PraktykumLAAG

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

51

3.12. Еліпс

Канонічне рівняння еліпса у ПДСК

x

2

y

2

1, a b 0

a2

b2

Параметричні рівняння еліпса

a cos t,

x

t

[0, 2 )

b sin t,

y

Характеристики еліпса:

y

a — велика піввісь;

d1

b

M

d2

b — мала піввісь;

r1

r2

c a2 b2 ;

a

a

F1

O

F2

a

a

x

2c — фокусна віддаль;

c — ексцентриситет;

b

a

прямі x

a

,

0 — директриси;

точки F1,2( c; 0) — фокуси;

r1,2 a x — фокальні радіуси;

b2

— фокальний параметр

p a

Фокальна властивість еліпса.

Фокально-директоріальна

Еліпс є множиною точок, сума

властивість еліпса.

віддалей яких від фокусів стала і

r1

r2 1

більша за віддаль між фокусами.

r1 r2 2a 2c

d1

d2

Оптична властивість еліпса.

Якщо помістити в один з фокусів

еліпса точкове джерело світла, то всі

F1

F2

промені після відбиття від еліпса

зійдуться в іншому його фокусі.

Рівняння еліпса у полярній системі

p

M

координат

1 cos ,

F1

1

O

P

Канонічне рівняння кола

x2 y2

a2

y

a

t

Параметричні рівняння кола

a cos t,

x

a

O

x

a sin t,

y

[0; 2 )

t

52

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.13. Гіпербола

Канонічне рівняння гіперболи

x

2

y

2

1, a, b 0

у ПДСК

a2

b2

Параметричні рівняння гіперболи

a ch t,

x

b sh t, t

y

Характеристики гіперболи:

y

b

a — дійсна піввісь;

M

d1

b — уявна піввісь;

r1

d2

r2

c a2 b2 ;

F1

a

O

a

F2

x

2c — фокусна віддаль;

c

x a

b

a — ексцентриситет;

x a

точки F1,2( c;0) — фокуси;

прямі x

a

— директриси;

r1,2 a x — фокальні радіуси;

b

b2

y a x — асимптоти;

p a

— фокальний параметр

Фокальна властивість гіперболи.

Фокально-директоріальна

Гіпербола є множиною точок, модуль

властивість гіперболи.

різниці віддалей яких від фокусів є

r1

r2

1

сталою величиною, меншою за віддаль

між фокусами.

d1

d2

r1 r2 2a 2c

Оптична властивість гіперболи.

Якщо помістити в один з фокусів

гіперболи точкове джерело світла, то

F1

F2

кожний промінь після відбиття від

гіперболи начебто виходить з іншого

фокуса.

MF2

Рівняння гіперболи в полярній

p

,

системі координат

1

cos

O P

1

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

53

3.14. Парабола

Канонічне рівняння параболи у

y2 2px, p 0

ПДСК

Характеристики параболи:

y

p — фокальний параметр;

M

d

r

1 — ексцентриситет;

F

p — фокусна віддаль;

p

O

p x

2

2

2

D

p

точка

; 0 — фокус;

p

2

пряма x

2

— директриса;

точка A(0; 0) — вершина;

r x p

— фокальний радіус

2

Фокально-директоріальна

властивість параболи.

r

1

Парабола є множиною точок, які

рівновіддалені від фокуса і

d

директриси.

Оптична властивість параболи.

Якщо помістити у фокус параболи

точкове джерело світла, то всі промені,

F

x

відбиті від параболи, спрямуються

паралельно фокальній осі параболи

Рівняння параболи в полярній

p

M

системі координат

1

cos

F

O p

54

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

y

y

(повертання)

y

(паралельне

y0

O

O

перенесення)

O x

y

O

x0

x

x

x

x2 y2

1, a b 0,

(x x0 )2 (y y0 )2

1, a b 0

b2

a2

a2

b2

Парабола

y

y

y

(повертання,

y2 2px

(паралельне

пере-

x2

2py

орієнтування

O

x

перенесення)

y0

x

O

осей)

x2

2py

x0

O

x

y2 2px, x2 2py,

(y y0 )2 2p(x x0 ), p 0,

x2 2py,

p 0,

Гіпербола

y

y

y

(повертання,

b

(паралельне

y0

пере-

перенесення)

x

орієнтування

a

O

a x

O x

осей)

b

0

O

x

y2

x2

1, b, a 0,

(x x0 )2

(y y0 )2

1, a, b 0,

b2

a2

a2

b2

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

55

3.16. Лінії 2-го порядку. Інваріанти

Загальне рівняння лінії

a11x2 2a12xy a22y2

(геометричного образу) 2-го порядку в

2a13x

2a23y a33

0

ПДСК

Інваріанти рівняння лінії 2-го порядку

J1 a11 a22, J2

a11

a12

,

a11

a12

a13

a21

a22

J3

a21

a22

a23

,

a31 a32 a33

a21

a12,a31

a13,a32

a23

Характеристичний многочлен

A En

матриці A

a11

a12 ...

a1n

a21

a22 ...

a2n

...

... ...

...

an1

an2 ...

ann

Характеристичне рівняння

A En

0

матриці A

Власний вектор і власне число

Власні числа матриці є коренями

матриці. Ненульовий стовпець x

характеристичного многочлена

називають власним вектором

A En

цієї матриці.

квадратної матриці An n, якщо існує

Власні вектори є ненульовими

таке число , що Ax x.

розв’язками однорідної СЛАР

Число називають власним числом

(A En )x 0.

матриці A, що відповідає власному

векторові x.

Теорема Гамільтона — Келі

Будь-яка матриця є коренем свого

характеристичного рівняння.

Еліптичний тип

J3

0

еліпс

y

J2 0

O

x

J3

0 уявний еліпс

J3

0 точка

Гіперболічний тип

J3

0

гіпербола

y

J2 0

a

O

a x

J3

0

пара перетинних прямих

Параболічний тип

J3

0

парабола

y

J2 0

O

x

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

57

3.19. Поверхні 2-го порядку

z

z

z

c

y

x

a

b y

x

x

y

Еліпсоїд

Еліптичний параболоїд

Гіперболічний

x2

y2

z2

x2

y2

параболоїд

1

2z

x

2

y

2

a2

b2

c2

a2

b2

a2 b2

2z

x

z

z

O y

O

x

O

y

x

z

y

Еліптичний циліндр

Параболічний циліндр

Гіперболічний циліндр

x2

y2

1

y2 2px

x2

y2

1

a2

b2

a2

b2

z

z

z

O

y

y

x

y

x

x

Конус

Однопорожнинний

Двопорожнинний

x2

y2

гіперболоїд

гіперболоїд

a

2

b

2 z2

x2 y2 z2

x2

y2

z2

a2 b2 c2 1

a2 b2 c2 1

z

O a

y

x

Сфера

Гіперболічний параболоїд і однопорожнинний

x2 y2

z2

a2

гіперболоїд — лінійчаті поверхні.

58

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.20. Деякі визначні криві

P

P

a

O

P

a 1

0 a 1

P

Спіраль Архімеда

Логарифмічна спіраль

Гіперболічна спіраль

a

a

a

y

y

O

P

a

a

x

O

P

x

O

P

Кардіоїда

Коло x

2

y

2

2ay,

Коло x

2

y

2

2ax,

2a(cos 1)

2a sin ,a 0

2a cos ,a 0

y

O

P

a

a

O

P

x

Трипелюсткова роза

Трипелюсткова роза

Лемніската Бернуллі

a sin 3

a cos 3

(x2 y2)2

a2(x2

y2),

a

cos2

y

2a

y

y