Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLAAG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

				1. Матриці			61
1.3.2.		b1.
1.3.2.	Знайти добуток a1	b1.
Розв’язання. [1.4.1, 1.4.2.] Рядок a1				завдовжки 3 узгоджений із стовпцем заввишки 3.
						7
						7

				1 3
	a1 b1			1 3	2	1


					0

перемножуємо відповідні елементи і додаємо добутки

1 7 ( 3) 1 ( 2) 0 4.

Коментар. Щоб помножити рядок на узгоджений з ним стовпець, треба перемножити їхні відповідні елементи і добутки додати. Дістаємо квадратну мат- рицю1-го порядку, яку ототожнюють з числом — єдиним її елементом.

1.3.3. Знайти матрицю AB.

Розв’язання. [1.4.1, 1.4.3, 1.4.4.]

[Визначаємо можливість множення і розмір добутку.]

матриця A	матриця B
2 3	3 2
	3 2

рівні добуток буде розміром 2 2

					7	0	
					7	0	
	1	3	2
	1	3	2
					1	1
AB		1	0		1	1
2		1	0
						2
				0		2

d		d
	11	12

		d	.
d	21	d
	21	12

матриці множать за правилом "рядок на стовпець"

[Знаходимо елементи добутку.]

							7		
							7		


d11 a1 b1 1		3							4;
d11 a1 b1 1		3	2 1						4;


					0

								0		
								0		


d12 a1 b2 1		3	2							1;
d12 a1 b2 1		3	2		1					1;


								2

				7
				7
					

d21 a2	b1 2	1		1		15;
d21 a2	b1 2	1	0	1		15;


				0

				0				
				0				


d22 a2 b2 2								1.
d22 a2 b2 2		1 0 1						1.


				2

62	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

															4		1


														AB			.
															15		1

[Множення матриць записують ще за схемою Фалька.]
														7	0
														1	1			4

														0	2				1
														0	2	AB
																AB			.
											1 3 2 4				1		15		1
											1 3 2 4				1
											2		1	0 15	1
Коментар. Матриця A розміром 2 3																	узгоджена з матрицею B розміром
3 2.		Добуток D AB буде матрицею														2 2.
									7
									7

 1			2
		3							1			1 7		( 3) 1 ( 2) 0 4.
		3							1			1 7		( 3) 1 ( 2) 0 4.


							0

								0
								0

	1		2
		3					1					1 0		( 3) ( 1) ( 2) 2 1.
		3					1					1 0		( 3) ( 1) ( 2) 2 1.

								2
								2

					7
					7

 2			0
		1			1						2 7 1 1 0 0 15.
		1			1						2 7 1 1 0 0 15.


					0

					0
					0

 2		1 0
					1					2 0 1 ( 1) 0 2 1.
					1					2 0 1 ( 1) 0 2 1.


					2

1.3.4.		Знайти матрицю BA.
Розв’язання. [1.4.1, 1.4.4.]
												1	3	2
												2	1	0				7	21	14
												2	1	0				7	21	14


																			4	2
				7 0 7 21 14 BA D3 3 1															4	2	.

				1 1							1		4	2				4	2	0
																		4	2	0


				0			2					4	2	0
Коментар.  Матриця B розміром 3 2 узгоджена з матрицею A розміром
2 3.		Добуток D BA буде матрицею														3 3.

1. Матриці		63
1.3.5. Знайти матрицю AC.
Розв’язання. [1.4.1.]	матриця C
матриця A	матриця C
2 3	2 2

нерівні

Оскільки матриці A і C — неузгоджені, то добуток AC не існує.

1.3.6. Знайти матрицю C 2.
Розв’язання. [1.4.8.]
		 1 2	1 2			5 2
	2
C	2
C							.
		3 0		3 0		3 6

Коментар. Квадратну матрицю завжди можна помножити саму на себе. За означенням C2 C C.

1 2

3 0

1 2 5 2

3 0 3 6

1.3.7.Знайти матрицю f(C), якщо f (x) 2x2 x 3.

Розв’язання. [1.4.9.]




f(C) 2C 2 C 3E			2
			2
5 2	1 2	1 0		8 2


2		3			.
3 6	3 0	0 1		3 15

Коментар. Підставляємо замість x матрицю C,					а замість сталої 3 — матрицю
3E2	(E2 — одинична матриця 2-го порядку — того ж порядку, що й матриця C).
Матрицю C 2 знайдено в задачі 1.3.6.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
		a
		a	b

1.4.				? Чому дорівнюють елементи a			та
1.4.	Якого розміру матриця A c		d	? Чому дорівнюють елементи a		21	та
						21

	e		f

a32 ? Які індекси має елемент d ?

64	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.5.Визначте розмір матриці A, випишіть усі рядки і стовпці матриці й елементи a23 та a32 :

		4 7		5							6 4 1 0

1)					;				2)
1)	A				;				2)	A							;
	6 8			1							9 0 1 2 2

		1 2		3								1 0
		1 2		3								1 0


		4 5		6	;				4)			3 4
3) A		4 5		6	;				4)	A		3 4			.

		7 8
		7 8		9							7 5

1.6. Визначте які з матриць
						5	4	3	2				c		c		c
		3	2			5	4	3	2				c		c		c
		3	2										11			12	13
	A					0	3	1	3						c		c
	A			, B		0	3	1	3		,C c			21	c	22	c	23
			0											21		22		23
		4	0
							1								c		c
					7		1	0 4				c		31	c	32	c
														31		32		33

є квадратними, і вкажіть порядок кожної квадратної матриці. Які елементи утворюють головну і побічну діагоналі цих матриць?

1.7.Визначте, яка з матриць є верхньою трикутною, нижньою трикутною, діагональною:

	1	0	0			1	0	0			1	4	5


	0	3	0			2	6	0			0	2	6
A				, B					,C					.

		0	0				4					0
0					3			5		0			3

			1	1				0	1
1.8.	Чи будуть одиничними матриці: 1)		1	1		2)		0	1
1.8.	Чи будуть одиничними матриці: 1)	A		1	;	2)	B		0	;
		1		1			1		0

		1	0
3)		1	0
3)	C		1	? Запишіть одиничну матрицю 4-го порядку.
	0		1

1.9.Визначте, до якого типу належать матриці:

	2	0	0							1	0	0
	2	0	0							1	0	0
						1	2
						1	2
	0 0		0	, B				,C		0 1		0	,
A	0 0		0	, B				,C		0 1		0	,
					0		5
		0	3								0	1
0		0	3						0		0	1

	2	7	6
	2	7	6
					1
					1
	7	1	0			,G (1 2 3).
D	7	1	0	; F		,G (1 2 3).
				2
		0
6		0	3

1. Матриці

1.10. Визначте, при яких значеннях

1)	5		x	(y		3);
	3		2x		3		2

3)									;
3)							8		;
	y		8		1		8

		2					x	1 4
	x		1 z				x	1 4
5)										;
5)		2	3					y 1		;
		2	3	x			2
							2

x,y та z рівні матриці:

	6x				9

2)
2)							;
	25				5y

	x 1					4				0	4

4)												;
4)												;
	y 3				7				2		7

		1	4	3				1	4	3
		1	4	3				1	4	3


								2 2 4
6) x 2 4								2 2 4			.

			1	z					1	0
	9		1	z			y		1	0

1.11.Чи можна додати дві матриці розмірами 2 3 та 3 1 ? Чи можна від матриці відняти ту саму матрицю? Що дістанемо?

1.12.Для яких матриць означено добуток AB ? Чи можна помножити рядок завдовжки n на стовпець заввишки n ? Як обчислити елементи матриці AB ?

1.13.Чи можна помножити матрицю розміром 2 3 на матрицю такого самого розміру? У якому разі існують добутки AB та BA ? У якому разі існує добуток AA ?

1.14.Чи правдива тотожність AB BA ? Чи можлива рівність AB O, якщо A та B — ненульові матриці?

1.15.Задано матриці A1 3, B4 1,C3 5. Чи існують добутки: 1) AB; 2) AC; 3) BA; 4) CA; 5) ABC ?

1.16.Визначте параметри m та n, якщо:

1) A Xm n B2 3;	2) A Xm n B3 4 ;
3) 3Xm n A4 3 ;	4) 2Xm n A2 2;
5) A5 9Xm n B5 1;	6) A5 mX7 n B5 6;
7) Bm n (A3 2 )T ;	8) B5 n A4 m T .

1.17.Нехай A Am n . Які розміри будуть у матриці AT ? Вкажіть номери рядка і стовпця на перетині яких стоїть елемент aij в матриці AT .

1.18.Чи для кожної матриці існує транспонована матриця? Чому дорівнює матриця (AT )T ? Чи можуть збігатись матриці A та AT ?

66	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.19. Задано матриці:

								1	2
								1	2
	1	1
	1	1			1 1
								4 0			,
A			, B			,C		4 0			,
2		0			2 3
								5	7
								5	7

	3				3 1 0				2	1		0
	3	1			3 1 0				2	1		0


	1	0			2 5 6		, M		1	2 1
D	1	0		, L	2 5 6		, M		1	2 1			.

										2
4		1			1 4 3			3		2		1

Знайдіть:

1)a1 a2,a1 a2, a2 a1, 2a1 3a2, a1 a2;

2)b1 b2, b1 b2, b2 b1, 3b2 2b1, b1 b2 ;

3)A B, A B, 2A 3B, A C, A E2;

4)C D,C D, D C, D B, B E2;

5)L M, 3L M, L C, L E3 ;

6)L M, 2L 3M, M D, M E3;

7) a1 a1,a1 a1, Aa1,a1A;					8) b1 b1, b1 b1, Bb1, b1B;
9) AB, A2, ATB;					10) BA, B2, ABT ;
11) AT BT , (AB)T ;					12) BT AT , (BA)T ;
13) AC,CA,CT A;					14) BD, DB, DTB;
15) CCT ,CTC,C 2,CD;					16) DDT , DT D, D2, DC;
					18) d M, Md , ML, M2, DM, MD;
17) c L, Lc , LM, L2,CL, LC;					18) d M, Md , ML, M2, DM, MD;
1	1					1	1
19) c1Lc1,CLA, ACL;					20) d1Md1, DMB, BDM, MDB.
		1 1			0 1
		1 1			0 1
			,
1.20. Задано матриці A			,	B	1 0	.
	0 1				1 0

Знайдіть матрицю X із рівняння:
1) 3A	1 X B;				2) 2A 5X B.
	2
Знайдіть матриці X та Y із системи:
							3Y A,
X Y A,					2X		3Y A,

3)					4)	3X	2Y B.
2X 3Y B;						3X	2Y B.

1. Матриці

1.21.Задано матриці A, B та C. Знайдіть найраціональнішим способом добуток ABC, якщо:

									4
									4


		4	2	9 7					3
		4	2	9 7					3
1) A										,C ( 1 9 3 6);
1) A						, B				,C ( 1 9 3 6);
	8		3	11 0					2
	8		3	11 0					2



								8

											1
											1
		3 12					1	1 3
		3 12					1	1 3
2)					, B						0
2)	A				, B					,C	0	.
	4 3					2 4 0

										5

							1	2	1	0

1.22.	Для матриць					A							знайдіть найраціональнішим
1.22.	Для матриць					A		1	, B				знайдіть найраціональнішим
							3	1	1	4

	способом:
					T		T					1				T		T
					T		T					1				T
	1) A B (A					B	);		2)					B				B .
	1) A B (A					B	);		2)					B				B .
												2
												2
1.23.	Знайдіть матрицю:
					3						0 1				0		3
					3						0 1				0
			1	2
			1	2
	1)										0 0 1							;
	1)				;				2)		0 0 1							;
		0		1

											0 0 0

		1 a		n								1			n

	3)				,a , n		;		4)								, , n .
	3)				,a , n		;		4)		0						, , n .
		0 1									0

1.24.Задано многочлен f (x) x2 5x 2. Знайдіть значення матричного многочлена f(A):

		1						1
		1	2					1	2
1)				;						;
1)	A			;		2)A				;
	3		4				1		3

		1	2	3				1	3	0
		1	2	3				1	3	0


3)		2	4 1		;	4)		0	2 1
3)	A	2	4 1		;	4)	A	0	2 1		.


	3		5 2				3		3 2

68	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.25. Переконайтесь, що матриця A справджує рівняння:

		3	2	2
		3	2	2

							3				2
1)		2	2	0			3	9A			2	18A O;
1)	A	2	2	0	, A			9A				18A O;

		2	0	4
		2	0	4

		0	1	0
		0	1	0

									3				2
2)		0 0		1		, A			3	2A			2	A 2E3	O.
2)	A	0 0		1		, A				2A				A 2E3	O.

		2	1	2
		2	1	2

1.26. Знайдіть всі матриці, переставні з матрицею:

		1 1				3 5
		1 1				3 5
1)			;	2)
1)	A		;	2)	A		.
	0 1				1 2

1.27. Розв’яжіть матричне рівняння:

			1	0	T	8 0
	T		1	0		8 0
1)	T						;
1)	3A	2					;
		0		2		3 1

			1		T				1 1
	T		1		0				1 1
2)	T					4A
2)	2A	5				4A		9		.
		1 2						1 0

Відповіді

1.4. Матриця A розміром

1.5. 1) 2 3,a1					(4	7
		4
		4			7
a			,a	2		,a	3
1				2			3
	6				8

3 2. a21 c,a32 f. d a22.

5),a2		( 6			8 1),
	5
	5			1,a			не існує;
		,a	23	1,a		32	не існує;
			23			32
1

2) 2 4,a1				( 6				4			1				0),a2				( 9				0	1 2				2),
																											1
	6						4								1							0					1
a			,a		2			,a		3						,a		4					,a					,a	32	не існує;
a			,a					,a								,a							,a					,a		не існує;
1																							23				2
	9						0							1 2								2					2

3) 3							1
3) 3		3,a1					1	2			3		,a2				( 4					5	6),a3			(7				8	9),
		1						2
		1						2								3


								5														6,a					8;
a 4			,a			2		5	,a				3			6 ,a				23		6,a			32		8;
1						2							3							23					32
								8
	7							8								9

																															1				0
																															1				0


4) 3 2,a							( 1	0),a						(3			4),a						( 7			5), a					3
4) 3 2,a							( 1	0),a				2		(3			4),a				3		( 7			5), a					3	,a	2	4		,
			1									2									3							1					2

																															7			5

a23 не існує, a32 5.

1. Матриці	69
1.6. A — квадратна матриця порядку 2, головна діагональ: 3, 0, побічна діагональ: 2, 4; C
— квадратна матриця порядку 3, головна діагональ: c11,c22,c33,	побічна діагональ:

c13,a22,a31.

1.7.Матриці A,C — верхні трикутні; матриці A, B — нижні трикутні; матриця A — діагональна.

1.8.Матриця C — одинична матриця 2-го порядку; матриці A та B — не є одиничними.

		1	0	0	0
		1	0	0	0


		0	1	0	0
		0	1	0	0
E4
E4		0	0	1	0	.
		0	0	1	0


			0	0	1
	0		0	0	1

1.9. A — діагональна матриця; B — верхня трикутна матриця; C — одинична матриця 3-го порядку; D — квадратна матриця; F — матриця-стовпець; G — матриця-рядок.

1.10. 1) x 3,y 5; 2) x 32 ,y 5; 3) x 1,y 1;

4) x 1,y 5; 5) x 1,y 3,z 4;

6) x 2,y 9, z 0.

1.11.Матриці розмірами 2 3 та 3 1 додавати не можна. Від матриці можна відняти таку саму матрицю, дістанемо нульову матрицю.

1.12.Добуток AB означено для узгоджених матриць [1.4.1]. Рядок 1 n можна помножити на стовпець n 1 [1.4.2]. Елементи матриці AB обчислюють за правилом «рядок на стов-

пець» [1.4.3].

1.13.Ні, не можна — матриці неузгоджені. Коли матриця A розміром m n, а матриця B

— розміром n m. Добуток AA існує для квадратних матриць.

1.14.Ні, не правдива — множення матриць некомутатитивне. Рівність AB O можлива і для ненульових матриць A та B.

1.15.Існують добутки: AC, BA.

1.16. 1) 2 3; 2) 3 4; 3) 4 3; 4) 2 2; 5) 9 1; 6) 7 6; 7) 2 3; 8) 5 4.

1.17.Матриця AT має розміри n m. На перетині j -го рядка та i -го стовпця.

1.18.Для кожної матриці існує транспонована. Самій матриці A. Матриці A та AT можуть

збігатись (симетричні матриці).
							0
1.19. 1)							0						2
1.19. 1)		a		a	2			,a		a		2			,a	2	a
			1		2				1			2				2	1
							2						2

					1
					1
2a	3a		2			, a			a		2					;
1			2		4			1			2			2
					4									2

2 ,2

2) b1 b2 1			4 ,b1 b2 3		2 ,b2 b1 3				2 ,
3b2 2b1 8			7 , b1 b2 2 3 ;
		0			2			5	1
	2	0		0	2			5	1
3)	A B
3)	A B		, A B			, 2A 3B				,
	0	3		4	3		2		9

			1
	1		1
A C не існує, A E2				;
A C не існує, A E2		2		;
		2

70	Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

		4	1									3							2		3
		4	1						2			3							2		3


			0									0									0
4) C D 5			0	,C D 3								0	, D C 3								0	,


	9		6						1			8					1				8

														1
									1					1
D B не існує, B E2
D B не існує, B E2															;
									2					3

		5	0	0										4	0
		5	0	0								7		4	0


			7 7
5) L M 3			7 7		, 3L M							5		13 17 ,

			6											10
	4		6	2								0		10	10

										3				1			0
										3				1			0


L C не існує, L E											2			5			6			;
L C не існує, L E							3				2			5			6			;
							3
											1			4
											1			4		3

		1		2 0											1		0
		1		2 0								12			1		0


				3 5										7 16 15
6) L M 1				3 5		,2L		3M						7 16 15				,


	2			2 4								11 14					3

											2			1					0
											2			1					0


M D не існує, M E												1		2					1
M D не існує, M E								3				1		2					1		;
								3
												3			2
												3			2		1

								1
						1		1						1							1	1	;
7) a	a 1,a		a							,	Aa					,a A					1	1	;
1	1	1		1		2						1					1
						2		2						2

				1
				1
8) b	b	1,b	b
1	1	1	1	2

1
1			1			1 4	;
	, Bb			,b B		1 4	;
2		1			1
2			8

				2							T					7
	3 2			2		1		1			T				3	7
9) AB																	;
9) AB		, A							, A B								;
	2 2					2		2							1	1

		1			2			4
	3	1			2	1		4				T 0				5
10) BA
10) BA			, B						, AB							;
	4 2					8		7							2	4

T T		3	4			T				3		2
T T		3	4			T				3		2
11) A B
11) A B				,(AB)										;
	1		2					2				2

T T		3	2			T			3			4
T T		3	2			T			3			4
12) B A
12) B A				,(BA)										;
	2		2					1				2

							5	1
							5	1

												T
								4				T	A не існує;
13) AC не існує,CA 4								4		,C			A не існує;


						19		5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf

		1						1
		1	2					1	2
1)				;						;
1)	A			;		2)A				;
	3		4				1		3

		1	2	3				1	3	0
		1	2	3				1	3	0


3)		2	4 1		;	4)		0	2 1
3)	A	2	4 1		;	4)	A	0	2 1		.


	3		5 2				3		3 2

		1						1
		1	2					1	2
1)				;						;
1)	A			;		2)A				;
	3		4				1		3

		1	2	3				1	3	0
		1	2	3				1	3	0


3)		2	4 1		;	4)		0	2 1
3)	A	2	4 1		;	4)	A	0	2 1		.


	3		5 2				3		3 2

		1						1
		1	2					1	2
1)				;						;
1)	A			;		2)A				;
	3		4				1		3

		1	2	3				1	3	0
		1	2	3				1	3	0


3)		2	4 1		;	4)		0	2 1
3)	A	2	4 1		;	4)	A	0	2 1		.


	3		5 2				3		3 2