ,c, якщо:


			3			1				1												3			1			3
			3			1				1												3			1			3



			2			1				9															2
1)a			2	,b		1		,c		9		;							2) a 1				,b		2	,c	4		.


		2			3				11												1			3			7

7.28. Для якого значення вектори														,			,			будуть компланарні?
															b
											a				b			c
1)							(5; 1;2)T ,									( 1;5; 4)T ;
		( ;3;1)T ,b
	a	( ;3;1)T ,b											c

2) a (1;2 ;1)T ,b (1; ;0)T , c (0; ;1)T .

7.29.З’ясуйте лінійну залежність (незалежність) векторів a,b ,c, якщо:

		1			4			7				2			1			2




		2			5			8							2			2
1) a			,b			,c			;	2) a 1			,b			,c			.


	3			6			9				2			2			1

7. Векторне множення векторів

125

7.30.З’ясуйте, чи лежать в одній площині точки:

1)A(3;3;2), B(7;1;5),C(1;1;2) та D(3; 1;4);

2)A(2; 3; 1),B(1;2;5), C(0; 3;1) та D(3;2;3).

7.31.Знайдіть об’єм паралелепіпеда, побудованого на заданих векторах:

1) a 3i 4j ,b k 3j ,c 2j 5k ;

2) a 2i j 3k ,b 3i j 2k , c i 3j k .

7.32. Знайдіть висоту h DE тетраедра з вершинами в точках:

1)A(1;1;1), B(2;0;2),C(2;2;2) та D(3;4; 3);

2)A(1;2;1), B(3;0; 2),C(5;2;7) та D( 6; 5;8).

Відповіді

7.9. 1) 3; 2) 3 3; 3) 10 3.

7.10. 1)–2)

a2.

7.11. Не зміниться.

7.12. 1. 50 2. 2. 210.

7.13.1) 15 [a,b ]; 2) 15 [a;b ].

7.14.1) ( 3;5; 7)T ; 2) ( 6;10;14)T ; 3) ( 12; 20; 28)T .

7.15. 2		7.16. 1.	5. 2.				8		5 .
	6.
							3
7.17. 6, 21.		7.18. ( 6; 24;8)T .
7.19. (7; 5;1)T .		7.20. 4				3
				i				j	4k	.
7.21. 24.		7.22.	1		.
			2

7.23. 1) 1; 2) 0.		7.24. 1) ліва; 2) права; 3) ліва.

7.25.1) правою, (a,b , c ) 5 ; 2) лівою, (a,b , c ) 4 .

7.26.1) ліва, (a1, a2, a3 ) 7; 2) права; 3) ліва.

7.27. 1) так; 2) так.

7.28. 1) 3;

2) за будь-якого .

7.29.1) лінійно залежні; 2) лінійно незалежні, (a,b ,c ) 5.

7.30.1) так; 2) ні.

7.31. 1) 51; 2) 13.

7.32. 1) 3

2; 2) 11.

126	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

8. Комплексні числа

Навчальні задачі

8.1. Знайти z

, z z

, z

якщо z

4 5i,

3 2i.

1 2

Розв’язання. [2.15.]

[2.15.4]

z1 z2

7 3i;

z1 z2

1 7i;

[2.15.5]

z1z2

(4 5i)(3 2i) 12 15i 8i 10

22 7i;

[2.15.8]

4 5i

3 2i

[2.15.5]

12 15i 8i 10

23 i.

3 2i 3 2i

9 4

13 13

8.2.Знайти дійсні розв’язки рівняння (2x y) (x 3y)i 3 i.

Розв’язання. [2.15.3.]

2x y 3,

(2x y) (x 3y)i 3

3y 1

8.3.1.

Зобразити у тригонометричній та показниковій формі число z 1 i.

Розв’язання. [2.17.1.]

Число записано в алгебричній формі:

z x iy 1 i.

Re z x 1 0, Im z y 1 0;

число розташоване у 2-й чверті

[2.17.3]

( 1)2 12 2;

[2.17.4]

3 ;

arg z

arctg( 1)

[2.17.1]

i3 4

i sin

2 cos

8.3.2.

Зобразити у

тригонометричній

та

показниковій

формі число

z 1 cos 2 i sin 2.

Розв’язання.

Re z 1 cos 2 0, Im z sin 2 0.

число розташовано у 1-й чверті

[2.17.3]	(1 cos 2)2 sin2 2		4 cos2 1 2 cos 1.
z		2 2 cos 2

		8. Комплексні числа			127
[2.17.4]		sin 2	arctg 2 sin 1 cos 1
arg z arctg				arctg tg 1	1.
	1	cos 2
			2 cos2 1

[2.17.1]

z2 cos 1 (cos 1 i sin 1) 2 cos 1 ei .

8.4.1.Знайти алгебричну форму числа ( 1 i3)12.

Розв’язання. [2.17.8.]

[Записуємо число z 1 i3 у тригонометричній формі [2.19.1].]

x 1 0, y 3 0

число розташоване у 3-й чверті

		( 1)2 (
	z	( 1)2 (		3)2 4 2;

			3			2
			3			2
							.
arg z arctg			1		3	3	.
			1		3	3

[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]

	12	[2.17.8]	12			2			2
						2			2
z					12			12
z			2	cos	12		i sin	12

						3			3

модуль підносимо до степеня, аргумент множимо на степінь

212(cos( 8 ) i sin( 8 )) 212(cos 0 i sin 0) 212 4096.

8.4.2.Знайти алгебричну форму числа ((1 i3)(2 2i))4.

Розв’язання.
[Записуємо числа z1			1 i 3,			z2	2 2i				у тригонометричній формі.]

				Re z1 1 0, Im z1 3 0;
															;

	z	1			12 (	3)2		2;			arctg			3
		1								1				3
														3

					z1 2					i sin
					z1 2		cos			i sin			.
									3
									3			3

Re z2 2 0, Im z2 2 0;

	z2		22 ( 2)2 2
	z2		22 ( 2)2 2						2;
2		arctg 2								;
					2			4		4
					2
z2		2 2
z2		2 2		cos			i sin					.
											4
						4					4
[Обчислюємо добуток z1z2		у тригонометричній формі.]

128	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

		[2.17.5]
z z			2	cos		i sin		2
z z	2		2	cos		i sin		2
1	2
					3
					3		3



2
2	cos		i sin

		4		4

				модулі перемножуємо, аргументи додаємо



4	2	cos			i sin		4	2	cos		i sin		.
										12
			3	4	3	4				12		12

[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]

																				[2.17.8]																									4
					((1 i					3)(2									4																		i sin
					((1 i					3)(2						2i))														4	2		cos				i sin
																																				12
																																				12					12
														4

				(4					4								i sin									4						1024							i
							2)			cos																										cos							sin
							2)			cos																										cos							sin
													12																									3
													12													12												3								3

																		1							3
																		1							3
																																512 512							3i.

											1024							2						2					i
																		2						2

																															1 i					10
																																			3	10
																																			3
8.4.3.	Знайти алгебричну форму числа
8.4.3.	Знайти алгебричну форму числа																															2 2i				.
																																2 2i

Розв’язання. [2.17.7.]
[Використовуємо тригонометричну форму чисел																																					1 i							та			2 2i із зад.
[Використовуємо тригонометричну форму чисел																																					1 i					3		та			2 2i із зад.
8.4.2. Ділимо комплексні числа у тригонометричній формі.]
Користуючись результатом попереднього пункту, маємо
										z									2 cos											i sin
										z									2 cos									3		i sin					3			[2.17.7]
											1

										z2			2				2 cos 4														i sin					4

			1																																	1				7								7
			1													i sin																				1				7			i sin					7
						cos																															cos												.
						cos																															cos												.
																																				2				12
					2				3			4											3								4					2				12								12
[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]
													10																										10		[2.17.8]
							1		i 3				10								1											7							10		[2.17.8]
							1		i 3												1											7					7

																																	i sin
																									cos								i sin
								2 2i																							12
								2 2i													2										12						12
																					2
						70								70																																				i
	1					70								70									1																									3		i

			cos						i sin																		cos								i sin																.
						12																																									64			64
		32				12									12							32												6								6					64			64

8.5.1. Знайти всі значення 4 1 і зобразіть їх на комплексній площині.

Розв’язання. [2.17.10.]

[Записуємо число 1 у тригонометричній формі.]

1 cos i sin .

[Записуємо спільну формулу для значень кореня.]

4		[2.17.10]			2 k	i sin 2 k , k
4	1			cos	2 k		0, 3.
	1			cos			0, 3.
			k	4		4
				4		4

																		8. Комплексні числа																												129
[Виписуємо всі окремі значення кореня.]
									cos i sin
																																				2		i			2		;
							0																															i					;
							0												4							4								2						2
																			4							4								2						2
						cos 3 i sin 3																																2	i			2		;
						cos 3 i sin 3																																	i					;
				1													4									4											2				2
																	4									4											2				2				y
			5														5									2								2											y
			5														5									2								2											1	0
2	cos			4		i sin												4					2					i					2				;								1	0
2	cos					i sin																						i									;

3	cos			7				i sin										7					2				i					2			.										O	x
3	cos			4				i sin											4			2					i								.										O	x
				4															4			2										2													2	3
[Зображуємо знайдені значення на комплексній площині,																																													2	3
використовуючи полярну систему координат.]																																													Рис. до зад. 8.5.1
8.5.2. Знайти всі значення 5																		і зобразіть їх на комплексній площині.
8.5.2. Знайти всі значення 5														i				і зобразіть їх на комплексній площині.
Розв’язання. [2.17.10.]
[Записуємо число i у тригонометричній формі [2.17.1].]
													Re z 0, Im z																	1 0.

									z										02	12						1; arg z															;
									z										02	12						1; arg z															;
																	i		cos							i sin								.						2
																																								2

																						2												2
[Записуємо спільну формулу для значень кореня.]
																																		[2.17.10]
										5 cos i sin																								[2.17.10]
										5 cos i sin																								k
																		2									2							k
																		2
															2 k																						2 k
															2 k																						2 k
	cos																			i sin																				, k 0, 4.
																	5												10									5
					10												5												10									5
[Виписуємо всі окремі значення кореня.]
				cos													i sin								,						cos									i sin ,
		0		cos													i sin								,						cos									i sin ,
		0									10										10							1										2			2
																2			cos 9 i sin 9 ,
																2						10												10
																						10												10
	3			cos									13						i sin				13						,																y	w1
	3			cos								10							i sin				10						,																w2
												10											10																							w0
	4			cos									17 i sin											17					.																	w0
	4			cos									17 i sin											17					.																O	1 x
												10														10
[Зображуємо знайдені значення на комплексній площині, ви-																																													w3	w4

користовуючи полярну систему координат.]

Рис. до зад. 8.5.2

130	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

8.6.1. Зобразити

на площині

множини

точок,

що

справджують

умову

z 1

Розв’язання. [2.15.1, 2.17.3.]

[Використовуємо геометричний зміст умови.]

Im z

z |

z 1

3 — множина точок, віддалених від то-

чки z 1 на віддаль 3 — це коло з центром у точці

z 1 і

O 1

Re z

радіусом 3 .

[Зображуємо розв’язок.]

Рис. до зад. 8.6.1

8.6.2. Зобразити

на площині

множини

точок,

що

справджують

умову

z i

Розв’язання. [2.15.1, 2.17.3.]

І спосіб (геометричний).

[Використовуємо геометричний зміст умови.]


z \|	z i		z i		— множина точок рівновіддале-

них від точок z1		i		та z2 i — пряма, яка перпендику-
лярна до відрізка z1z2				і проходить через його середину.

[Зображуємо розв’язок.]

ІІ спосіб (аналітичний).

Нехай z x iy, x, y .

[2.17.2]

Im z

i
O	Re z
i

Рис. до зад. 8.6.2

z i

x i(y 1)

x2 (y 1)2 ;

z i

x i(y 1)

x2 (y 1)2 .

z i

x2 (y 1)2 x2 (y 1)2

x2 (y 1)2 x2 (y 1)2 y 0.

[Зображуємо розв’язок.]

8.6.3. Зобразити

на

площині

множини

точок, що

справджують

(

arg z

Розв’язання. [2.17.4.]

[Використовуємо геометричний зміст умови.]

Im z

arg z

роз-

z |

множина точок,

ташованих усередині круга з межею

1: x2 y2

між променями

та

умову

Re z

Рис. до зад. 8.6.3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf