Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumD+ICh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Перша достатня умова існування екстремуму. Нехай x0 — критична точка 1-го порядку і функція f

неперервна в деякому околі точки x0.

Якщо в цьому околі:

1)		для	x	x0,	і
	f (x) 0					f (x) 0
для x x0,		то	в	точці	x0	функція
досягає максимуму;
2)		для	x	x0,	і
	f (x) 0,					f (x) 0,

для x x0, то функція досягає в точці x0 мінімуму;

3) похідна не змінює знак переходячи через x0, то в точці x0 екстремуму немає.


x0	x	x0	x
max		min


x0	x	x0	x

Друга достатня умова існування		1) якщо f (x0) 0, то	x0 — точка
екстремуму. Нехай функція f двічі		локального максимуму;
неперервно диференційовна в точці x0		2) якщо f (x0) 0, то x0	— точка

та f (x0 ) 0, f	(x0) 0. Тоді:	локального мінімуму.


Критична точка 2-го порядку.		Достатня умова опуклості донизу
Нехай функція f означена в околі		(догори). Нехай функція y f (x) в
точки x0. Точку x0 називають		інтервалі (a;b) двічі неперервно
критичною точкою 2-го порядку, якщо		диференційовна. Тоді:
виконано одну з умов:
1) f (x0 ) 0;		1) якщо f (x) 0 x (a;b), то
		графік цієї функції в інтервалі (a;b)
2) f (x0 ) ;		опуклий донизу ;

3) f (x0 ).		2) якщо f (x) 0 x (a;b), то
		графік цієї функції в інтервалі (a;b)

		опуклий догори .

Необхідна умова існування точки		Достатня умова існування точки
перегину. Якщо M0(x0; f (x0 )) — точка		перегину. Якщо для функції f точка
перегину графіка функції y f (x), то		x0 є критичною точкою 2-го порядку,
x0 — критична точка 2-го порядку.		і, переходячи через цю точку, друга
		похідна f (x) міняє знак, то точка x0 є
		точкою перегину функції f.

52	Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Схема дослідження функції на			Схема дослідження функцій на
монотонність і локальний			опуклість і точки перегину.
екстремум.			 Знаходять область означення
 Знаходять область означення			функції.
функції.			 Знаходять критичні точки 2-го
 Знаходять критичні точки 1-го			порядку функції f, якщо вони є (якщо
порядку функції f,		якщо вони є (якщо	їх немає, то графік функції не має
їх немає, то функція не має			точок перегину).
екстремумів).			 Досліджують знак другої похідної в
 Досліджують знак першої похідної в			кожному з інтервалів, на які критичні
кожному з інтервалів, на які критичні			точки розбивають область означення.
точки розбивають область означення.			 Застосовуючи достатні умови
 Застосовуючи достатні умови			опуклості й існування точок перегину,
монотонності й існування локального			висновують про поведінку функції.
екстремуму, висновують про
поведінку функції. Обчислюють
значення функції в точках екстремуму.

Схема дослідження функції на			Схема повного дослідження
глобальний екстремум.			функції та побудови її графіка.
 Знаходять критичні точки 1-го			 Знаходять область означення
порядку функції в інтервалі (a;b);			функції f — множину D(f ).
 Обчислюють значення функції у			 Встановлюють можливі симетрії
знайдених критичних точках і на			графіка функції.
кінцях відрізку [a;b].			 Визначають можливі точки розриву
			 Визначають можливі точки розриву
 Серед обчислених значень функції			функції і асимптоти її графіка.
вибирають найбільше та найменше			 За допомогою першої похідної
значення функції на [a;b].			функції визначають інтервали
			монотонності і точки екстремуму.
y			монотонності і точки екстремуму.
max f(x)			 За допомогою другої похідної
[a,b]			 За допомогою другої похідної
		M	функції визначають інтервали
			опуклості функції і точки перегину.
		m2	 Знаходять можливі точки перетину
min f (x)		m2	графіка функції з осями координат.
min f (x)	m1		 Будують графік функції y f (x).
[a,b]	m1	b x	 Будують графік функції y f (x).
O	a	b x

Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.1. Первісна. Невизначений інтеграл

	 Функцію F(x) називають	Основна властивість первісної.
	первісною функції f(x) в інтервалі	Якщо функції F1 та F2 — дві різні
	(a;b), якщо вона диференційовна для	первісні однієї і тої самої функції f
	(a;b), якщо вона диференційовна для	в інтервалі (a;b), то вони
		в інтервалі (a;b), то вони
	будь-якого x (a;b) і F (x) f (x).	відрізняються одна від одної лише
	Достатня умова існування	сталим доданком, тобто
	первісної). Будь-яка неперервна на	F2(x) F1(x) C,
	відрізку [a;b] функція f має на	F2(x) F1(x) C,
	цьому відрізку первісну F.	де C const.

	Сукупність F(x) C всіх	де f (x)dx — підінтегральний вираз;
	первісних функції f (x) в інтервалі	f (x) — підінтегральна функція,
	(a;b) називають невизначеним	f (x) — підінтегральна функція,
	(a;b) називають невизначеним	x — змінна інтегрування,
	інтегралом від функції f (x) і	x — змінна інтегрування,
	інтегралом від функції f (x) і	C — довільна стала.
	позначають	C — довільна стала.
	позначають	Знаходження невизначеного
	f(x)dx F(x) C,	Знаходження невизначеного
	f(x)dx F(x) C,	інтеграла називають інтегруванням.
	3.2. Основні правила інтегрування

		d f (u)du f (u)du.
	 f (u)du u f(u)	d f (u)du f (u)du.
	 dF(u) F(u) C	 af (u)du a f (u)du,a 0

 (f1(u) f2(u))du f1(u)du f2(u)du

 f (u)du F(u) C, u (x)

Формула інтегрування	формула інтегрування частинами:
частинами. Якщо функції u(x) та	udv uv vdu.
v(x) неперервно диференційовні на	udv uv vdu.
деякому проміжку, то на цьому
проміжку правдива

Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Формула заміни змінної. Якщо

формула заміни змінної:

функція f (x) неперервна в інтервалі

(a;b), функція (t) неперервно

f(x)dx f( (t)) (t)dt,

диференційовна і строго

де у праву частину треба підставити

монотоннна і в інтервалі ( ; ),

t 1(x).

причому (t) 0, то правдива

3.3. Основні формули інтегрування



u 1

u ln

 u du

C, 1

 eudu eu C

 a du

ln a

 sin udu C cos u

 cos udu sin u C



tg u C



C ctg u

cos2 u

sin2 u

 sh udu ch u C

 ch udu sh u C

th u C

C cth u

arcsin a C,

u2 a

a2 u2

a 0

1 arctg u C,

u a

a 0

sin u

cos u

tg udu

C ln

cos u

ctg udu

sin u

Формулу 3.3.13 називають «довгим логарифмом», а 3.3.16 — «високим логарифмом».

Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.4. Основні методи інтегрування

Внесення під знак диференціала

f(u(x))u (x)dx f(u(x))du(x)

Замінювання змінної

f(x)dx f( (t)) (t)dt

Інтегрування частинами

udv uv vdu

Перетворення підінтегрального

cos xdx d(sin x);

виразу внесенням під знак

sin xdx d(cos x);

диференціала

d(tg x);

df (x);

f (x)dx

cos2 x

1 d(ax b),a,b const;

d(ctg x);

sin2 x

xdx

2 d(x

);

d(arctg x);

1 x2

dx d(ln x);

d(arcsin x)

1 x2

3.5. Метод інтегрування частинами

Pn(x) — многочлен степеня n

sin x



u P (x)

P (x) cos x dx,

 Pn(x) ln xdx

u ln x

Pn(x) arcf xdx

u arcf x

Двічі інтегрувати частинами

sin bx



sin(ln x)

dx,

рівняння щодо шуканого інтеграла.

cos bx

cos(ln x)

Один раз інтегрувати частинами

a2 x2dx,

x2 a2dx

рівняння щодо шуканого інтеграла.

56 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.6. Інтегрування дробово-раціональних виразів

Типи елементарних дробів

I .

II .

a)k

III .

Mx N

, D p2

4q 0

IV .

Mx N

, k 2, k

px q

px q)

Інтегрування елементарних дробів



x a



x a

(x a)k

1 k

(x a)k 1



Виносять старший коефіцієнт і

вилучають повний квадрат у

ax2

знаменнику.

bx c

x a



Ax B

Вилучають у чисельнику похідні від

знаменника:

ax2

bx c

d(ax2 bx c) (2ax b)dx;

Ax B

(2ax b) C

2ax b

dx C

bx c

ax bx c

bx c

In 2

2 n

2 n 1 (2n

, n

3)In 1

(x a )

2a (n 1) (x a )

Раціональний дріб

Pm(x)

Схема розкладання правильного

Qn(x)

дробу на суму елементарних.

називають правильним, якщо степінь

 Розкладають знаменник дробу на

чисельника менше, ніж степінь

множники.

знаменника.

 Записують розклад на

Будь-який неправильний дріб можна

елементарні дроби з невизначеними

подати як суму многочлена і

коефіцієнтами.

правильного дробу.

 Визначають коефіцієнти.

Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Теорема розкладання. Будь-який правильний раціональний дріб

Pm(x)

Qn(x)

(n m) можна єдиним чином розкласти на суму елементарних дробів:

Pm(x)

(x a

Pm(x)

Qn(x)

)k1

... (x a )kl (x2

p x q

)r1

... (x2 p x q

)rs

(x a1)k1

(x a1)k1 1

... x a1

...

M x N

...

Mr x Nr

...

)r1 1

(x2 p x q

)r1

2 p x q

x2 p x

Схема інтегрування дробово-

Множнику (x a) у знаменнику

раціонального виразу.

дробу Pm(x)

відповідає розклад

 Вилучають (у разі потреби) цілу

Qn(x)

Pm(x) .

частину дробу

A 1

Q (x)

(x a) (x a) 1

... x a

 Правильний дріб розкладають на

суму елементарних дробів.

Pm(x)

 Інтегрують суму цілої частини і

елементарних дробів.

(x a) (x) x a

A k

( k)

P (x)

( k)!

(x a) (x)

x a

k 1, 1.

58 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.7. Інтегрування тригонометричних виразів

Основні способи знаходження I R(sin x, cos x)dx

 Загальний випадок —

t tg

2dt

універсальна тригонометрична

2 ,

1 t2

підстановка

sin x

, cos x

1 t2

1 t

R( sin x, cos x) R(sin x, cos x)

R(cos x)d(cos x)

R(sin x, cos x) R(sin x, cos x)

R(sin x)d(sin x)

R( sin x, cos x) R(sin x, cos x)

I R(tg x)d(tg x)

або I

R(ctg x)d(ctg x)

Знаходження sinm x cosn xdx

m 2k 1, k

sin2k 1 xdx sin x(sin x)2k 2dx

(1 cos2 x)k 1d cos x

n 2k 1, k

cos2k 1 xdx (1 sin2 x)k 1d sin x

m 2k, n 2l, k,l

sin2k x cos2l

1 cos 2x

1 cos 2x l

m 2

 tg

xdx tg

x tg

xdx tg

1 dx

cos

m 2

 ctg

xdx ctg

x ctg

xdx ctg

sin

 sin kx cos lxdx 21 sin(k l)x sin(k l)x dx

cos kx cos lxdx 21 cos(k l)x cos(k l)x dx

sin kx sin lxdx

1 cos(k l)x cos(k l)x dx

Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.8. Інтегрування ірраціональних виразів



Виносять старший коефіцієнт і

ax2 bx c

вилучають повний квадрат під

коренем.

ax2 bx c

a x2 2 2ba x ac

a x 2ba 2 ac 4ba22



Ax B

Вилучають у чисельнику похідну

ax2 bx c

від підкореневого виразу:

d(ax2 bx c) (2ax b)dx;

Ax B

A (2ax b) C

Ax B

dx A

2ax b

dx C

ax2 bx c



(x ) ax2 bx c

 R x, Xr1

s1 , ..., Xrn

sn dx,

ax b

tm, m HCK(s1,..., sn )

cx d

де X ax b

cx d

Інтегрування диференціального бінома xm(a bxn )pdx, m, n, p

(теорема Чебишова)

ІІ

ІІІ

m 1

У решті випадків

x tk ,

інтеграл не

a bx

ax n

b ts,

виражається в

НСК(s1, s2),

елементарних

p r

n r2 , m r1

p s

функціях.

Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Тригонометричні підстанови



R(x, a

)dx

x a sin t, t

;



R(x, a

)dx

;

x a tg t, t



R(x, x

)dx

, t

cos t

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019414.35 Кб1Poyasnyuvalna_zapiska (1).docx
#
04.09.2019986.31 Кб3Poyasnyuvalna_zapiska.docx
#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc