Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

=E1,1 + E2,2 + … + cEi,i + … + En,n = Е + (с – 1)Ei,i , где с 0.

Упражнения.

1. Проверить, что при умножении произвольной (п,т)- матрицы А слева на элементарную (п,п)-матрицу Рi,j(с) у матрицы А к i-й строке прибавляется j-я строка с коэффициентом с, при умножении А слева на Рi,j у матрицы А меняются местами i-я и j-я строки, при умножении А слева на Рi (с) у матрицы А i-я строка умножается на с 0. Таким образом, при умножении матрицы А слева на элементарную матрицу s-го типа (s = I, II, III) над строками матрицы А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.

2. Проверить, что при умножении произвольной (т,п)- матрицы А справа на элементарную (п,п)-матрицу Рi,j(с) у матрицы А к j-му столбцу прибавляется i-й столбец с коэффициентом с, при умножении А справа на Рi,j у матрицы А меняются местами i-й и j-й столбцы, при умножении А справа на Рi (с) у матрицы А i-й столбец умножается на с . Таким образом, при умножении матрицы А справа на элементарную матрицу s-го типа над столбцами матрицы А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.

9.3. Определитель произведения матриц.

Теорема. Пусть А, В Мп(Р). Тогда |A B| = |A| |B|.

Доказательство. С помощью элементарных преобразований I-го и II-го типа над строками матрицы А (см. Теорему

ЭП ЭП

из 4.2) приведем еѐ к ступенчатому виду: А … A . Каждому ЭП над строками матрицы соответствует умножение этой матрицы на соответствующую элементарную матрицу слева. Таким образом, существуют элементарные матрицы

Р1, Р2,…,Pk такие, что Pk…Р2Р1А = A . Очевидно,

| A | = (-1)s|A|, где s – количество элементарных матриц II-го типа среди Р1, Р2 ,…,Pk . Рассмотрим два случая.

1. |A| = 0. Тогда последняя строка матрицы A - нулевая, и значит, последняя строка матрицы A В – также нулевая. Сле-

81

довательно, 0 = | A В| = |Pk…Р2Р1АB| = (-1)s|AB| |AB| = 0 = =|A| |B|. В этом случае утверждение доказано.

2. |A| 0. В этом случае последняя строка матрицы A - не-

нулевая, и матрица A - треугольная. Далее как в 4.4, начиная с последней строки, с помощью только ЭП-I над строками можно сделать над каждым диагональным элементом нули, то есть получить диагональную матрицу D = diag(d1,…,dn):

I-го типа Q1, Q2,…,Qt такие, что Qt…Q2Q1 A = D,

Qt…Q2Q1Pk…Р2Р1А= D, и |A|= (-1)s| A |= (-1)s|D|=(-1)sd1,…,dn.

Но при умножении матрицы В на D слева 1-я строка матрицы В умножается на d1, 2-я строка матрицы В умножается на d2 и т.д., то есть |DB| =d1,…,dn|B| =|D||B|. Следовательно, |AB|=(-1)s|Qt…Q2Q1Pk…Р2Р1АB|=(-1)s|DB|=(-1)s|D||B| =|A||B|.

Таким образом, в случае 2 утверждение также доказано.

Лекция 19.

9.4. Обратная матрица.

Утверждение. Пусть А - (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица. Тогда (АВ) t = В tА t.

Доказательство. Заметим, что произведение ВtАt определено, так как В t - (k,п)-матрица, а А t - (п,т)-матрица. Кроме того (АВ) t и В tА t – матрицы одного типа.

Очевидно, (i,j)-й элемент матрицы (АВ)t равен ((АВ)t)i,j=

=(АВ)j,i = Аj Вi = (j-я строка матрицы А) (i-й столбец мат-

рицы В) = (В t)i (А t)j = (i-я строка матрицы В t) (j-й столбец матрицы А t) = (В tА t)i,j.

В 8.4 мы доказали, что если левая и правая обратные матрицы для (п,п)-матрицы А существуют, то они совпадают.

Теорема. А-1 |A| 0.

82

Доказательство. . Пусть А-1= В . Тогда АВ = Е

|АВ| =|А||В| = |E| = 1 |A| 0.

. Пусть |A| 0. Найдем правую обратную матрицу Х такую, что АХ = Е. Столбцы матрицы Х обозначим Х1, Х2,…,Хп, а столбцы матрицы Е обозначим Е1, Е2,…,Еп. Тогда из уравнения АХ = Е, записывая матрицы X и E через столбцы, получим уравнение А ( Х1, Х2,…,Хп) = (Е1, Е2,…,Еп), или

(А Х1, А Х2,…, А Хп) = (Е1, Е2,…,Еп) А Х i = Е i i . Так как

|A| 0, то по правилу Крамера решение Х i i существует и единственно. Таким образом, доказано, что правая обратная матрица для А существует и единственна. Аналогично можно доказывать существование левой обратной матрицы. Но можно поступить иначе. Так как |A t| = |A| 0, то для At по доказанному существует правая обратная матрица Y, то есть

AtY = Е (AtY) t = Е t= Е Y tAtt= Е Y tA= Е Y t – левая обратная матрица для А.

Далее мы найдем, какой вид имеет обратная матрица. Рассмотрим уравнение для i-го столбца обратной матри-

цы А Х i = Е i из доказательства предыдущей теоремы. Так

по правилу Крамера хki = k / |A|, k = 1,…,п, где k - определитель, полученный из определителя |A| заменой k-го столбца на Еi. Из разложения k по k-му столбцу получим, чтоk=Аik – алгебраическое дополнение к (i,k)-му элементу в |A|. Значит, хki = Аik/|A|, i, k = 1,…,п. Матрица А* = ( ki), гдеki = Аik, называется присоединенной матрицей к А. Таким образом, нами доказана

Теорема. Если |A| 0, то А-1 , и А-1=(1/|A|) А*.

83

Упражнение. Проверить, что А А*=А* А = |A| E при лю-

бом |A|.

9.5. Решение матричных уравнений.

Рассмотрим матричное уравнение АХ = В, где А – (п,п)- матрица с |A| 0, В - (п,т)-матрица, а Х – неизвестная (п,т)- матрица. Покажем, что существует единственное решение этого уравнения.

1. Пусть решение Х0 , то есть АХ0= В. Тогда А-1АХ0=А-1ВХ0 = А-1В - это означает единственность решения.

2. Подставим Х0 = А-1В в наше уравнение. Получим А(А-1В) = АА-1В = ЕВ = В, то есть Х0 = А-1В является решением уравнения. Это означает существование решения.

Покажем, как на практике можно решать матричные уравнения. Как мы видели в 9.3 при |A| 0 существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рr такие, что Pr…P2P1A = D = =diag(d1,…,dn). Умножая это равенство слева на элементарные матрицы III-го типа P1(d1 -1), P2(d2 -1),…,Pп(dп -1), получим

P1(d1 -1)P2(d2 -1)…Pп(dп -1)Pr…P2P1A = Е. Таким образом, мы видим, что существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рq

такие, что Pq…P2P1A = E. Следовательно, Pq…P2P1 = А-1. Отсюда можно получить два вывода.

1.А-1= Pq…P2P1E, то есть для нахождения обратной матрицы надо над строками матрицы Е проделать те же ЭП, что проделывались над строками матрицы А при приведении еѐ к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида (А|Е), и над «длинными» строками этой

матрицы делают ЭП так, чтобы слева получилась матрица Е. Тогда справа получится матрица А-1.

2.Для матричного уравнения АХ =В решение Х0 = А-1В = =Pq…P2P1В. Значит, для нахождения Х0 надо над строками матрицы В проделать те же ЭП, что проделывались над строками матрицы А при приведении еѐ к единичной матрице Е. То есть над «длинными» строками матрицы (А|В) надо де-

лать ЭП так, чтобы слева получилась матрица Е. Тогда справа получится матрица А-1В.

Теперь рассмотрим матричное уравнение YA = В, где А –

84

(п,п)-матрица с |A| 0, В - (т,n)-матрица, а Y – неизвестная (т,n)-матрица. Как и ранее, можно показать, что существует единственное решение Y= BA-1 этого уравнения. На практике решать такие матричные уравнения можно двумя способами. 1-й способ – это транспонировать наше уравнение:

(YA)t = AtY t = В t, найти, как и ранее, с помощью ЭП над

«длинными» строками решение X матричного уравнения AtХ = В t, и затем получить Y = Х t.

2-й способ заключается в следующем. Матрицу А с |A| 0 можно привести к единичной не только элементарными преобразованиями над строками, но также и аналогичным образом элементарными преобразованиями над столбцами. То есть существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рt такие, что AP1P2…Pt = E. Следовательно, P1P2…Pt = А-1, и

А-1= EP1P2…Pt , то есть для нахождения обратной матрицы надо над столбцами матрицы Е проделать те же ЭП, что проделывались над столбцами матрицы А при приведении еѐ к единичной матрице Е. На практике это делают так: записы-

матрицы делают ЭП так, чтобы сверху получилась матрица Е. Тогда снизу получится матрица А-1.

Для матричного уравнения YA = В решение Y = BA-1 = =ВP1P2…Pt получается проделыванием над столбцами матрицы В тех же ЭП, которые проделывались над столбцами матрицы А при приведении еѐ к единичной матрице Е. На

над «высокими» столбцами этой матрицы делают ЭП так, чтобы сверху получилась матрица Е. Тогда снизу получится матрица ВА-1.

9.6. Ранг произведения матриц.

Теорема. Пусть А – (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица.

Тогда rg(AB) min(rgA, rgB).

Доказательство. Пусть А1, А2,…,Ап – столбцы матрицы А,

85

А = (А1, А2,…,Ап). Тогда rgA = dim<А1, А2,…,Ап>. Пусть сна-

чала В = В1 – (п,1)- матрица-столбец, В = . Тогда

АВ1= 1А1+ 2А2+…+ пАп - (п,1)- матрица-столбец, и

АВ1 <А1, А2,…,Ап>.

Теперь для произвольной (п,k)-матрицы В, записанной по столбцам, В =(В1,В2,…,Вk), имеем АВ = (АВ1,…, АВk). Так как все АВi <А1, А2,…,Ап>, то <АВ1,…, АВk> <А1, А2,…,Ап>, и

dim<АВ1,…, АВk> dim <А1, А2,…,Ап>, то есть rg(АВ) rg A.

Неравенство rg(АВ) rg В можно доказать аналогично, рассматривая линейную оболочку строчек матрицы В. А можно получить из доказанного следующим образом:

rg(АВ)= rg(АВ)T = rg(BTAT) rgBT = rgB.

Лекция 20.

10. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ

10.1. Построение алгебры многочленов.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Многочленом с коэффициентами в поле Р будем называть бесконечную строчку ( 0, 1, 2, 3,…), где все компоненты 0, 1, 2, 3,… P и почти все i (то есть все, за исключением конечного числа) равны 0. Множество многочленов будем обозначать P[x].

I. Определим на множестве P[x] операции:

пусть для f = ( 0, 1, 2,…), g = ( 0, 1, 2,…) P[x], P по

видно, у строчек f, f + g , f g также почти все компоненты равны нулю, то есть f, f + g , f g содержатся в P[x].

86

II. Легко проверить, что для определенных нами операций выполнены свойства АКУ-кольца (см. Лекцию 11):

5.(fg)h = f(gh) f, g, h P[x],

6.элемент 1Р[x] P[x], 1Р[x] = (1,0,0,…) такой, что

атакже выполнены свойства линейного пространства:

v.(f+g) = f+ g f, g P[x], P,

vi.( + )f = f+ f f P[x], , P,

vii.( )f = ( f) f P[x], , P,

viii.1 f = f f P[x],

и свойство (fg) = ( f)g = f( g) f, g P[x], P.

Проверим, например, свойство 5. Пусть f = ( 0, 1, 2,…), g = ( 0, 1, 2,…), h = ( 0, 1, 2,…), fg =( 0, 1, 2,…). Тогда

к = i j , и s-я компонента строчки (fg)h равна

i j k

с s-й компонентой строчки f(gh) s. Отсюда (fg)h = f(gh). Упражнение. Доказать остальные свойства.

Таким образом, мы получаем, что P[x] является АКУкольцом, линейным пространством и алгеброй над полем Р (см. Лекцию 18, п.9.1).

Определение. Пусть f = ( 0, 1, 2,…), и k 0, а при m k

все m = 0. Тогда мы будем говорить, что степень многочлена f равна k и писать ст.f = k или deg.f = k. Будем считать по определению, что ст.0Р[x] = - .

87

Обозначим многочлен (0,1,0,0,0,…) через х. Тогда легко проверить, что х2=(0,0,1,0,0,…), х3= (0,0,0,1,0,…),…, и значит, f = ( 0, 1, 2,…)= ( 0,0,0,0,…)+(0, 1,0,0,…)+(0,0, 2,0,…)+…= = 0(1,0,0,0,…) + 1(0,1,0,0,…) + 2(0,0,1 ,0,…) + …= 01Р[x]+ + 1х + 2х2+… Если в этом выражении не писать нулевые слагаемые и множитель 1Р[x], то f = 0 + 1х + 2х2+ …+ kхk,

где k = ст.f.

Теорема. ст.(fg) = ст.f + ст.g.

Доказательство. Если f = 0Р[x] или g = 0Р[x] , то левая и

правая части равенства равны - , и утверждение теоремы

верно. Если же ст.f 0, f= kхk + k-1хk-1+…+ 1х + 0, k 0,

ст.g 0, g= mхm + m-1хm-1+…+ 1х + 0 , m 0, то

fg = k mхk+m+…, и k m 0 ст.(fg) = k + m = ст.f + ст.g.

Следствие. В кольце Р[x] нет делителей нуля.

При построении кольца многочленов вместо поля Р можно аналогичным образом использовать произвольное АКУкольцо А. В этом случае мы получим АКУ-кольцо многочленов А[x] с коэффициентами в кольце А. Так, например, если А = Z, то мы получим кольцо многочленов Z[x] с целыми коэффициентами. Если А = Р[x1], то кольцо А[x2] = Р[x1][x2] = =Р[x1,x2] – это кольцо многочленов от двух переменных с коэффициентами в поле Р.

Далее мы будем рассматривать кольцо многочленов Р[x] с коэффициентами в некотором поле Р.

Когда это не вызовет недоразумений, мы будем обозначать нейтральные элементы кольца Р[х] через 0 и 1.

Замечания.

1.Легко видеть, что кольца Р[x1][x2] и Р[х2][x1] – изоморфны (определение изоморфизма для колец такое же, как

идля полей – см. Лекцию 12, 6.5).

2.Аналогичным образом п строится кольцо многочленов от п переменных P[x1,…,xn] с коэффициентами в поле Р.

3. Для многочлена f = kхk + k-1хk-1+…+ 1х + 0 P[x] определим значение многочлена f(a) на элементе а P по

88

правилу f(a) = kak + k-1ak-1+…+ 1a + 0 . Таким образом каждый многочлен f задает на P функцию Ff со значениями в

P: Ff (a) = f(a) a P . Если P ={a1, a2,…, an} – конечное по-

ле, то, очевидно, многочлен g(x) = (x - a1)(x - a2)…(x - an) задает на P нулевую функцию Fg (как и многочлен 0Р[x] ): Fg=F0 =0. То есть отображение f Ff не является инъекцией.

Упражнение. Доказать, что в случае бесконечного поля

Pотображение f Ff является инъекцией.

10.2.Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

Теорема 1. В кольце P[x] деление с остатком существует

и единственно, то есть f(x), g(x) P[x], g(x) 0, единст-

венная пара q(x), r(x) P[x] такая, что f(x) = g(x)q(x)+ r(x) и

ст.r(x) ст.g(x). (r(x) называется остатком от деления f на g). Доказательство существования деления индукцией по

степени многочлена f.

Пусть f = kхk + k-1хk-1 +…+ 1х + 0,

g= mхm + m-1хm-1 +…+ 1х + 0 .

1.Если ст.f ст.g, то f = g 0+ f, то есть q, r существуют,

q= 0, r = f.

2. Если ст.f ст.g, то рассмотрим f1 = f - k( m)-1 x k-mg. Очевидно, ст.f1 ст.f, и по предположению индукции мож-

f = f1 + k( m)-1x k-mg = gq1 + r1 + k( m)-1x k-mg =

= g(q1+ k( m)-1x k-m)+r1= gq + r, где q = q1+ k( m)-1x k-m, r = r1,

и ст.r1 ст.g. Таким образом, существование деления с остатком в P[x] доказано.

Докажем единственность. Пусть f = gq + r = gq1 + r1, и

ст.r ст.g, ст.r1 ст.g. Тогда g(q – q1)= r1 - r, и если q q1,

то ст.g(q – q1) ст.g, а ст.(r1 – r) ст.g - противоречие. Значит, q = q1, r = r1. Это и означает единственность деления с остатком в P[x].

Теорема Безу. Пусть f P[x], a P. Если r – остаток от деления многочлена f на (х – а), то r = f(a).

89

Доказательство. Пусть f =(x – a)q +r, ст.r ст.(х – а)=1

r P, и при х = а f(а) =(а – a)q(а) +r r = f(а).

Следствия.

1. Если многочлен f(x) имеет корень а, то есть f(a) = 0,

то (х – а) | f(x), f(x) = (х – а)q(x).

2. Если многочлен f(x) имеет различные корни а1,а2,…, аk,

то f(x) = (х – а1)(х – а2)… (х – аk)h(x).

Доказательство. В самом деле, если f(x) имеет корень а1,

то f(x) = (х – а1)f1(x). Далее, если f(а2) = 0, то

f(а2) = (а2 – а1)f1(а2) = 0 f1(а2) = 0 f1(x) = (х – а2)f2(x) f(x) = (х – а1)(х – а2) f2(x). И так далее.

3. Если f(x) имеет k различных корней, то k ст.f.

Лекция 21.

10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.

Определение. Многочлен F называется кратным многочлена f, если f |F. Многочлен F называется общим кратным многочленов f и g, если f |F, g |F. Многочлен т называется

наименьшим общим кратным многочленов f и g, если т 0

и т имеет наименьшую степень среди всех общих кратных f и g. Очевидно, fg – общее кратное для f и g, то есть общие

кратные для f и g существуют, а следовательно, существуют и наименьшие общие кратные.

Теорема. Если М - общее кратное для f и g, а т - наименьшее общее кратное, то т | M.

Доказательство. Разделим М на т с остатком: М=тq+ r, и ст.r ст.т r = M – mq , и так как f и g делят правую часть равенства, то f | r, g |r, то есть r – общее кратное для f и g. Но т – наименьшее общее кратное для f и g, а ст.r ст.т

r = 0 т | M.

Следствие. Если т1 и т2 наименьшие общие кратные для f и g, то т1|т2 и т2|т1 т2 = aт1, т1 = bт2 т2 = abт2

90