Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

элемент по умножению.

Таким образом, мы доказали, что Zm - АКУ-кольцо. Пример. Выпишем таблицы сложения и умножения для Z6.

Так как 2 3 = 0 , то 2 и 3 в Z6 являются делителями нуля. В то же время 5 5 =1, то есть 5 - обратимый элемент в Z6 .

Утверждение. Элемент a Zm обратим наибольший общий делитель НОД(a,m)= 1.

Доказательство.

. Пусть b Zm такой, что a b =1 (ab) 1 ab = 1+ kmab - km = 1, и если d|a, d|m, то d|1.

(ac) (ad) m|(ac - ad) m|a(c - d). Но НОД(a,m) = 1

m|(c - d) c d c = d - противоречие. Таким образом, все элементы из a Zm различны a Zm = Zm b Zm

такой, что a b =1.

51

Следствие. Zm – поле m – простое число.

Доказательство. . Если m = p – простое число, то

a {1,2, …, p - 1} НОД(a,p)= 1 a - обратим, Zm – поле.

. Пусть Zm – поле, и m – непростое число, m = kl, где k 1,

l 1. Тогда НОД(k, m) 1, и для элемента k Zm , k 0 , обратный элемент в Zm не существует - противоречие. Значит, m – простое.

6.5. Поля.

Примеры числовых полей хорошо известны – это

Q,+, , -( ), 0 , 1 , R,+, , -( ), 0 , 1 , C,+, , -( ), 0 , 1 .

Также мы доказали, что простого числа p Z полем яв-

ляется Zp ,+, , -( ), 0 , 1 .

Определение. Если P = P, +, , -( ), 0K , 1K - поле,

Определение. Если Р1, Р2 – поля, то отображение

: Р1 Р2 называется изоморфизмом полей, если - биек-

ция, и x,y Р1 (x+y) = x + y, (x y) = x y. Если для полей Р1 и Р2 такой изоморфизм существует, то говорят,

что поля Р1 и Р2 изоморфны и пишут Р1 Р2.

Упражнения.

1.Доказать, что id: Р1 Р1 является изоморфизмом, то есть

Р1 Р1.

2.Доказать, что если :Р1 Р2 – изоморфизм, то -1:Р2 Р1 – изоморфизм, то есть если Р1 Р2, то Р2 Р1.

3.Доказать, что если :Р1 Р2 , :Р2 Р3 – изоморфизмы,

52

Любое поле P содержит элементы 0Р, 1Р, 1Р + 1Р = 2(1Р), 1Р + 1Р +1Р =3(1Р),…, m(1Р) m N. Возможны два случая:

1)все элементы вида m(1Р), m N, различны.

2)среди этих элементов одинаковые, то есть в N m n такие, что m(1Р)= n(1Р) (такой случай имеет место всегда для

конечного поля Р). Пусть m n. Тогда (m – n)(1Р)= 0Р , то есть существует такое t N, что t(1Р)= 0Р .

Определение. Характеристикой поля Р называется наименьшее натуральное число t такое, что t(1Р)= 0Р . Если такого числа не существует (как в случае 1), то говорят, что характеристика поля равна 0 или ∞ . Характеристика поля обозначается через char P.

Очевидно, char Q = char R = char C = 0, char Zp = p.

Теорема. Если р = char P 0, то р – простое число.

Доказательство. Пусть р – не простое, p = kl, где k, l 1.

53

Тогда 0Р = p(1Р)= (kl)(1Р) = k(1Р) l(1Р), и k(1Р) 0Р, l(1Р) 0Р.

Но в поле нет делителей нуля (см. 6.3), то есть мы получили противоречие. Значит, р – простое число.

Определение. Поле Р называется простым, если у него нет подполей, отличных от Р.

Теорема. Поле Q – простое.

Доказательство. Пусть Q Р – подполе. Тогда Р 0, 1,

1+1=2, 2+1=3,…, n ( n N), - n ( n N), 1n ( n N), 1n m ( n N, m Z), то есть Р Q Р = Q. Других подполей в Q нет.

Теорема. Поле Zp – простое.

Доказательство. Пусть Zp Р – подполе. Тогда Р 0 ,1,

1+1= 2 , 2 +1= 3 , … , p 1 , то есть Р Zp Р = Zp . Других подполей в Zp нет.

Теорема. Пусть Р – поле, и char P = 0. Тогда

1)P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0 ,

2)подполе Р0 – простое,

3)Р0 Q.

Доказательство. Очевидно, пересечение всех подполей в Р является, во-первых, подполем, во-вторых, оно является наименьшим подполем (так как содержится в любом другом) и, в-третьих, оно является простым подполем, так как не содержит собственных (меньших) подполей. Отсюда следуют 1-е и 2-е утверждения теоремы.

Но мы докажем теорему иначе. Пусть поле P содержит подполе Р1. Тогда Р1 0Р, 1Р, 1Р+1Р=2(1Р), 2(1Р)+1Р =3(1Р),…,

54

пользуется правило знаков из 6.2. Выполнение остальных свойств из определения поля в Р0 следует из выполнения их в поле Р.

Подполе Р0 - наименьшее, так как любое другое подполе Р1 содержит Р0. Отсюда следует, что Р0 - простое подполе, так как оно не содержит собственных (меньших) подполей.

= m (1Р) n (1Р) (mn )(1Р) =(m n)(1Р) (mn - m n)(1Р))=0Р

55

mn - m n = 0 (так как char P = 0) mn = mn . Сюръектив-

ность очевидна. Таким образом, - биекция. Сохранение операций при следует из (*) и (**). Следовательно, - изоморфизм.

Теорема. Пусть Р – поле, и char P = р. Тогда

1)P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0 ,

2)подполе Р0 – простое,

3)Р0 Zp.

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Упражнение. Доказать эту теорему.

Лекция 13.

7.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

7.1.Определения, примеры.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Множество L называется линейным (или

векторным) пространством над полем Р, если

I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть a, b L определен результат операции

a+b L, и a L, P определен результат операции a L, и II. для этих операций выполнены 8 свойств:

56

0L называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.

3. a L элемент a L такой, что a + a = a + a = 0L . a называется элементом, противоположным к a, и обозначается -a.

6.( + ) a = a+ a, a L , P,

7.( ) a = ( a) a L , P,

8. 1P a = a a L.

Элементы линейного пространства называются вектора-

ми.

Если рассматривать линейное пространство как универ-

сальную алгебру с множеством операций , то

= {+,-(.), 0L , | P }.

Определение. Подмножество L1 L называется подпространством линейного пространства L, если L1 само является линейным пространством относительно тех же операций .

Упражнения.

1. Доказать, что L1 - подпространство в L тогда и только тогда, когда в L1 выполняются свойства I и II.2 из определения

линейного пространства, то есть a, b L1 a + b L1;

a L1, P a L1 ; 0L L1.

2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0L} и L являются (тривиальными) подпространствами.

Примеры линейных пространств.

1.Поле Р является линейным пространством над Р.

2.Поле является линейным пространством над любым своим подполем.

3.Множество непрерывных функций C[a,b] на отрезке [a,b] со значениями в поле R является линейным пространством над полем R.

57

4.Множество функций F(M) на множестве М со значениями в поле Р является линейным пространством над Р.

5.Множество многочленов Р[x] от х с коэффициентами в поле Р является линейным пространством над Р.

Упражнения.

1.Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.

Утверждение. Множество L = Р n ={( 1,…, n)| все i P}

является линейным пространством над полем Р.

Доказательство. I. Пусть по определению для элементов

из Р n ( 1,…, n)+ ( 1,…, n)= ( 1+ 1,…, n+ n),

( 1,…, n)= ( 1,…, n).

II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что

(( 1,…, n)+( 1,…, n))+( 1,…, n)=(( 1+ 1)+ 1,…,( n+ n)+ + n)= ( 1+( 1+ 1),…, n+( n+ n)) =( 1,…, n)+(( 1,…, n) + +( 1,…, n)).

2.Очевидно, ( 1,…, n)+(0,…,0)= (0,…,0) + ( 1,…, n) =

=( 1,…, n) ( 1,…, n) Р n. То есть (0,…,0)= 0Pn - в Р n

существует нейтрал по сложению.

3. Очевидно, ( 1,…, n)+ (- 1,…,- n)= (0,…,0), то есть в Р n

( 1,…, n) существует противоположный элемент. Упражнение. Доказать свойства 4 – 8 из определения ли-

нейного пространства.

Определения.

1.Пусть элементы a1,…,ak L, 1,…, k Р. Выражение1 a1+…+ k ak называется линейной комбинацией элементов a1,…,ak.

2.Говорят, что элементы a1,…,ak L линейно зависимы, если

существуют 1,…, k Р, не все равные нулю, такие, что1 a1+…+ k ak = 0L. Соответственно, элементы a1,…,ak L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства1 a1+…+ k ak = 0L следует, что все i = 0.

58

3.Говорят, что размерность линейного пространства L равна п , если в L существуют п линейно независимых векторов, а любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L.

4.Говорят, что размерность линейного пространства L бес-

конечна, если в L п существуют п линейно независимых векторов.

5. Если dim L = п, то любые п линейно независимых векторов в L будем называть базисом линейного пространства L.

Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.

7.2. Теоремы о базисах.

Теорема 1. Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L. Тогда любой вектор а L однозначно выражается через

базис в виде а = 1 е1+…+ п еп для некоторых 1,…, п Р.

Доказательство. Пусть а L. Так как dim L = п, то п+1

векторов а,е1,…,еп линейно зависимы, то есть , 1,…, п Р, не все равные нулю, такие, что а + 1 е1+…+ п еп=0L , при-

чем 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы. То-

гда а = (- -1 1) е1+…+(- -1 п) еп = 1 е1+…+ п еп, где

1=(- -1 1),…, п = (- -1 п) .

Докажем однозначность. Пусть а = 1 е1+…+ п еп =

= 1 е1+…+ п еп ( 1 - 1 )е1+…+( п - п)еп= 0L 1 - 1 =0,…,

п - п= 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы

1 = 1 ,…, п = п – это и означает однозначность.

Теорема 2 (обратная). Пусть е1,…,еп – такая система векторов в L, что любой вектор а L однозначно выражается через е1,…,еп в виде а = 1 е1+…+ п еп для некоторых1,…, п Р. Тогда е1,…,еп – базис линейного пространства L.

Доказательство. 1. е1,…,еп – линейно независимая система векторов в L, так как если 1 е1 +…+ п еп = 0L =

= 0 е1 +…+ 0 еп , то из однозначности 1= 0,…, п = 0. Следовательно, в L существуют п линейно независимых векторов.

59

2. Покажем, что в L любые п+1 векторов линейно зависимы.

Пусть а1,…,ап+1 L. Тогда а1 = 11 е1+…+ 1п еп ,…, ап+1 = п+1,1 е1+…+ п+1,п еп . Покажем, что существуют

х1,…,хп+1 Р, не все равные нулю, такие, что

х1а1+…+хп+1а п+1 = 0. Но х1а1+…+хп+1а п+1 =

= ( 11 х1+…+ п+1,1хп+1)е1+…+( 1п х1+…+ п+1,пхп+1)еп , и одно-

родная система п уравнений с п+1 неизвестным

Таким образом, dim L = n, и е1,…,еп – базис в L.

Теорема 3. Если е1,…,еп – базис линейного пространства L, то е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то есть при добавлении к этой системе любого вектора получится линейно зависимая система векторов.

Доказательство. Так как е1,…,еп – базис, то dim L = n, и

из определения размерности следует, что любые п+1 векторов линейно зависимы.

Теорема 4 (обратная). Если е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то е1,…,еп – базис линейного пространства L.

Доказательство. Пусть а L. Так как п +1 векторов

а, е1,…,еп линейно зависимы, то, как и в Теореме 1, вектор а линейно выражается через е1,…,еп . Из линейной независимости векторов е1,…,еп , как и в Теореме 1, следует, что выражение а через е1,…,еп однозначно. Теперь по Теореме 2 мы получаем, что е1,…,еп – базис линейного пространства L.

Теорема 5. dim P n = n.

Доказательство. Пусть е1 =(1,0,0,…,0), е2 =(0,1,0,…,0),…,

60