Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumD+ICh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

6. Похідна. Техніка диференціювання

101

6.4.Знайти похідну і диференціал функції:

1) f (v) tg v sin a;	2) ( ) sin cos ;
3) s(t) ln t ctg 3.

Розв’язання. [2.2, 2.3, 2.1.8.]

[2.2.1]

[2.3.9]

sin a

1) f

(v) (tg v sin a)

sin a (tg v)

cos2 v

[2.1.8]

sin a

dv.

cos

[2.2.2,2.2.4]

sin cos sin cos .

2) ( ) ( sin cos )

[2.3.7,2.3.8]

[2.1.8]

cos d .

ln t ctg 3

[2.2.2]

3) s (t)

[2.3.6,2.3.1] t

[2.1.8]

dt .

6.5.Знайти похідну функції:

1)	f (x) sin 3x;				2)	f (x) ctg qx;
3)	f (x) sin(2x2);				4)	f (x) 3(tg x)2;
		1
5)	f (x)			;	6)	f(x)	sin2 x 3 cos2 4x.
		cos3
			x

Розв’язання. [2.2.5, 2.3.]


						[2.2.5]
1)	f
		(x) (sin 3x)	(sin u)
			u 3x			[2.3.7]
2)			[2.3.10]		(qx)

	f	(x) (ctg qx)
				sin2 qx

cos 3x		3 cos 3x.
	(3x)

похідна похідна синуса аргументу

sin2 qx .

[2.3.7]

cos(2x

) (2x

4x cos 2x

(x) [sin(2x

)]

)

[2.3.2]

[2.3.9]

6 sin x

(x) [3(tg x) ]

(3u

)

3 2 tg x (tg x)

6 tg x

cos2 x

cos3

u tg x

102 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

[2.3.2]

[2.3.8]

3 sin x

5) f (x)

(cos x)

3(cos x)

cos

1 2

[2.3.2]

6) f

sin

3 cos

x 3 cos

(x)

sin

(sin

[2.3.2]

x 3 cos

4x)

sin2 x 3 cos2

4x 1 2

2 sin x cos x

3 2 cos 4x (

sin 4x) 4

sin 2x 12 sin 8x

sin2 x 3 cos2 4x

6.6.Знайти похідну функції:

1) f(x) arcsin(2x);

2) f (x) arcsin2 3x;

3) f (x) arctg

4) f (x) arcctg

;

5) f (x) arccos(xm );

6) f (x) arctg4

Розв’язання. [2.3.11–2.3.14.]

[2.3.11]

1) f

(2x)

(x)

arcsin(2x)

1 (2x)2

1 4x2

[2.3.2]

[2.3.11]

2) f

(x) arcsin

[(arcsin 3x) ]

2 arcsin 3x (arcsin 3x)

2 arcsin 3x

(3x)

2 arcsin 3x

arcsin 3x .

1 (3x)2

1 9x2

[2.3.13]

3) f

( x )

(x)

arctg

1 ( x )

2 x(1 x)

[2.3.14]

4) f

arcctg

(x)

2(x 1) x

[2.3.12]

m 1

5) f

)

(x) arccos x

1 x2m

6) f

[2.3.13]

[(arctg

4 arctg

(arctg

(x)

arctg

x )

]

x )

(

4 arctg3

x )

2 arctg

1 ( x)2

(1 x) x

6. Похідна. Техніка диференціювання

103

6.7.Знайти похідні функції:


1) f (x) a3x,a 0;			1
		2) f (x) 7			;
				4x
3)	f (x) 4sin2 x ;	4)	f (x) ex 4 ;
5)		6)	f (x) ex (x3 3x2 6x 6).
	f (x) e sin x ;

Розв’язання. [2.3.3, 2.3.4.]

1) f

[2.3.3]

ln a 3 3a ln a.

(x) a

[2.3.3]

2) f

(x)

ln 7

3) f

(x)

sin2 x [2.3.3]

sin2 x

ln 4 2 sin x cos x.

4) f

[2.3.4]

(x)

[2.3.4]

cos x

5) f

sin x

(x) e

sin x

6) f

(x) e

6x 6)

6) e

) (x

6x 6)

ex (x 3 3x2 6x 6) ex (3x2 6x 6) exx3.

6.8.Знайти похідну функції:

1) f (x) log2(5x 4);

2) f (x) ln5 x;

3) f (x) ln arctg x;

4) f(x) ln(x

1 x2 ).

Розв’язання. [2.3.5, 2.3.6.]

1) f

[2.3.5]

(x)

log2(5x

(5x 4) ln 2

2) f

[2.3.6]

(x) ln

5 ln

3) f

[2.3.6]

(x)

ln arctg x

arctg x

[2.3.6]

4) f

(x)

ln(x

1 x

)

1 x

2 1 x

1 x

104 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

6.9.Знайдіть похідну функції:

1) f (x) sh2 x;

2) f (x) th3 x2;

3) f (x) ln ch x;

4) f (x) cos(cth x).

Розв’язання. [2.3.15, 2.3.18.]

[2.3.15]

1) f

(sh x)

2 sh x ch x.

(x) sh

2 sh x (sh x)

2 3

[2.3.17]

2) f

2 2

(th x

)

3 th x

(th x

3 th x

2 2 2x.

(x) th

)

[2.3.16]

sh x

3) f

(ch x)

th x.

(x) ln ch x

ch x

[2.3.18]

sin cth x

4) f

cos(cth x)

sin cth x

(x)

6.10.

Знайдіть похідну функції:

1) f (x)

;

2) f (x) (cos x)sin x .

5 (x 3)2 (x 4)2

Розв’язання. [2.2.6.] 

1) [Застосовуючи формулу логарифмічної похідної треба максимально спростити вираз перед диференціюванням.]

		3 4
[2.2.6]		(x 1)			x 2
		(x 1)			x 2
f (x)	f (x) ln


		2			2
	5	2			2
			(x 3)	(x 4)

максимальновикористовуємо

властивості логарифму

f(x)(3 ln(x 1)

4 ln(x 2)

5 ln(x 3) 2 ln(x 4))

(x 1)3 4

x 2

4(x 2)

5(x 3)

(x 3) (x 4)

x 1

x 4

[2.2.6]

sin x

2) f (x)

f (x)(ln(cos x)

)

f(x)(sin x ln cos x)

sin

sin x

(cos x)

cos x ln cos x

cos x

Коментар. Формулу логарифмічної похідної доцільно використовувати для диференціювання виразів з великою кількістю множників або степеневопоказникових виразів.

Стануть у пригоді такі формули:

6. Похідна. Техніка диференціювання

105

loga(xy) loga x loga y;

loga y loga x loga y; loga x loga x, x, y 0.

6.11. Знайти похідну функції y(x), заданої неявно x 3 y3 3axy 0.

Розв’язання. 

[Диференціюємо обидві частини рівності, що задає функцію y(x) неявно, за змінною x.]

(x	3				3			0.
(x		)	(y			)	3a(xy)	0.
			y3	є складеною функцією,
			а xy - добутком

3x2 3y2y 3ay 3axy 0.

[Залишаємо усі доданки, які містять y , ліворуч і переносимо праворуч решту.]

(3y2 3ax)y 3x2 3ay.

[Виражаємо y .]

y x2 ay . y2 ax

Коментар.  Перехід від неявного задавання функції до явного часто буває

складним, а то й неможливим. Для знаходження похідної y dy				не рекомен-
			dx
довано переходити від неявного задавання функції до явного.
6.12. Знайти	похідну	параметрично	заданої	функції

y(x) :

Розв’язання.

x tg t

;

і для t

для довільного значення t

cos

[2.2.8.] 

2 sin t

yx (t)

cos3 t

;

cos t cos3 t

cos2 t

tg t t,

yx (x) :

2 sin t

(t)

cos t cos3 t

4 .

106 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

6.13. Знайдіть похідну функції:

1) f (x) x 4	1 x 3	2, 5x2 0, 3x 0, 1;	2) f (x) ax2 bx c;
	3

3)f(y) 2y y1 43;

4)f (x) (x2 3x 3)(x2 2x 1);

5)	f(x)	x	;	6) s(t)	3t	2	1 .


		1			t
	x2					1

6.14. Знайдіть похідну функції:

1)	f (x) sin x ctg x;			2)	f (x)	x	;

						1 cos x
3)	f (x)	tg x	;	4)	( ) sin cos .
		x

6.15. Знайдіть похідну функції:

1)	f (x) x2 log3 x;			2)	f(x)	x 1		;
						lg x

3)	f (x) x sin x ln x;			4)	f (x)	1	;

						ln x
5) f (x)		x	;	6) f (x) x 10x ;

		4x

7) f (x) ex ; sin x

9)f (x) (x2 2x 3)ex ;

6.16.Знайдіть похідну функції:

1)f(x) (5x2 7)3;

				3		4
						4

3) f (x)	1	2	x		2	;
				x	2
				x

8) f (x) cos x ; ex

10)f (x) 1 10x .

110x

2)f (x) (1 5x 8x2)5;

4)f(x) 3x2 5x 1;

		6. Похідна. Техніка диференціювання				107
5) f(x)	1		;	6) f (x)	10	;
					(4x3 5x2 7x 1)4
	3 x2 5

7)f (x) (5x2 7x 2)(15x2 5)3; 8) f(x) (8x3 21)3(7 4x3)2.

6.17.Знайдіть похідну функції:

		1
1) f (x) sin x;	2) f (x)	1	;


		cos x
		cos x

3) f (x) ctg4 x;

5) f (x) 7 tg6 x;

7)f (x) 71 sin 7x 35 sin 5x 13

8)f (x) 19 cos 9x 73 cos 7x 83

		2			3
9)		2			3
	f (x)						sin x;
	f (x)		4		2		sin x;
			4	x	2
	cos			x	cos	x

6.18.Знайдіть похідну функції:

1)f (x) arcsin 5x;

3) f (x) arccos(1 x2);

4)f (x) 5 cos5 x;

6)f(x) 8 sin2 x;

sin 3x;

cos 3x;
			2			2		3
10)			2	x		2		3	x.
10)		f (x) cos		x			sin		x.

						3
2)	f (x) arcsin
2)	f (x) arcsin				x;
4)	f (x) arccos			1	;
				x

f (x) arctg 3x2;

f (x) arctg x;

f (x) arcsin3 x2;

f (x) arctg2

;

f(x) arccos4 5x;

10) f(x) arcctg

x3;

cos x

11) f(x) arcsin

1 x2, x 0;

12) f (x) arctg

sin x

6.19. Знайдіть похідну функції:

1) f (x) 23x ;

2) f (x) 6 x2 ;

f (x) earctg x ;

f (x) axn , a 0;

5) f (x) (ax )n,a 0;

6) f (x) e1 x ;

108 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

f (x) ln(15e

);

8) f (x)

ln(x2 x 1)

6.20.

Знайдіть похідну функції:

f (x) ln

(x 4)13 28

(x 3)13

;

12 x 1

f (x) ln

x2(2x 4)7

;

7x 2x

)(2x 3)

3) f (x) (5x 4)3(x 2)2(3 4x); 4) f (x)

x(x2 2)

;

x 4

f (x)

5x2

sin3 x cos4 x;

6) f (x)

(x 5)7(x2 4x 2)3

;

f (x) xx ;

8) f (x) (sin x)arcsin x ;

f (x)

;

cos x

;

(ln x)

10) f(x) (tg x)

11) f (x) x3ex2

sin 2x x1 x ;

12) f (x) xx2 x2x

2xx .

6.21.

Знайдіть похідну функції:

1) f (x) ch3 x;

2) f (x) ln th x;

f (x) cos x ch x sin x sh x;

4) f (x) ch x cos x .

sh x sin x

6.22.

Знайдіть похідні y

функції y(x), заданої неявно:

2) 2y ln y x;

cos(xy) x;

4) x2 3 y2 3 a2 3;

y x arctg y;

6) xy

yx ;

x y

arctg

;

8) a

6.23.

Знайдіть похідну yx

функції y(x), заданої параметрично:

a( sin ),

2) x t 1

, y t 1

;

y a(1 cos );

6. Похідна. Техніка диференціювання

109

x ln(1 t

3at

4) x

, y

1 t

y t arctg t;

6.24.

Знайдіть диференціал функції:

1) f (x) sin x x cos x 4;

2) f (x) x arctg x ln

1 x2 .

Відповіді

6.13. 1) 4x3 x2 5x 0, 3; 2) 2ax b; 3)

; 4) 4x3 3x2 8x 9;

1 x2

3t2 6t 1

; 6)

(1 x

)

6.14. 1) f (x) cos x

; 2) f (x) 1 cos x x sin x

; 3) f (x) x sin x cos x

;

sin2 x

(1 cos x)2

x2 cos2 x

4) ( ) cos .

6.15. 1) f (x) 2x log3 x

; 2) f

(x) x ln 10 lg x x 1

;

ln 3

x ln 10 lg2 x

f (x) sin x ln x x cosx ln x sin x; 4) f

(x)

;

x ln2 x

f (x) 4 x(1 x ln 4); 6) f (x)

10x(1 x ln 10); 7)

f (x)

ex(sin x cos x)

;

sin2 x

f (x)

sin x cos x

; 9)

f (x) ex(x2

1); 10) f (x)

2 10x ln 10

2 .

)

2 4

6.16. 1) 30x(5x

7) ;

2) 5(1 5x 8x

) (5 16x);

3) 4 1

;

6x 5

; 5)

;

40(12x2 10x 7)

;

2 3x2 5x 1

33 (x 2 5)4

(4x3 5x2 7x 1)5

(10x 7)(15x2

5)3 90x(15x2 5)2(5x2

7x 2);

160x5

3 7 4x3

cos x

sin x

6.17. 1)

;

; 3) 4 ctg

; 4)

5 cos

x ( sin x);

sin x

cos

sin

42 tg5 x

; 6) 8 sin 2x; 7)

cos 7x 3 cos 5x cos 3x;

cos2 x

sin 9x 3 sin 7x 8 sin 3x; 9)

8 3 cos4 x ; 10) 5 sin2 x cos3 x.

cos5 x

6.18. 1)

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

;

1 9x 4

1 25x2

x x2

1 (1 x2 )2

x2 1

110 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

; 7) 3 arcsin2 x2

; 8)

arctg

;

1 x2

x4 1

arctg x

1 x4

arccos3 5

x ;

10)

3 x

; 11)

; 12)

1 25x 2

2(1 x 2 )

1 x2

6.19. 1) 3 23x ln 2;

2) 2x 6 x

earctg x

nxn 1ax

ln a; 5) nanx lna;

ln 6; 3)

x2 1 ; 4)

e1 x

15ex 2x

; 8)

5ln(x

x 1) ln 5

2x 1

x2 ;

15ex

x 1

4x 7

6.20. 1)

; 2) x

;

x 2

2x2

7x 6

2x 3

21(x 4)

28(x 3)

12(x 1)

15(5x 4)2(x 2)2(3 4x) 2(5x 4)3(x 2)(3 4x) 4(5x 4)3(x 2)2;

f (x)

(x)

;

5) f (x)

3 ctg x

4 tg x ;

x 4

ln sin x

12x

f (x)

; 7) x (ln x

1);

f (x) arcsin x ctg x

;

x 5

4x 2 x

1 x

cos x

(ln x)

ln ln x ; 10) (tg x)

sin x ln tg x ;

x ln x

sin x

11)–12) Вказівка. Знайдіть похідну кожного доданку окремо.

6.21. 1) 3 ch2 x sh x; 2)

;

3) 2 cos x sh x; 4)

2 sh x sin x

sh 2x

(sh x sin x)2

b2x

1 y sin(xy)

1 y2

y2 xy ln y

6.22. 1) a2y ; 2)

; 3)

; 4) 3

;

2(1 ln y)

x sin(xy)

x2 xy ln x

x y

;

y .

x y

6.23. 1) y

: x a( sin ),y

( ) ctg

;

: x 1

(t) 1;

y : x

ln(1 t2),y

(t)

; 4) y : x

3at

(t)

t(2 t3 )

1 t3

1 2t3

6.24. 1) x sin xdx; 2) arctgxdx.

7. Застосування похідної

Навчальні задачі
7.1. Записати	рівняння дотичної та	нормалі до графіка функції
f (x) x2	6x 4 в точках M1(4; 4)	та M2(3; 5).

Розв’язання. [2.5.3, 2.5.4.]

[Обчислюємо, похідні функції f (x) у точках M1 та M2. ]

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019414.35 Кб1Poyasnyuvalna_zapiska (1).docx
#
04.09.2019986.31 Кб3Poyasnyuvalna_zapiska.docx
#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc