PraktykumD+ICh

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

41

Класифікація точок розриву

Розрив 1-го роду (скінченний

Розрив 2-го роду

розрив)

1) f (x0 0) або f (x0

0), або

f (x0 0), f (x0

0)

2) f (x0 0) чи

f (x0 0)

Неусувний

Усувний

Нескінченний

Істотний

f (x0 0)

f (x0 0)

(полюс)

f(x0 0)

f (x0 0)

f(x0

0)

f(x0 0)

або

або

f(x0 0)

f (x0 0)

y

y

y

y

f(a 0)

f (a )

f (a 0)

f (a)

f (a 0)

f (a 0)

x

f (a 0)

O

f (a) x

O

a

x

O

a

x

Алгоритм дослідження функції на

3) якщо існують скінченні однобічні

неперервність у точці.

границі і f (x0 0) f (x0 0),

 Знаходять f(x0 0) і f (x0

0).

то функція

f (x) має розрив 1-го роду,

 Висновують:

неусувний, у точці x0 ;

1) якщо існують скінченні однобічні

4) якщо існують однобічні границі і

границі і

хоча б одна з них нескінченна, то

f (x0 0) f (x0 0) f (x0 ),

функція f (x) має розрив 2-го роду,

нескінченний (полюс), у точці x0

то функція f (x) неперервна в точці x0 ;

(графік функції має вертикальну

2) якщо існують скінченні однобічні

асимптоту x x0);

границі і

5) якщо хоча б одна із границь не

f (x0 0) f (x0

0) f (x0 )

існує, то функція f (x) має розрив 2-го

або функція не означена в точці x0,

роду, істотний, у точці x0.

то функція f (x) має розрив 1-го роду,

усувний, у точці x0 ;

Похідна функції в точці. Похідною

f (x

)

lim

f (x0 x) f(x0)

функції y f(x) у точці x0

0

x

x 0

називають границю відношення

приросту функції до приросту

аргументу, коли приріст аргументу

прямує до нуля:

Позначення похідної функції

y , f (x), dy , df

y f (x)

dx

dx

Функція, диференційовна в точці.

можна зобразити як

Функцію f (x) називають

f(x0) A x o( x), x 0,

диференційовною в точці x0, якщо її

де A — деяке дійсне число, o( x) —

приріст у цій точці

н. м. ф. вищого порядку мализни, ніж

f(x0) f (x0

x) f (x0)

x,

коли x 0.

Диференціал функції. Головну

Функція, яка має скінченну похідну

частину приросту функції A x

в точці є диференційовною в цій точці.

називають диференціалом функції в

точці x0.

Ліва похідна. Лівою похідною

Права похідна. Правою похідною

функції f(x) у точці x0

називають

функції f(x) у точці x0

називають

f (x

0

0)

lim

f (x0 x) f(x0)

f (x

0

0)

lim

f(x0 x) f (x0)

x

x

x 0

x 0

Критерій існування похідної.

існують права та ліва похідні і ці

Функція f (x) має в точці x0 похідну

похідні рівні між собою:

тоді й лише тоді, коли

f (x0 0) f (x0 0) f (x0).

Диференціал функції f (x)

df (x0) f

(x0) x

f (x0)dx

у точці x0

Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

43

(Cu) Cu ,C const

(u v)

u

v

(uv) u v uv

uv

u

u v



2

v

v

 f(u) x fu ux

y f(x) y f(x)(ln f(x))

Похідна оберненої функції

yx

1

xy

Похідна параметрично заданої

функції

x(t),

x

x(t),

x

y(x) :

y (x) :

y(t), t ( ; )

y (t)

y

(t)

, t ( ; )

yx

x

(t)

2.3. Формули диференціювання

Тут u u(x). Якщо u(x) x, то u x 1.

(C) 0,C const

(u ) u 1u

(au ) au lna u ,a 0

(eu ) euu

(loga u)

u

,a 0,a 1

(ln u) u

u lna

u

(sin u) cosu u

(cosu)

sin u u

u

u

(tg u)

cos2 u

(ctgu)

sin2 u

(arcsin u)

u

(arccosu)

u

1 u2

1 u2

(arctg u)

u

(arcctg u)

u

1 u2

u2

1

(sh u)

ch u u

(chu)

sh u u

(th u)

u

(cth u)

u

ch2 u

sh2 u

Похідні вищих порядків

f (x) (f (x)) ,

f

(n)

(x) (f

(n 1)

(x)) , n

Позначення

y , y , y(4), ..., y(n), ...;

f (x), f (x), ..., f (n)(x);

d2y , ..., dny

dx2

dxn

Диференціали вищих порядків

d2f (x0) d(df (x0)),

dn f (x

0

) d(dn 1f(x

0

))

Формула обчислення

dn f (x0) f (n)(x0)dxn,

диференціала

де x — незалежний аргумент

Лейбніцова формула

u(x)v(x) (n)

n

Cnku(n k)(x)v(k)(x)

k 0

Похідна параметрично заданої

функції

x(t),

x

(n)

(n 1)

x x(t),

y

y(x) :

(x) :

y

n 1 (t)

(n)

x

y y(t), t ( ; )

, t ( ; )

y

n (t)

x

x (t)

m !

m n

(n)

n

1

( 1) n !

m (n)

x

,

n m,

(x )

(m n) !

n 1

0,

n m

x a

(x a)

m

(ax )(n)

ax (ln a)n

(ex )(n)

ex

(loga x)(n)

( 1)n 1(n 1) !

(ln x)(n)

( 1)n 1(n 1)!

xn ln a

xn

(n)

n

n

(n)

n

sin

x

x

n

(sin x)

(cos x)

cos

2

2