Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumD+ICh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

			13. Інтегрування внесенням під знак диференціала													151
4)	dx					1					dx

	3x2 6x 1			3				(x2 2x 1) 1					1
													3
	1				d(x 1)				1					x2 2x	1
											ln	x 1			3		C.

		3		2			4			3
					(x 1)
					(x 1)		3

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

13.8. Знайдіть безпосереднім інтегруванням:

x dx;

x2 3

dx;

x 4 9

cos

dx;

sin

3 2x

2 3x

dx;

x 4

dx;

1 x

		3	1			4

								3
2)	4x				7		x		dx;
2)	4x			2	7		x		dx;
			x
			x

4)(1 x)2 dx;

x(1 x2)

cos 2x

dx;

cos

x sin

(ax

bx )2

dx;

10)

dx.

13.9. Знайдіть, користуючись інваріантністю формул інтегрування:

1)	sin xd(sin x);				2)	tg3 xd(tg x);
3)		d(1 x2)			4)		d(arcsin x)
				2 ;						;
		1	x				arcsin x

5)	esin xd(sin x);				6)			d(ex )	.

								1 e2x

13.10. Знайдіть внесенням під знак диференціала:

1)	(x 1)15dx;	2)		dx	;

			5
			(2x 3)

3)	5 (8 3x)6dx;	4)
				8 2xdx;

152	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

5) 2x x2 1dx;

7) x2 5x 3 2dx;

9) sin3 x cos xdx;

11)lnx x dx;

13)cos(1 2x)dx;

15)

e1 x dx2 ;

17)

;

1 25x2

19)

;

21)

;

4x2 1

23)

arcsin x dx;

1 x2

25)

;

27)

;

8 6x 9x2

13.11. Знайдіть таку функцію f, що:

1, f( 1)

1) f (x)

sin x cos x, f

2) f (x)

6)	xdx	;


	x2 1
8)	x 4dx		;


	4 x5

10) sin xdx; cos2 x

12) (arctg x)2dx;

1 x2

14)sin(2x 3)dx;

16)esin x cos xdx;

18)

;

4 9x2

20)

;

22)

xdx

;

24)

(arccos 3x)2 dx;

1 9x2

26)

;

28)

2 6x 9x2

																				14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами																																																					153
Відповіді

																											3																				1													x								x2 3
13.8. 1) x3														ln						x							3	3 x 4						C; 2) x									4				1	44 x7						C;			3) ln			x								x2 3				C;

																											4																				x
																																																												x								x2 3
																																																												x								x2 3
4) ln						x			2 arctg x C;																						5) x cos x C;																	6) C ctg x tg x; 7)																	3x 2 1, 5x C;
4) ln						x			2 arctg x C;																						5) x cos x C;																	6) C ctg x tg x; 7)																	3x 2 1, 5x C;
		a x											a												b			x					b															x3		1					1 x														ln 1, 5


8)						ln									2x															ln					C; 9) x																	ln							C;

		b											b																				a															3		2					1 x
		b											b												a								a															3		2					1 x
10)			x5								x3					x								1			ln		x 1							C.
			x5								x3													1					x 1
			5										3											2					x					1
			5										3											2					x					1
											(x 1)16
13.10.							1)				(x 1)16																		2) C												1							3) C						5					11 5			; 4) C									(8 2x)3
																							C;																								;								(8			3x)																;
															16								C;															8(2x 3)4									;						33		(8			3x)															3	;
5)	2																	C; 6)																						C; 7)							5	5								C; 8)					2
	2						(x2 1)3																									x2 1															5		(x3 2)6												2					4 x5				C;

	3																																														18														5
	3																																														18														5
9)	1													C; 10)													1										11)					2						C; 12)							arctg3 x												13) C					1
	1		sin4 x																								1				C;											2		ln3 x											arctg3 x					C					;							1	sin(1 2x);
																										cos x																															3
	4																																									3																														2
	4																																									3																														2
14) C										1		cos(2x 3);																15) C e1 x ; 16) esin x																					C;					17)		1	arcsin 5x								C; 18)							1	arcsin	3x	C;
								2																																															5																	3		2


		1																											1												2									1										2				1
		1																											1												2									1										2				1
19)						arctg 3x C; 20)																																					x C					; 21)									x
																																			arctg																			ln
			3																										3		2				arctg						3													ln	x												C;
			3																										3		2										3									2														4

		1																																											2																1
22)						arctg x2 C; 23) C																																																	; 24) C												1 9x2 arccos2 3x);
																																					1 x2											(arcsin x)3
																																		2																											9 (
			2																															2											3																9 (
25)			1														x					1		C; 26)											1 ln					x 3						C;			27)		1

								arctg																																														ln(3x 1									9x2 6x 8) C;
								arctg																																x 1														ln(3x 1									9x2 6x 8) C;
					2															2															4					x 1										3
28)			1	arcsin												3x					1			C.

			3																3
			3																3
13.11. 1) f														(x)						x3					2x2						x								1		; 2)		f(x) sin x cos x 1.
13.11. 1) f														(x)						3					2x2						x								3		; 2)		f(x) sin x cos x 1.
																				3																			3

14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами

14.1. Знайти замінюванням змінної інтеграл:

1)		x 3							2) x(3x 10)20dx;
1)		x 3				x 1dx;			2) x(3x 10)20dx;
3)					e3x			dx.


				1 ex
Розв’язання. [3.4.2.]
							x 1 t3,
							x 1 t3,
1) x 3	x 1		dx				x t3 1		(t3 1)t 3t2dt
							dx 3t2dt

154	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

		3			3			6			3					7		t	4
		3			3			6			3				t			t
	(t 1)t dt 3									t dt					7
															7			4
3								t dt					3							C
3								t dt					3							C

							3					3
			t	3		x 1	3	3		7		3	3	(x			4	C.
			t			x 1	7		(x 1)			4		(x	1)			C.
							7					4

			3x 10 t
2) x(3x 10)20dx			x		t 10

						3
			dx			1 dt
						3
	1	(t21 10t20)dt
	9
				1				22
				1		(3x	10)

				9			22
				9			22

t 10 t20 1 dt
		3			3
1		t	22		10t	21
1		t			10t
								C

9		22			21
9		22			21

	10						21
	10			(3x			21		C.
				(3x	10)				C.

	21
	21

e3x

1 ex ,

(1 t2)3

tdt

x ln

1 t2

1 ex

2tdt

1 t2

1)dt 2

(1 ex )5

(1 ex )3

2 1 ex C.

Коментар. Рекомендації щодо вибору заміни змінної буде подано для основних класів функцій.

Не забувайте переходити у відповіді до «старої» змінної.

14.2. Знайти інтегруванням частинами інтеграл:

1) (3x 1)e2xdx;

2) (x2

x) sin 3xdx.

Розв’язання. [3.4.3, 3.5.] 



u 3x 1 du 3dx

1) (3x 1)e2xdx

3x 1

(3x 1)

2 e2x

2 e2xdx

e2x

4 e2x C.

udv uv vdu

				14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами														155
2) (x2 x) sin 3xdx									u x2 x				du (2x 1)dx
									u x2 x				du (2x 1)dx
													1
									dv sin 3xdx				v		cos 3x
									dv sin 3xdx				v	3	cos 3x
		1						1						3
		1	(x2 x) cos 3x					1	(2x 1) cos 3xdx
		3	(x2 x) cos 3x						(2x 1) cos 3xdx
		3					3
		u 2x 1					du 2dx
	dv cos 3xdx						v 1 sin 3x
							3
				1		2				1	1					2
				1	(x	2	x) cos 3x			1	1	(2x 1) sin 3x				2
					(x		x) cos 3x					(2x 1) sin 3x					sin 3xdx
				3												3
				3						3 3						3

1	(x2	x) cos 3x		1	(2x 1) sin 3x						2	cos 3x C
3	(x2	x) cos 3x		9	(2x 1) sin 3x					27		cos 3x C
3		sin 3x 2x 1		9		cos 3x				27
		sin 3x 2x 1				cos 3x					2
								2	x				C.
							x		x				C.
		3	3			3					9
		3	3			3					9

Коментар.Метою методу інтегруванням частинами є перейти від «складно-

го» інтеграла до простішого («нескладнішого»).

		sin x			x
Щоб обчислити інтеграли вигляду	P			P (x)e	x	dx,	де P (x)
Щоб обчислити інтеграли вигляду	P	(x)	dx,	P (x)e		dx,	де P (x)
	n	cos x		n			n

— многочлен степеня n, , треба брати

uPn(x).

Покладімо u 3x 1, dv e2xdx. Від u до du переходять диференціюван-

ням, а від dv до v — інтегруванням:

3dx; v e

du (3x 1) dx

(при цьому можна вважати, що C 0 ).

14.3. Знайти:

1) ln xdx;

2) x arctg xdx;

3) arcsin xdx.

Розв’язання. [3.4.3, 3.5.] 

1) ln xdx

u ln x

x ln x x dx

dv dx

v x

x ln x dx x ln x x C.

156	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

u arctg x

2) x arctg xdx

dv xdx

arctg x 1

1 x

arctg x

arctg x C.

1 x

u arcsin x

3) arcsin xdx

1 x2

dv dx

v x

x arcsin x

xdx

d(1 x2) 2xdx

1 x2

x arcsin x

(1 x2) 1 2d(1 x2) x arcsin x

1 x2 C.

Коментар.Щоб

обчислити

інтеграли вигляду

Pn(x) ln xdx або

Pn(x) arcf xdx, де Pn(x) — многочлен степеня n, arcf — одна з арк-функцій: arcsin, arccos, arctg чи arcctg, треба брати:

u ln x

або

u arcf x.

14.4.

Знайти:

1) e3x cos 2xdx;

a2 x2dx.

Розв’язання. [3.4.3, 3.5.]



u e3x

du 3e3xdx

1) I e3x cos 2xdx

dv cos 2xd

sin 2x

e3x sin 2xdx

u e3x

du 3e3xdx

2 sin 2x

e3x 2

dv sin 2xd

2 cos 2x

sin 2x

cos 2x

cos 2xdx

14 e3x (2 sin 2x 3 cos 2x) 94 e3x cos 2xdx.

[Записуємо рівняння щодо шуканого інтеграла.]

14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами

157

I 14 e3x (2 sin 2x 3 cos 2x) 94 I;

I 131 e2x (2 sin 2x 3 cos 2x).



xdx

a2 x2

2) I

a2 x2dx

a2 x2

dv dx

a2 a2

x a2 x2

x a2 x

a2 x2

перетворюємо інтеграл

a2 x2

a2 x2dx a2 arcsin a .

[Записуємо рівняння щодо шуканого інтеграла.]

a2 arcsin x

I x

a2 x2

arcsin

sin bx

sin(ln x)

Коментар. Інтеграли вигляду

dx,

dx та ін., двічі

cos bx

cos(ln x)

інтегрують частинами, двічі вибираючи за u функцію того самого типу (чи e x , чи тригонометричну функції — все одно), і одержують рівняння щодо шуканого інтеграла.

 Інтеграли вигляду a2 x2dx, x2 a2dx один раз інтегрують части-

нами, перетворюють одержаний інтеграл і дістають рівняння щодо шуканого інтеграла.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

14.5. Застосовуючи заміну змінної, знайдіть:

1)	x(5x 1)19dx;						2)			xdx				;

									(2x				7
									(2x				1)
3)			dx		;		4)				dx					;

											3
		1							1		3	x			1
		1		x					1			x			1
			dx					e
5)			dx			;	6)			xdx.


			1 ex

158	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

14.6. Знайдіть, інтегруючи частинами:

		1)	x sin 2xdx;							2)	(9x 3) cos 3xdx;
		3)	x3xdx;							4)	xe xdx;
		5)	arccos(2x)dx;							6)	x arctg xdx;
		7)	x2		ln(1 x)dx;					8)	ln(x2 1)dx;
		9)	(x2		2x 3) sin xdx;					10)		x2e xdx;
		11) (arcsin x)2dx;								12)		ln2 xdx;
		13) e 2x cos 5xdx;								14)		sin ln xdx;
		15) esin x sin 2xdx;								16)		x2 arctg2 x dx.
												1 x
Відповіді
		1			21		20
					21		20
14.5.	1)			(5x 1)		(5x 1)		C; 3)		x ln(1 x)) C;
									2(
									2(
		25		21			20
		25		21			20

	3							1
4)	3	2 3	1 3			C; 5) ln	1 ex	1	C;
		(x 1)	3(x 1)	3 ln	1 3 x 1

	2						1 ex 1
	2						1 ex 1

6) 2ex (x 1) C.

14.6. 1)			1	sin 2x		x	cos 2x C; 2) 2)						(3x 1) sin 3x cos 3x C; 3)						3x			(x ln 3 1) C;
14.6. 1)			4	sin 2x			cos 2x C; 2) 2)						(3x 1) sin 3x cos 3x C; 3)						ln2		3	(x ln 3 1) C;
			4		2														ln2		3
4) C e x(x 1); 5)								x arccos 2x				1				x2	1	arctg x		x	C;
												1				x2	1			x
												2		1 4x2 C; 6)			2			2
(x3									x3	x2		2					2			2
(x3		1) ln(1 x)							x3	x2	x	C; 8) x ln(x2 1) 2x 2 arctg x C;
7)
7)			3						9	6	3
			3						9	6	3
9) (x 1)2 cos x 2(x 1) sin x C; 10) C ex(2 2x x2);
					arcsin x 2x x arcsin2 x C; 12) x(ln2 x 2 ln x 2) C;
11) 2		1 x2			arcsin x 2x x arcsin2 x C; 12) x(ln2 x 2 ln x 2) C;
13)	e 2x		(5 sin 5x 2 cos 5x) C; 14)										x		(sin ln x cos ln x) C;
13)	29		(5 sin 5x 2 cos 5x) C; 14)										2		(sin ln x cos ln x) C;
	29												2

15) 2esin x (sin x 1) C; 16) x arctg x 21 ln(1 x2 ) 12 arctg2 x C.

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

159

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

Навчальні задачі

15.1. Зінтегрувати елементарні дроби:

				1)								2dx							;																											2)									3dx					;
				1)						x									;																											2)													3	;
										x							1																																		(x 2)
				3)											x 5														dx;																4)												dx				;
				3)					x				2		2x 5														dx;																4)						(x			2					3		;
									x						2x 5																																				(x						9)
				5)														2x 3															.

									(x					2																		2
									(x							6x 13)
Розв’язання. [3.6.]
1)			2dx					2 ln												x 1									C.
			2dx

		x 1
		x 1
2)					3dx								3 (x 2) 3d(x 2)																																				3							C.
2)									3				3 (x 2) 3d(x 2)																																							2				C.
	(x 2)																																												2(x 2)
3)						x					5								dx									d(x2 2x 5) (2x 2)dx
																												d(x2 2x 5) (2x 2)dx
																																								1

	x			2	2x											5																x 5									(2x 2)										4
	x				2x											5																x 5								2	(2x 2)										4
																																								2
													1		(2x 2) 4																						1				d(x2							2x 5)																	dx
													2		(2x 2) 4																		dx				1				d(x2							2x 5)											4						dx
															2				2x 5														dx				2					x	2	2x 5															4			x	2	2x 5
														x					2x 5																		2					x		2x 5																		x		2x 5
													x2 2x 5																							1		ln(x2 2x 5)																						d(x 1)
																											2					4				2		ln(x2 2x 5)																									2					4
																(x 1)																4				2																						(x 1)										4
																										1		ln(x2 2x													5)				1		arctg						x 1						C.
																												ln(x2 2x													5)			2			arctg												C.
																								2																				2										2
4) [Застосовуємо рекурентну формулу [3.6.6].]
									dx																						1											x
									dx																						1											x

In 2															2 n														2											2
In 2															2 n														2											2			2 n 1 (2n 3)In 1 , n
					(x a )																																				a )
					(x a )																				2a (n 1) (x																a )
							dx																a 3;													1									x																							dx


																																																			(2 3								3)

					2										3																												2						2																	2					2
					2										3								n						3					2 2 9									2						2																	2					2
				(x							9)												n						3					2 2 9											9)																			(x 9)
				(x							9)																														(x				9)																			(x 9)
				a 3;														1											x												1								x																					dx
				a 3;
																																			3																			(2					2 3)
				n 2
																											2						2															2																					2
																		36						(x			2						2							2	1							2	9																		x		2		9
																		36						(x								9)								2	1		9 x						9																		x				9
																						1								x									1			x									1					arctg x						C.
																					36 (x2 9)2																216 x2						9							648						arctg x						C.
																					36 (x2 9)2																216 x2						9							648									3

160	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

5)		(2x 3)dx						d(x2				6x 13) 2x 6
5)	(x	2 2						d(x2
	(x		6x 13)							2x 3 (2x 6) 3
								(2x 6)dx								3						dx
						(x		2							2	3		(x	2					2
						(x				6x 13)								(x		6x 13)
								f (t)				1					x2 6x 13 (x 3)2 4
											dt			C
								f 2(t)			dt		f	C
												1			3				d(x 3)

									2	6x 13							((x					2		2
							x			6x 13							((x		3)					4)
				1						1					x 3											d(x	3)
				1						1					x 3											d(x	3)
					3														(2 2 3)

			2												2											2
		x	2	6x 13						2 1 4					2		4								(x	2
		x		6x 13						2 1 4				(x	3)		4								(x	3)	4
						1						3			x 3						3		arctg x 3			C.
												3											arctg x 3			C.
				x2 6x 13									8 (x 3)2 4							16				2

x5 x2 1

15.2. Вилучити цілу частину дробу x2 x 1 .

Розв’язання. [3.6.]

[ Вилучають цілу частину діленням многочленів у стовпчик. Ділити припиняють тоді, коли степінь остачі стане меншим за степінь дільника.]

x5 x2 1

x2 x 1

x5 x4 x 3

x3 x2 2

x 4 x3 x2 1

x 4 x3 x2

2x2 1

2x2 2x 2

2x 3

[Записуємо відповідь.]

x5 x2 1

x3 x2 2

2x 3

x2 x

15.3. Розкласти правильні дроби на елементарні:

3x 1

x2 3

;

1)(x

2)(x 1)

2x 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019414.35 Кб1Poyasnyuvalna_zapiska (1).docx
#
04.09.2019986.31 Кб3Poyasnyuvalna_zapiska.docx
#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc