Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumD+ICh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

					3. Границя функції				81
2)	lim	2	; lim		2		.

						2
	x 2 0 x 2			x 2 0 x		2
3)	lim f (x)			lim (x 1) 3;			lim f(x)	lim ( 2x 2)	2.
	x 2 0			x 2 0		x 2 0		x 2 0

3.7.Знайти:

1) lim lg(4x 1

2x 5);

2) lim 4

x 1

;

x 2

3) lim sin

x 2

Розв’язання. [1.23.] 

1) lim lg(4x 1

2x 5) lg

lim(4x 1 2x 5)

lg 10 1.

x 2

lim

2) lim 4x 1

42 16.

4x x 1

2(x

3) lim sin

x 2

lim sin

x 2

(x 2)(

lim sin

sin lim

sin

x 2

2x 2

x 2

Коментар.  У цій задачі скористаємось можливістю переходу до границі під знаком неперервної функції, а функції y lg x, y 4x , y sin x, y cos x — неперервні в будь-якій точці області означення.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

3.9.Виходячи з означення границі за Коші (мовою ), доведіть, що:

lim(3x 8) 5;

lim

5x 1

;

x 1

3x 9

lim

;

lim 1

x)2

x 1 (1

x 0 x

3.10. Знайдіть:

lim

x2 4

;

lim

x2 4

;

2 2x

x 1 3x2 2x

x 8 3x

lim

;

lim

x2 4

x 2 3x2

2x 16

x 3x2 2x 16

82	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

3.11.

Знайдіть:

3x 1

1) lim

;

lim

;

x 4

x 2

x 0

3) lim

;

lim

x2 3

x 1

3.12.

Знайдіть:

1)	lim	3x3	2x2 5			;
			3	x 1
	x 2x
3)	lim	x 4 x2 1			;
			2	10
	x x


5)	lim		x2 1		x	;

			4 x3 x x
	x
7)	lim	(x 1)10 ... (x 100)10

	x			x10 1010

3.13.Знайдіть:

1)lim x3 2x2 x 2 ;

x 1 2 4x 3x

3)	lim	x	2 2x 1		;
3)	lim			x3 x	;
	x 1			x3 x
5)	lim			49 x2	;
5)	lim				;
	x 7 1		8 x
		3
7)	lim	3		10 x 2		;

				x 2
	x 2			x 2

3.14. Знайдіть:


2) lim	7x 3		;
		x 6
x x2

lim

8x 7

;

x 3 4

x2 2

lim

3 x4

3 5 x

3 4

;

x7 1

; 8)

lim

4x 3x 2x .

lim

x3 3x2 2x 1

;

5x 6

x 3

lim

8x3 1

;

x 1 2 6x2

lim

1 1

;

x 0

x2 16 4

lim

xn an

(n, m , a 0).

x a xm am

1)	lim				x2 12x			9x2 18x 5			;
	x

2)	lim			3 (x 1)2			3	(x 1)2	;
	x
				12			1						1	3
3)				12			1		4)				1	3
3)	lim							;	4)	lim						;
	x 6		2	36						x 1			x	1 x	3
		x		36		x 6						1	x	1 x

3. Границя функції

	x	3	x	2
	x		x

5) lim					;
5) lim			2x 1		;
x	2	1	2x 1
2x		1
3.15. Знайдіть а) f (x0 0); б) f (x0 0):

f(x)

x 1

, x0 1;

x 1

x 2,

2x 1,

f(x)

x 2,

3.16.Знайдіть:

1)lim 3x 1;

			1	x 1
3)	lim		1
3)	lim			;
		2
	x
5)	lim	arctg x;

3.17.Знайдіть:

6)lim

x1x2

2) f(x) 3x 2, x0

				1
				1
						,
4)	f(x)				2	,
4)	f(x)		x		2
				x,
				x,


2)	lim 3x 1;
	x
			1	x 1
4)	lim		1		;
4)	lim				;
		2
	x
6)	lim	arcctg x.
	x

x .

x 0,	x	0	0.
x 0,		0
x 0,

x 1


	1) lim log2(7x 1 3x 1);															2)						lim 2x2 1;
		x 1																				x

																									1 x

								3																1 x		1 x
								3		x 2														1 x		1 x
																4)						lim
														;
	3) lim cos													;											.
		x 1							x 1													x 0
									x 1															2 x

Відповіді
3.10. 1)	1	; 2) ; 3)			2	; 4)				1	. 3.11.	1) 9;			2)		3	; 3) ;			4) 0.
3.10. 1)	5	; 2) ; 3)			7	; 4)			3		. 3.11.	1) 9;			2)	4		; 3) ;			4) 0.
	5				7				3							4
3.12. 1)	3	; 2) 0; 3) ; 4) 2; 5) 1;												6) 0; 7) 100; 8)							.
3.12. 1)	2	; 2) 0; 3) ; 4) 2; 5) 1;												6) 0; 7) 100; 8)							.
	2																		1			n
3.13. 1) 1; 2) ; 3) 0;						4) 6; 5) 28;							6) 4; 7)						1	; 8)		n	an m.
3.13. 1) 1; 2) ; 3) 0;						4) 6; 5) 28;							6) 4; 7)							; 8)			an m.
																12					m
3.14. 1) ; 2) 0;				3)				1	; 4) 1;			5)		1	; 6) 0.
3.14. 1) ; 2) 0;				3)			12		; 4) 1;			5)		4	; 6) 0.
							12							4
3.15. 1) f( 1 0)			1, f( 1 0)									1; 2)				f(2 0) 0, f(2 0) ;
3) f(2 0) 3, f(2 0)								4; 4) f( 0) 2, f( 0) 0.
3.16. 1) ; 2) 0;				3) ; 4) 0; 5)											; 6) 0.
3.16. 1) ; 2) 0;				3) ; 4) 0; 5)											; 6) 0.
														2
3.17. 1) 3; 2) 1; 3)				2		; 4)			1 .
3.17. 1) 3; 2) 1; 3)			2			; 4)			1 .
			2						2

84	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

Навчальні задачі

4.1.Знайти lim (cos x 1 cos x);

Розв’язання. [1.21.10.]

[0.6.7]

lim 2 sin

x 1

sin

x 1

lim (cos

x 1 cos

lim

2 sin

x 1 x

sin

2( x

x 1)

lim

sin

sin lim

sin 0

2( x 1 x )

x 1

x )

Функція 2 sin

x 1

обмежена, оскільки:

2 sin

x 1

Добуток нескінченно малої функції на обмежену є функцією нескінченно малою. Отже,

lim 2 sin	x 1 x	sin
	2
x

4.2.Знайти:

1)lim sin 5x ;

x0 x

	3)	lim	sin x sin a ;
		x a		x a
	5)	lim	3sin 5x			3sin x		;
	5)	lim						;
		x 0	ex2		cos x
Розв’язання. [1.26.]
1) lim	sin 5x			0			sin 5x 5x, x 0
	sin 5x			0

x 0		x		0
x 0

	1		0.

2(x
2(x		x 1)

2)lim sin 2x tg x ;

x0 1 cos 2x

4) lim ln(1	3x )	;
x ln(1	2x )

	4 arctg	1
6) lim	4 arctg	1 x	.
		1 x
	x
x 0	x

lim 5x 5.

x0 x

[1.21.1]

[1.21.2]

2) lim

sin 2x tg x

sin 2x

2x, tg x

x 0

lim

2x x

[1.21.3]

x 0 1 cos 2x

x 0

1 cos 2x

(2x)

2, x 0

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

sin x sin a

[0.6.7]

2 cos

x a

sin

x a

sin

x a

3) lim

lim

x a

2 cos

x a

a cos a.

lim

lim cos x

x a

[1.26.7]

ln(1 3x )

3x,

lim

ln(1

lim

2 ) 2 ,

lim

ln(1

2 )

3sin 5x 3sin x

3sin x (3sin 5x sin x 1)

5) lim

lim

cos x

x 0

1) (1 cos x)

3sin 5x sin x

[1.26.8]

[0.6.7]

2esin x

ln 3 sin 2x cos 3x

(sin 5x sin x) ln 3

lim

(ex

1) (1 cos x)

2 ln 3 sin 2x cos 3x, x

3sin x 1, cos 3x 1,

2esin x

ln 3

sin 2x cos 3x

[1.26.1]

[1.26.9]

lim

sin 2x

4 ln 3.

x 0

ex 1

1 cos x

[1.26.3]

1 cos x

0, x 0

4 arctg

arctg

1 x

6) lim

4 lim

x 0

tg 4

[1.26.2]

4 arctg 1 x

1 x

[0.6.2]

4 lim

x 1 tg

x 0

1 x

4 lim

1 x

4 lim

1 x

4 lim

x 2

x 0

x 0 x

1 x

x 1

4.3.

Знайти:

1) lim sin 7 x

;

lim

lg x 1

;

x 1 sin 2 x

x 10

86	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

3) lim	ex e		;	4) lim	1 3	x	.
		x 1
x 1				x 1 1 5		x
Розв’язання. [1.26.]

lim

sin 7 x

t x 1, x

lim

sin 7 (t

sin 2 x

t 0, x 1

sin 2 (t

x 1

t 0

[1.26.1]

lim sin(7 t 7 )

[0.5.6]

sin 7 t

7 t,

7 t

7 .

lim

sin 2 t

2 t,

lim

2 t

t 0

sin(2 t

2 )

t 0

sin 2 t

t 0

t x 10,

[0.3.6]

lg x 1

lg(10 t) lg 10

lim

t 10,

lim

x 10

t 0

0, x

lg 1

[1.26.6]

10 ln 10

lg 1

lim

10 ln 10

lim

t 0

10 ln 10

e(e

x 1

[1.26.9]

e(x 1)

lim e

lim

x 1,

lim

x 1

1 3

t x 1, x t 1,

1 t 1 1 3

4) lim

0, x 1

lim

x 1

1 (t 1)

1 5

1 3

[1.26.10] t

(1 t)

3 ,

lim

5 .

1 5

t 0

(1 t)

1 5 , t

4.4.Знайти:

1)	lim	ln(1 3x )		;	2) lim x(ln(x 1) ln x);
	x ln(1 2x )				x

3)
3)	lim		2x tg x .
	x 2
		cos x

Розв’язання. [3.3, 3.2.6.]

1) lim	x	)	lim	x	lim	x ln 3	ln 3 .
1) lim	ln(1 3	)	lim	ln 3	lim	x ln 3	ln 3 .
x	ln(1 2	)	x	ln 2	x	x ln 2	ln 2
x	x		x	x	x

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

lim

x(ln(x 1) ln x)

lim x ln

, x

lim

2x sin x

lim

2x tg x

lim

x 2

cos x

t x

2x sin x

lim

cos x

x 2

t 0, x

2 t

sin t

2t cos t

lim

cos t

sin t

t 0

lim (1 cos t) 2t cos t

lim (1 cos t)

lim 2t cos t

t 0

sin t

t 0

sin t

t 0

sin t

2t cos t

lim t 2 lim cos t

lim

t 0

2 t 0

t 0

4.5.Знайти:

2x 1

2) lim

lim

;

2x 1

ctg x

4) lim ln(e x)

lim

;

x 0

Розв’язання. [1.23.6, 1.25.5, 1.26.]

2x 1

lim

[1.23.6]

lim

2x 1

[1.23.6]

lim

2x 1

88	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

[1.25.5]

lim

x x 1

x x

3) lim

x 1

ctg x

[1.25.5]

lim (ln(x

e) 1) ctg x

4) lim

ln(e x)

x 0

ln(x e) ln e [0.3.6]

lim

e [1.26.7]

lim e

tg x

ex 0

ex 0 x

e1e.

4.6.Які з функцій є нескінченно малими чи нескінченно великими?

1) f (x) x2 1 x; а) x , б) x ;

2) f (x)

; а) x , б) x .

Розв’язання. [1.21.7, 1.21.8.]

1) lim

x2 1 x

x2 1 x2

1 x

lim

x2 1 x

lim

x2 1 x

Отже, f (x) — н. в. ф., коли x ; f (x) — н. м. ф., коли x .

2) lim	1	1; lim	1		0.

	2x			2x
x 1		x 1

Отже, f (x) — н. м. ф., коли x .

4.7.Визначити порядок мализни і головну частину нескінченно малої функ-

ції (x) x3 1000x2 щодо н. м. ф. (x) x, коли x 0.
Розв’язання. [1.24.6.]
lim	x3	1000x2	lim	x2(x 1000)				lim x2 k(x 1000)
lim		xk	lim			xk		lim x2 k(x 1000)
x 0		xk	x 0			xk		x 0

					0,	2 k 0,
					0,	2 k 0,

							2 k,
			1000,				2 k,

					,	2 k 0.
					,	2 k 0.

Отже, н. м. ф. (x) має порядок 2					щодо н. м. ф. (x) x, коли x 0; головна
частина 1000x2. Тобто
		x3 1000x2				1000x2, x 0.

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

4.8.Визначити порядок росту і головну частину нескінченно великої функції

(x)

щодо функції (x) x, x .

x 2x2

Розв’язання. [1.24.6.]

, 5

k 2,

5 k

1 x

lim

k 2,

5 k 2.

Отже, н. в. ф. (x) має порядок росту 5 2

щодо н. в. ф. (x) x, коли

x ; головна частина

1 x3. Тобто

, x .

1 x 2x2

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

4.9.Знайдіть:

1)lim tg 3x ;

x0 x

cos x

tg x

lim

;

arcsin 2x2

x 0

lim

ctg x ;

x 0

sin x

lim cos x cos a ;

x a

4.10. Знайдіть:

lim

1 sin x ;

x 2

x 1

lim x arctg

x 2

;

4.11.Знайдіть:

1)lim x log2 10 x ;

x5 x

2)	lim	arctg 3x ;
	x			x
4)	lim		3 arctg x			;
4)	lim					;
	x 0			4 x	2
6)	lim		(1 cos x)2					;
6)	lim	tg2 x sin2						;
	x 0	tg2 x sin2					x
8)	lim	ctg x ctg a .
	x a			x a

2)
2)	lim		2x tg x						.
	x	2
							cos x

4)lim(1 x) logx 2.

x 1

2) lim x2 ln cos		;
x	x

90	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

	ln(a x) ln a			ln(1			3
3) lim		;	4) lim			x		x)	.

x 0	x		x ln(1		3 x 4			x)

4.12. Знайдіть:

lim

e7x

e2x

tg x

;

x 0

lim

1 x

2 1

;

x 0

lim

3 tg x 1

;

2 sin2 x

x 4

4.13. Знайдіть:

2x 1

lim

;

x 1

;

lim

5)lim (1 ctg x)tg x ;

					x 1 tg2 x
			1	x 3
7)	lim						;
7)	lim						;
	x 0			x 7	x
		1		x 7
9)		2 ex2 1				ln 1 tg2		x	;
9)	lim	2 ex2 1				ln 1 tg2		3	;
	x 0

lim x

41 x

41 (x 1)

lim

ex2 1

;

x 0

1 sin x2

lim 2x

x2 .

x 2

2x 1

lim

;

x 1

lim

;

lim x2

cos x;

x 0

1 x

1 sin3 x

lim

;

x 0

1 x

10) lim

2 3sin2 x 1 ln cos x .

x 0

4.14. Визначте, які функції є нескінченно малими:

1) f (x)

2x 1

, x

2) f (x)

cos x

, x 0;

cos x

f (x)

ln(x2

x 1)

, x ?

ln(x4

x 1)

4.15. Визначте, які функції є нескінченно великими:

1		1		, x 2;
1) f (x)
	x3 4x2 4x		x2 3x 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019414.35 Кб1Poyasnyuvalna_zapiska (1).docx
#
04.09.2019986.31 Кб3Poyasnyuvalna_zapiska.docx
#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc