Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

на евклидовом пространстве Еn. Пусть также O(n) – множе-

ство ортогональных п п-матриц, SO(n)= {A О(n)| detA=1}, SО(Еn) = { О(Еn)| det = 1}.

Теорема 2.

1. О(Еn) – группа, 2. O(n) – группа, 3. О(Еn) O(n),

4. SО(Еn) – подгруппа в О(Еn), 5. SO(n) – подгруппа в O(n).

Доказательство.

1. I. Пусть , О(Еn) х, у Еn (( )х, ( )у) =

= ( ( х), ( у)) = ( х , у) = (х, у) О(Еn).

II. 1. Как и для любых отображений любых множеств, умножение ортогональных операторов ассоциативно.

2.Очевидно, (idx, idy)=(x, y) х, у Еn, то есть О(Еn) id –

нейтральный элемент.

3.Пусть О(Еn). Тогда -1 О(Еn) – см. утверждение 2

из п.19.1.

Следовательно, О(Еn) – группа.

2.I. Пусть A, B О(n) A t = A -1, B t = B -1 (AB)t = B tAt=

=B-1A-1 = (AB)-1 AB О(n).

II. 1. Нам уже известно, что умножение любых матриц ассоциативно (конечно, если оно определено).

2.Е t = Е -1 О(n) Е – нейтральный элемент.

3.Если A О(n), то | A | = 1 A-1 (A-1)t = (At)t = A = =(A-1) -1 A -1 О(n).

Следовательно, О(п) – группа.

3. Очевидно, биекция [ ] из О(Еn) в О(n) ( и - неко-

u

торый ортонормированный базис) является изоморфизмом групп ( так как [ ] = [ ][ ] , [ -1] = [ ] -1, [id] = E ).

Упражнение. Доказать утверждения 4, 5 из теоремы 2.

19.3. Структура ортогонального оператора.

Лемма. Пусть : Е Е - ортогональный оператор, Е L --инвариантное подпространство. Тогда L - -инвариантное подпространство.

Доказательство. х L, y L ( x, y) = (x, y) = 0

(L ) L . Но L = L (так как |L – ортогональный и не-

141

вырожденный) (L ) L (L ) L (на самом деле,(L ) = L , так как на L - ортогональный и невырожденный).

Пусть : Еп Еп - ортогональный оператор. По теореме из п. 16.7 в Еп L1 - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Тогда по лемме L1 - -инвариантное подпространство, и Еп = L1 L1 . Так как на L1 - ортогональный оператор, то в L1 L2 - -инвариантное подпро-

ство размерности 1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Еп = L1 L2 … Lq , где все Li –-инвариантны, попарно ортогональны, и можно считать, что

dimL1 = dimL2 =…= dimLs = 2, dimLs+1 =…= dimLq = 1.

Если L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>,

и : L L - ортогональный оператор, то е = е,

( е, е) = (е,е) 2(е,е) = (е,е) 2=1, = 1 = id.

Если же L – евклидово пространство размерности 2,

L = <и1, и2>, где {и1, и2} – ортонормированный базис в L, и

: L L - ортогональный оператор, то | и1| = | и1| = 1

и1= cos и1+ sin и2 ; | и2|= | и2|=1, ( и2, и1)=(и2, и1)= = 0 и2 = (-sin и1 + cos и2).

142

сумма одномерных взаимно ортогональных -инвариантных подпространств таких, что |L = id, |L = - id.

В разложении Еп = L1 L2 … Lq выберем в каждом Li ортонормированный базис. Объединение и этих базисов является ортонормированным базисом в Еп. В этом базисе матрица ортогонального оператора имеет блочно-диагона- льный вид

[ ] = diag (П( 1),…,П( s), -1,…,-1,1,…,1),

Теорема. Для любого ортогонального оператора: Еп Еп ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица имеет вид:

В матрице -1 и 1 взяты в скобки, что означает, что эти элементы могут присутствовать, а могут и отсутствовать. Верно и обратное утверждение: если [ ] имеет вид (19.1), то -

u

ортогональный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так: Для любой ортогональной матрицы А ортогональная

матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т -1АТ имеет вид (19.1).

Очевидно, любая матрица вида (19.1) – ортогональная.

143

Лекция 31.

20. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

20.1. Сопряженные линейные пространства.

Пусть L =Ln – линейное пространство над полем Р. Обозначим через L* множество линейных функций на L со зна-

чениями в Р (см. п.13.1, важный частный случай линейных отображений). Так как множество Ф(Ln,Lm)={ : Ln Lm} линейных отображений из Ln в Lm с операциями сложения и умножения на элементы поля является линейным пространством над полем P (см. п.13.5) и существует изоморфизм линейных пространств Ф(Ln,Lm) Мт,п(Р), то L*= Ф(Ln,Р) - линейное пространство, и L* М1,п(Р)= Р n dimL*=n= dimL. В частности, L* L, но этот изоморфизм не канонический – он зависит от выбора базисов в L и L*.

В качестве базисного вектора одномерного линейного пространства Р возьмем 1Р . Пусть е = {e1,…,eп} – базис пространства L, х = х1e1+…+хпeп , f L*. Тогда

f(x) = х1f(e1)+…+хпf(en) = х1 1+…+хп n , где все i P,

ные функции еi такие, что еi(х)= 0 х1+…+1 хi+…+0 хn= хi . Очевидно, е*= {е1,…,еn} – базис в L*, и f = 1е1+…+ пеп.

i i 1 при i j, Кроме того, е (еj)= j =

0 при i j.

Определение. Линейное пространство L* называется

сопряженным (или двойственным, или дуальным) к пространству L. Базис е* называется сопряженным (или двойственным, или дуальным) к базису е .

Пусть теперь L= Еп, fa(х)= (a, x), a, x Еп .

Упражнение. Проверить, что fa (Еп)*.

144

Утверждение. Отображение Ф: Еп (Еп)* такое, что для а Еп Ф(а) = fa является изоморфизмом линейных пространств Еп и (Еп)*.

Доказательство. Проверим линейность отображения Ф.

Ф(а+b)= fa+b= Ф(а)+Ф(b) = fa+ fb , так как fa+b(х)= (а+b, x) =

=(а, x)+ (b, x) = fa(х)+ fb(х) =( fa+ fb)(х). Ф( а)= f a= Ф(а)=

=fa , так как f a(х) = ( а, х) = (а, х) = (fa(х)) = ( fa)(х).

Найдем теперь KerФ. Пусть а KerФ Ф(а) = fa = 0 fa(х) = 0 х fa(а) = (а, а) = 0 а = 0 KerФ = 0 Ф –

инъекция, сюръекция, биекция (см. теорему 6 из п.15) Ф –

изоморфизм.

Замечания.

1.Изоморфизм Ф является каноническим, так как он не зависит от выбора базисов.

2.Изоморфизм Ф позволяет перенести скалярное произве-

дение с Еп на (Еп)* по правилу (fa , fb) = (a, b). Таким образом, (Еп)* становится евклидовым пространством, а Ф - изоморфизмом евклидовых пространств.

20.2.Сопряженные линейные операторы.

Пусть : Еп Еп - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = (a, x).

Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то есть f (Еп)*, и следовательно, f = fb при некотором b Еп.

Будем считать, что b = *a, где * : Еп Еп - некоторое отображение. Из определения * получаем, что

(a, x) = (b, x) = ( *a, x) или ( x, а) = (х, *a ).

Утверждение. * : Еп Еп – линейный оператор.

Доказательство. x (х, *(a+b))= ( x, a+b)= ( x, a)+ + ( x, b) = (х, *a) + (х, *b) = (х, *a + *b) *(a+b) =

= *a+ *b (см. утверждение из п. 20.1). Аналогично, x (х, *( a)) = ( x, a) = ( x, a)= (х, *a) = (х, *a)*( a) = *a .

145

Определение. Линейный оператор *: Еп Еп называется сопряженным к линейному оператору .

Очевидно, ** = , так как ( х, у) = (х, *у) = ( **х, у). Заметим, что при отождествлении Ф: а fa получаем:

(a, x) = ( *a, x), то есть fa( x) = *( fa )(x) *( fa )= fa◦ .

Теорема. Для линейных операторов и на Еп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого

4. [ ] t Г = Г [ ], или же [ ]= Г -1 [ ] t Г , где Г - матри-

ца Грама для базиса е. (Доказать, что Г -1 - см. также п.24.3). 5. [ ] = [ ] t.

u u

Доказательство. Очевидно, из 1 2 (как частный случай), из 2 1 ввиду линейности и скалярного произведения. Аналогично, 1 3. Проверим, что 2 4. В самом де-

ле, если [ ] = (аks), [ ] = (bks), то ( еi ,еj) = ( aki ek ,еj) =

ся самосопряженным, если * = , то есть если х, у Еп

( х,у) = (х, у).

Теорема. Для линейного оператора на Еп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих

146

условий = *) :

1. ( x, у) = (х, у) х, у Еп.

5. [ ] t = [ ], то есть [ ] – симметричная матрица.

получим разложение Еп = L1 L2 … Lq , где все Li – подпространства размерности 1 или 2, -инвариантны и попарно ортогональны.

Если L – евклидово пространство размерности 2,

L = <и1, и2>, где {и1, и2} – ортонормированный базис в L, и

характеристический многочлен (t)= t2- (a+c)t + ac - b2. Его дискриминант (а+с)2 – 4(ас - b2) = (а – с)2 + b2 0 в L

147

собственный вектор, одномерное -инвариантное подпространство L – прямая сумма двух одномерных попарно ортогональных -инвариантных подпространств.

Следовательно, в разложении Еп = L1 L2 … Lq можно считать, что все Li – подпространства размерности 1, попар-

но ортогональны и -инвариантны. Значит, n = q, и

Еп = L1 L2 … Lп .

Если L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>,

и: L L - самосопряженный оператор, то е = е, R.

Вразложении Еп = L1 L2 … Ln выберем в каждом Li

единичный вектор иi . Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Еп. В этом базисе матри-

ца самосопряженного оператора имеет вид:

[ ] = diag( 1, 2,…, n). Таким образом, нами доказана струк-

u

турная Теорема. Для любого самосопряженного оператора

: Еп Еп ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица имеет вид:

[ ] = diag( 1, 2,…, n), где все s R. Наоборот, если

u

[ ] = diag( 1,…, n), где все s R, то - самосопряженный.

u

На языке матриц теорему можно сформулировать так: Для любой симметричной матрицы А ортогональная

матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному

базису) такая, что матрица Т -1АТ = diag( 1, 2,…, n), где все

s R.

Лекция 32.

21.УНИТАРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

21.1.Определения, примеры.

Определение. Линейное пространство H над полем C

называется унитарным (или эрмитовым) пространством,

148

если на Н фиксирована функция двух векторных аргументов х, у Н со значениями в С, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1.(х + у, z) = (х, z) + (у, z) х, у, z Н,

2.( x, y) = (x, y) х, у Н, С,

3. (x, y) = ( y, x) х, у Н (черта над числом означает комплексное сопряжение) ,

4. (x, x) 0 х Н, x 0.

Заметим, что из свойства 3 комплексное число (x, x) яв-

ляется действительным, так как (x, х) = (x, x) , и неравенство

в свойстве 4 имеет смысл.

Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется эрмитовостью скалярного произведения, свойство 4 называется по-

ложительной определѐнностью.

Следствия из определения.

1. (х,у+z)= ( y z, x) = ( y, x) + (z, x) = (х, у)+ (х, z) х, у, z Н.

2. (х, у) = ( y, x) = ( y, x) = (х, у) х, у Н, С.

Следствие 1 означает, что для скалярного произведения выполняется одно из двух свойств линейности по второму аргументу. Следствие 2 показывает, что второе свойство линейности по второму аргументу не выполняется. Поэтому

149

и Г t = Г . Черта над матрицей означает замену всех элементов матрицы на комплексно сопряженные.

Примеры.

1. Для пространства Сn строк длины п определим скалярное произведение следующим образом: пусть для х = (х1,…,хп),

у= (у1,…,уп) по определению (х, у) = х1 y1 +…+ хп yn .

2. Для пространства CС[a,b] непрерывных комплексных фун-

кций на отрезке [a,b] (то есть функций вида f1(х)+ if2(х), где f1(х), f2(х) – непрерывные действительные функции на [a,b])

a

Упражнение. Доказать, что в примерах 1, 2 для скалярного произведения выполняются свойства 1-4 из определения унитарного пространства, то есть полученные пространства являются унитарными.

Определения.

1. Назовѐм длиной вектора х Н выражение | x | = (x, x) .

Так как (x, x) 0 х Н, то длина определена х Н.

2. Будем говорить, что векторы х, у Н ортогональны, х у,

если (х, у) = 0.

Упражнение. Сформулировать для унитарных пространств определения, утверждения, упражнения и теоремы, аналогичные определениям, утверждениям, упражнениям и теоремам из п.18.2 для евклидовых пространств, и доказать сформулированные утверждения, упражнения и теоремы.

22. УНИТАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

22.1. Определение. Свойства.

Определение. Линейный оператор : Н Н на унитарном пространстве Н называется унитарным, если

150