Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumD+ICh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

7. Застосування похідної

111

f (x) 2x 6; f (x ) 2; f (x			) 0.
	1	2
Дотична до кривої y f(x) у точці M1	має рівняння
y ( 4) 2(x 4);		y 2x 12.
Дотична до кривої y f(x) у точці M2	має рівняння
y ( 5) 0(x	3); y 5.
Нормаль до кривої y f(x) у точці M1	має рівняння
y ( 4) 1 (x 4);		y 1 x 2.
2		2
Нормаль до кривої y f(x) у точці M2	має рівняння

x3.

7.2.Визначити, в якій точці дотична до параболи y x2 :

1)паралельна прямій y 4x 5;

2)перпендикулярна до прямої 2x 6y 5 0;

3)утворює із прямою 3x y 1 0 кут 4 .

Розв’язання. [2.5.2, 2.5.5–2.5.7.]

Нехай точка дотику M0(x0; y0 ). Тоді:

[2.5.2]

kдот. y (x0) 2x0.

1) У паралельних прямих рівні кутові коефіцієнти [2.5.5]. Отже, kдот. 2x0 4 x0 2, y0 4.

Дотична до параболи y x2				паралельна прямій y			4x 5 у точці M0(2; 4).
2) [Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої 2x 6y							5 0.]
			2x 6y 5 0 y 1 x			5	k 1 .
					3	6	3
У перпендикулярних прямих кутові коефіцієнти зв’язані співвідношенням
					[2.5.6]
Отже,				k1k2	1.
Отже,
			kдот. 2x0 3		x0	3 , y0 9 .
						2	4
Дотична до параболи y x2				перпендикулярна до прямої 2x 6y 5 0 в точці
	3
	3	;	9
M0		;	.
	2
	2		4

3) [Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої 3x y 1 0.]

112 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3x y 1 0 y 3x 1 k 3.

		[2.5.7]		2x0 3							2x		0 3			x		1,		y		1,
		[2.5.7]														x		1,		y		1,
																	0				0
tg																1			1				1
tg																1			1				1
	4		1 2x					0	3			6x	0	1		x				y					.
	4		1 2x						3			6x		1		x				y					.
																	0		4		0		16
																			4				16
Дотична до параболи y x2										утворює кут						із прямою 3x y 1 0 в точках
															4
			1			1
	та M2		1			1
M1( 1; 1)					;		.
M1( 1; 1)					;		.
			4
			4			16
7.3. Визначити,					під яким кутом перетинаються гіпербола y																	1		із парабо-
																						x
лою y				x.

Розв’язання. [2.5.8.]

[Знаходимо точки перетину гіперболи та параболи.]


		x,
y		x,
					1

						x						x 1, y 1.
	1					x						x 1, y 1.
	1				x
y					x
	x
	x
Криві перетинаються в точці M0(1; 1).
[Знайдімо кутові коефіцієнти дотичних у точці M 0.]
k1 (											1							1	;
											1							1

				x ) \|x 1									x					2
						2									x 1			2
						2									x 1


											1
			1								1
k2																	1.
k2														2			1.
														2
		x			x 1							x			x 1
Отже,												x			x 1


							1	( 1)
							1
	tg					2										3.
						2
						1			1	( 1)
									1

Криві утворюють кут arctg 3.						2
Криві утворюють кут arctg 3.

7.4.1) Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) t2 3t 1 (м). Визначити його швидкість у момент t 4 с.

2) Кількість електрики, що протікає через провідник, починаючи з мо-

менту t 0, задано формулою q(t) 2t2 3t 1 (Кл). Знайти силу струму наприкінці п’ятої секунди.

Розв’язання.

1) Швидкість руху тіла є похідною від пройденого шляху. Отже, v(t) s (t) (t2 3t 1) 2t 3 v(4) 11 (м/с).

7. Застосування похідної

113

2) Сила струму є похідною від кількості електрики, що протікає через провідник. Отже,

I(t) q (t) (2t2 3t 1) 4t 3 I(5) 23 (А).

7.5.Написати рівняння дотичної та нормалі у точці M 0(2; 2) до кривої

									1						1
									1						1
																	,
				x					t							2	,
	L	:							t				t			2
	L	:							1				t				3
									1								3
																			.
				y						2t						2t2			.
										2t						2t2
Розв’язання. [2.5.3, 2.4.5.] 
[Знаходимо значення параметра t,					яке відповідає точці M0(2; 2). ]
			1			1
			1			1
	2								,
	2		t					2	,
			t			t		2				t						1.
			1			t			3			t						1.
			1						3
	2
	2			2t				2t			2
				2t				2t			2
Точці (2; 2) кривої відповідає значення параметра t 1.
[Обчислюємо похідну yx (1). ]
[2.4.5]		yt					t 6													7 .
yx (t)		yt					t 6							; yx \|t 1
yx (t)		xt				2t 4								; yx \|t 1
		xt				2t 4														6

Рівняння дотичної:

y 2 76 (x 2); 6y 7x 2 0.

Рівняння нормалі:

y 2 76 (x 2); 7y 6x 26 0.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

7.6.Запишіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції y f(x) у заданій точці:

1) y

, x0 4;

2) y x 3 2x2 4x 3, x0 2.

7.7.У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до кубічної параболи y x 3 дорівнює 3 ?

7.8.1. Скласти рівняння дотичної до параболи y 21 x2 3x 6, перпенди-

кулярної до прямої x 5y 10 0.

114 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

2. Скласти рівняння дотичної до кривої y x3, паралельної прямій

3x y 5 0.

7.9.З’ясуйте, під якими кутами перетинаються:

1)парабола y x2 та пряма 3x y 2 0;

2)синусоїда y 1 sin x та пряма y 1;

3) коло x2 y2 8ax та крива y2	x 3	.
	2a x

7.10.1. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) (9t t3) м. Знайдіть швидкість руху для моментів t 1 с та t 2 с.


2.	Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)				t4	4t3 16t2. Знай-
2.	Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)					4t3 16t2. Знай-
				4
діть швидкість руху. Коли тіло рухається у зворотному напрямі?
7.11. 1.	Напишіть рівняння	дотичної та нормалі до				еліпса x 3 cos t,
		3

y 4 sin t, у точці M0
			; 2	2 .
			; 2	2 .
		2
		2

2. Напишіть рівняння дотичних до кривої x t cos t, y t sin t, t	, у
початку координат і в точці, яка відповідає значенню параметра t0		.
		4

7.12.Складіть диференціальне рівняння кривої, що має характеристичну властивість:

1)квадрат довжини відрізка, який відтинає будь-яка дотична від осі ординат, дорівнює добутку координат точки дотику;

2)будь-яка дотична перетинається з віссю ординат у точці, однаково віддаленої від точки дотику до початку координат.

Відповіді

7.6. 1) x 4y 4		0,			4x y 18 0; 2) y 5									0, x 2 0.
7.7. (1;1),( 1; 1).
7.8. 1. 5x y 38		0;			2. 3x y 2				0.
7.9. 1) arctg		1 ,			arctg		1	; 2)				,		3 ; 3)		,		.
7.9. 1) arctg		1 ,		2	arctg			; 2)			1	,	2	3 ; 3)	1	,	2	.
	1	7		2		13					1	4	2	4	1	4	2	2
		7				13						4		4		4		2
7.10. 1.	6 м/с; 3	м/с. 2. v t3				12t2				32t, рух у зворотному напрямі від t 4									до t 8.
																				2
7.11. 1.	4					3			7	2		0. 2.		y 0,( 4)x ( 4)y 2							0.
	4					3			7	2
	y 3 x 4		2 0, y			4 x
	y 3 x 4		2 0, y			4 x				8									4

						8. Похідні вищих порядків		115

	y	y			1
7.12. 1) y	y	y	; 2)	y	1	y	x
7.12. 1) y			; 2)	y			.
	x	x			2
	x	x			2	x	y

8. Похідні вищих порядків

Навчальні задачі

8.1.Знайти похідні вказаного порядку функції f :

1) f(x) 5x	4	, f		2) f (x) sin	2	x, f	(5)
			(x);				(x);

3) f(x) ln(x a2 x2 ), f (x).

Розв’язання. [2.4.1.]

;

120x.

1) f (x) 20x

f (x)

(20x

)

60x

; f (x)

(60x

)

2) f (x) 2 sin x cos x

sin 2x;

f (x)

2 cos 2x;

f (x) 4 sin 2x;

f (4)(x) 8 cos 2x;

f (5)(x) 16 sin 2x.

3) f

a2 x2

(x) x a2 x2

a2 x 2 ;

(x) (a2 x2 )3 2 .

8.2.

Знайти похідну:

1) y(100), y (x2

1) cos 2x;

2) y(n), y

x 3

3x 2

Розв’язання. [2.4.4.]

1) [Щоб знайти похідну, використовуємо Лейбніцову формулу.] u cos 2x, v(x) x2 1, n 100.

v(0)(x) x2

C1000 1

u(100)(x) 2100 cos 2x

100

(99)

(x) 2

sin 2x

(x) 2x

C100

v (x) 2

C 2

4950

u(98)(x) 298 cos 2x

100

(x) 0........................................................................

Оскільки

u(100)(x) 2100 cos 2x 50

2100 cos 2x;

(99)

(x) 2

cos 2x

2 sin 2x;

116 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

u(98)(x) 298			cos			2x 49 298 cos 2x;
	C1			[1.2.3]			100 ! 100;

	100						1! 99 !
					[1.2.3]
C 2		100 !				100		99 4950.

100	2 ! 98 !						1 2
Отже,

y(100)(x) 2100 cos 2x (x2 1) 100 2100								sin 2x x 4950 299 cos 2x

2100 (x2 2474) cos 2x 100x sin 2x .

2)Функція означена і диференційовна на ( ;1), (1; 2), (2; ).

[Розкладаємо дробово-раціональний вираз на суму елементарних дробів.]

x 3	A	B	(A B)x B 2A	.
(x 1)(x 2)	x 1	x 2
			(x 1)(x 2)

[У рівних дробів, з рівними знаменниками, повинні бути рівні чисельники. Два многочлена тотожно рівні (тобто для всіх значень x), якщо вони мають рівні коефіцієнти при однакових степенях.]

A B 1, x 3 (A B)x B 2A

B 2A 3.

x 3

x2 3x 2

x 2

(n)

(n) [2.4.7]

n !

(n)

( 1) n !

( 1)

n 1

x 1

x 2

(x 1)

(x 2)

8.3.Знайти другу похідну функції y(x), заданої параметрично:

a cos t,

b sin t, t

[0; 2 ).

Розв’язання. [2.4.5.]

a cos t, t [0; 2 ),

x a cos t, t [0; 2 ),

b 1

y (x) :

b cos t

y (x) :

ctg t.

a sin

yx (t)

2 (t)

a sin t

sin

8.4.Знайти похідну y неявної функції, заданої співвідношенням:

y x arctg y.

Розв’язання.

[Знаходимо 1-шу похідну функції, заданої неявно.] y x arctg y 0.

8. Похідні вищих порядків							117
	1			y		0;

				1 y2
y				1 y2
				1
				1
y		1				1;
y		1			2	1;
			1 y		2
			1 y

					1 y2			1
				y		y2	y2 1.
				y		y2	y2 1.
[Диференціюємо вираз для y				за змінною x.]

	1				2y				2			1			2		2
	1				2y				2			1			2		2
y			1											1					.
y		2	1			3				3			2	1		3		5	.
		2			y	3			y	3			2		y	3	y	5
y					y				y		y				y		y

підставляємо вираз для y

8.5.Знайти диференціал 2-го порядку функції f (x) ln(1 x2).

Розв’язання. [2.4.3.] 

	2x		;	f		2(1 x2)	;
		2				2 2
f (x)	x				(x)
1						(1 x )

d2f 2(1 x2) dx2. (1 x2)2

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

8.6.Знайдіть зазначену похідну:

f (x) x

4, f

(1);

f (x) (x 10)

, f (2);

f (x) x

ln x, f

(x);

f(x) ln(x

1 x

), f

(x);

f (x) xex , f (n)(x);

f (x) ln(ax b), f (n)(x);

7) f (x)

, f

(n)(x);

f(x)

, f (n)(x).

3x 2

8.7.Знайдіть зазначену похідну функції y y(x), заданої неявно:

	1) y tg(x y), y ;		2) ex y xy, y .
8.8.		функції y	y(x), заданої параметрично:
	Знайдіть похідну yxx

1)x a cos3 t, y a sin3 t;

2)x a( sin ), y a(1 cos );

3) x ln t, y t2 1;

4) x arcsin t, y ln(1 t2).

118 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

8.9.Застосуйте Лейбніцову формулу до обчислення похідної:

1) [(x2 1) sin x ](20);

2) [(x 3 2)e4x 3 ](4);

3) (ex sin x)(n);

4) (x3 ln x)(5).

8.10.

Знайдіть диференціал d2y функції:

2) y

;

x 4.

1) y 4

8.11.

y ln

1 x2

, x

tg t; виразіть d2y через: 1) x та dx;

2) t та dt.

1 x2

Відповіді

8.6. 1) 207360; 2)

360; 3)

; 4)

;

5) ex (x n);

( 1)n 1an(n 1)!

;

x 2)3

(ax b)n

n n !

7) ( 1)

;

8) ( 1)

n 1

(x 2)

8.7. 1) 2(3y4

8y2

5); 2) y((x 1)2

(y 1)2) .

x2(y 1)3

8.8. 1) yxx

: x a cos3 t, yxx

(t)

;

3a cos4 t sin t

2) yxx

: x a( sin ), yxx( )

; 3) yxx : x

lnt,yxx(t) 4t2;

a(1 cos )

4) yxx

: x arcsin t, yxx (t)

8.9. 1) (x2 379) sin x 40x cos x; 2)

32e4x 3(8x3

24x2

18x 19);

x k

3) ex Cnk sin

; 4)

k 0

4 ln x 4 ln3 x

8.10. 1) 4 x

2 ln 4

(2x2 ln 4

1)dx2; 2)

dx2.

(ln

8.11. 1) d2y

d2x

4(1 3x 4)

dx2;

2) d2y

dt2.

cos

9. Правило Бернуллі — Лопіталя

Навчальні задачі

9.1.Перевірити Ролєву теорему для функції f (x) x x 3 на [ 1; 0] та [0;1].

Розв’язання. [2.6.1.]

Оскільки f (x) неперервна і диференційовна на , то вона є неперервною на відрізках [ 1; 0] та [0;1] і диференційовною в інтервалах ( 1; 0) та (0;1).

9. Правило Бернуллі — Лопіталя	119
f ( 1) f(0) f (1) 0.

Отже, на [ 1; 0] та [0;1] виконано всі умови Ролєвої теореми для функції f (x). Знайдімо значення , про яке йдеться у теоремі:

f (x) 1 3x2.

f ( ) 1 3 2 0 1 13, 2 13;

1 ( 1; 0), 2 (0;1).

9.2.Довести, що для многочлена P(x) (x2 1)(x 3)(x 2)(x 1) в ін-

тервалі ( 3;1) існує корінь рівняння P (x) 0.

Розв’язання. [2.6.1.]

Оскільки

P( 3) P( 2) P(1) 0,

і P(x) — функція диференційовна на , то для функції P(x) виконано всі умови Ролєвої теореми на [ 3; 2] і [ 2;1] :

1 ( 3; 2) : P ( 1) 0;

2 ( 2; 1) : P ( 2) 0.

Для функції P (x) на [ 1; 2 ] ( 3; 1) виконано всі умови Ролєвої теореми:

( 1; 2) ( 3;1) : P ( ) 0.

9.3.Перевірити Лаґранжову теорему для f(x) 3x4 на [ 1;1].

Розв’язання. [2.6.2.]
Функція f (x)	неперервна на відрізку [ 1;1] і диференційовна					в інтервалі

( 1;1). Отже,	виконано умови Лаґранжової теореми для f(x) 3 x4					на [ 1;1].
	f (x)	4 3			; f(1) f( 1) 2f ( );
	f (x)	4 3	x		; f(1) f( 1) 2f ( );
		3
		4 3
	0	4 3		0 ( 1;1).
		3

9.4.Довести нерівність

arctg a arctg b a b .

Розв’язання. [2.6.2.]

Для a b, нерівність виконано. Отже, нехай a b. Тоді для функції y arctg x на [a;b] виконано умови Лаґранжової теореми.

120 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

1 x2

f (x)

;

arctg a arctg b

, (a;b).

a b

arctg a arctg b

a b

9.5. З’ясувати

чи

застосовна

теорема

Коші для

функцій f (x) cos x,

g(x) x3

;

на

Розв’язання. [2.6.3.]

;

. Але

Функції f (x) і g(x) неперервні і диференційовні на

|x 0 0.

g (0)

Невиконання умови теореми призводить до невиконання твердження:

sin	cos( ) cos( )
	2	2
			0	2	;	.
3	(2)	( 2)	0		;	.
3	(2)	( 2)				2
2	3	3

9.6.Знайти границю:

1) lim

2) lim

;

x 0

3)lim x50 2x 1 ;

x 1 x100 2x 1

5)lim (1 x)ln x .

x1 0

4) lim	x sin x	;

x 2x sin x

Розв’язання. [2.6.4.] 

ex x 1

1) lim

[ ] lim

lim

x 0

x(e

x 0

lim

ex x 1

lim ex 1

x 0

x 0 2x

2) lim

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019414.35 Кб1Poyasnyuvalna_zapiska (1).docx
#
04.09.2019986.31 Кб3Poyasnyuvalna_zapiska.docx
#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc