Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

При k = 1 вектор s1 линейно независим, так как s1 0. Пусть для k - 1 утверждение верно, то есть s1,…, sk-1 ли-

Применим к левой и правой частям этого равенства л.о. . Получим :

Теперь умножим равенство (17.1) на k и вычтем его из

(17.2). Получим 1( 1 - k)s1+…+ k-1( k-1 - k)sk-1= 0. Но s1,…,

sk-1 линейно независимы 1( 1 - k)=…= k-1( k-1 - k)= 01=…= k-1=0, так как 1 - k 0,…, k-1 - k 0. Теперь из

(17.1) получаем, что k sk = 0 k= 0 (так как sk 0) s1,…,sk - линейно независимы.

Пример. В линейном пространстве L = С∞(- , + ) бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой для л.о. = d/dx: С∞(- , + ) → С∞ (- , + ) (см. пример из п.16.4) векторы еаx являются собственными векторами, и поэтому любая система векторов { еаx,еbx,…,есx} с различными а, b,…,с – линейно независима.

Теорема 2 (достаточное условие диагонализируемости). Если характеристический многочлен (t) линейного опе-

ратора : Ln Ln имеет п различных корней в поле Р, то в Ln существует базис из собственных векторов (в котором матрица [ ] – диагональна).

Доказательство. Действительно, в этом случае по лемме в Ln существуют п линейно независимых собственных векторов л.о. , которые образуют базис из собственных векто-

ров (в котором по теореме 1 матрица [ ] – диагональна).

Замечание. Условие в теореме 2 достаточное, но не необходимое: л.о. id : Ln Ln имеет единственное собственное значение 1 =1, но любой базис пространства Ln состоит из собственных векторов л.о. id.

131

Рассмотрим, почему л.о. : Ln Ln может не быть диагонализируемым. Во-первых, это может быть из-за того, что поле Р не алгебраически замкнуто, и характеристический многочлен (t) имеет в Р меньше, чем п корней. Например, для поворота плоскости на угол характеристический многочлен t2+1 не имеет действительных корней, и, очевидно, собственных векторов для этого поворота также нет. Вовторых, для некоторого корня 0 Р многочлена (t) кратности k >1 число соответствующих линейно независимых собственных векторов может быть меньше, чем k (см. тео-

кратности 2, но существует лишь один соответствующий ли-

нейно независимый собственный вектор – это е1.

Теорема 3. Пусть Ln – линейное пространство над полем Р, : Ln Ln - линейный оператор, 0 – корень характеристического многочлена (t) кратности k 1. Тогда число линейно независимых собственных векторов оператора с собственным значением 0 не превосходит k .

Доказательство. Пусть dim Ker( 0 id - )= m, {s1,…,sm} –

базис подпространства Ker( 0 id - ) (m – это и есть максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора с собственным значением 0 ). Дополним систему векторов {s1,…, sm} до базиса е всего пространства Ln:

где Еm – единичная (m m)-матрица, 0 – нулевая (n – m) m- матрица, В – некоторая m (n – m)-матрица, С - некоторая

(n – m) (n – m)-матрица. Характеристический многочлен

g(t) – некоторый многочлен от t. Поэтому k m, то есть мак-

132

симальное число линейно независимых собственных векторов оператора с собственным значением 0 не превосходит

кратности корня 0 в характеристическом многочлене.

Лекция 29.

18. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

18.1. Определения, примеры.

Определение. Линейное пространство Е над полем R на-

зывается евклидовым пространством, если на Е фиксирова-

на функция двух векторных аргументов х, у Е со значениями в R, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1.(х + у, z) = (х, z) + (у, z) х, у, z Е,

2.( x, y) = (x, y) х, у Е, R,

Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется симметричностью скалярного произведения, свойство 4 называется

положительной определѐнностью.

Следствия из определения.

1. (х, у+ z) = (у+ z, х)= (у, х)+ (z, х)= (х, у)+ (х, z) х, у, z Е. 2. (y, x) = ( x, y) = (x, y)= (y, x) х, у Е, R.

Следовательно, скалярное произведение – это билинейная симметричная положительно определенная функция.

3. (0Е, х) = (0R 0Е ,x) = 0R (0Е ,x) = 0R (0Е , 0Е) = 0.

i,j = (ei,еj), а матрица Г= Г = ( i,j) называется матрицей Гра-

е

133

и Г t = Г.

5. Легко видеть, что подпространство евклидова пространства является евклидовым пространством.

Примеры.

1. Хорошо известными примерами евклидовых пространств являются множества векторов на плоскости и в трѐхмерном пространстве, состоящие из векторов – направленных отрезков, для которых скалярное произведение определяется фор-

произведение следующим образом: пусть для х = (х1,…,хп),

у= (у1,…,уп) по определению (х, у) = х1у1 +…+ хп уп. Как мы увидим далее, полученное евклидово пространство является

«типичным».

3. Для пространства C[a,b] непрерывных функций на отрезке

b

[a,b] пусть по определению (f,g)= f (x)g(x)dx f,g C[a,b].

a

Упражнение. Доказать, что в примерах 1-3 для скалярного произведения выполняются свойства 1-4 из определения евклидова пространства, то есть указанные пространства являются евклидовыми.

Определения.

(х, у) = 0.

18.2. Свойства евклидовых пространств.

Теорема Пифагора. Если х у, то |x + у|2 = | x |2 + | у |2 .

Доказательство. |x+у|2 =(х+у, х+у)= (х, х)+ (у, у)+2(х,у) =

= | x |2 + | у |2.

134

Следствие. Если х у, то |x + у|2 | x |2, |x + у| | x |,

причем |x + у|2 = | x |2 у = 0.

Теорема 2. Пусть х, у Е, х 0. Тогда R такое, что у = х + z, где z x.

Доказательство. z = у - х, z x (у - х, x) = 0

(у, х) - (х, x) = 0 = (у, х) / (х, x).

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). |(x, y)| |x||у|. Доказательство. При х= 0 неравенство обращается в равенство. Если же х 0, то по теореме 2 у = х + z, и по

следствию из теоремы Пифагора | у | | х | = | || х | =

имеет место лишь при z = 0, у = х.

Следствия.

1. Так как -1 (х, у) /|x||y| 1, то мы можем определить угол между векторами х и у по формуле: = arccos | x || y | .

И тогда (х, у) = |x||y|cos .

2. (х1у1 +…+ хпуп)2 (х12+…+ хп2)(у12+…+ уп2) - неравенство Коши-Буняковского для Е = Rn.

135

Пусть е Е, < е > = L, L = { x E| (x, е) = 0 }.

Теорема 5. L - подпространство в Е, и Е = L L .

Доказательство. Очевидно, если х, у L , то (x, е) = 0,

(у, е) = 0 (x + у, е) = (x, е) + (у, е)= 0 + 0 = 0, и для R ( x, е) = (x, е) = 0 = 0 х + у, x L . И кроме того,

очевидно, 0 L . Следовательно, L - подпространство.

L L = {0} Е = L L .

Теорема 6. Пусть dimE = n. Тогда в Е существует ортогональный базис {e1,…,en }, то есть такой базис, что (ei ,ej)= 0 при i j.

Доказательство индукцией по п . При п = 1 доказывать нечего. Пусть утверждение верно для п – 1. Выберем е Е, е 0. Положим е1= е, L = <е1>. Тогда, очевидно, L является евклидовым пространством, и dim L = n –1. По предположению индукции можно считать, что в L ортогональный базис {e2,…,en} существует. Тогда {e1,e2,…,en} по теореме 5 - ортогональный базис в Е.

Теорема 7. Пусть dimE = n. Тогда в Е существует ортонормированый базис {и1,…,иn}, то есть такой базис, что

1 при i j,

(иi, иj)= ij = 0 при i j.

Доказательство. Рассмотрим в Е ортогональный базис

{e1,…,en}. Тогда векторы иi = еi | ei 1 | , i =1,…,n, образуют ор-

тонормированный базис.

Очевидно, для ортогонального базиса матрица Грама Г диагональна, а для ортонормированного базиса Г = Е.

Определение. Отображение : Е1 Е2 евклидовых пространств называется изоморфизмом евклидовых про-

136

странств, если - изоморфизм линейных пространств, сохраняющий скалярное произведение, то есть ( х, у) = (х, у)х, у Е1. В этом случае евклидовы пространства Е1 и Е2 называются изоморфными, что обозначается так: Е1 Е2.

Теорема 8. Если Е – евклидово пространство и dim E= п, то Е Rn.

Доказательство. Пусть {и1,…,иn} – ортонормированный

Отсюда следует, что отображение : Е Rn такое, чтох=(х1,…,хп), является изоморфизмом евклидовых пространств, так как из п.7.3 это изоморфизм линейных про-

странств, и ( х, у) = (х, у) = х1у1+…+ хп уп.

Следствие. Из теоремы 8 следует, что все евклидовы пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу евклидовых пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство Rn. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.

Далее n-мерное евклидово пространство мы будем обозначать Еп.

Лекция 30.

Пусть E L – подпространство, L ={x Е |(x, y)=0 y L}= = {x Е | x L}.

Упражнение. Доказать, что L - подпространство. Определение. Подпространство L называется ортого-

нальным дополнением к подпространству L.

137

Докажем, что L + L = Еп. Пусть х Еп. Покажем, что можно представить х в виде х = а + b, где а L, b L . Выберем в L ортонормированный базис {и1,…,иk}. Будем

искать а в виде а = 1и1+…+ kиk , где 1,…, k такие, что b = (х – а) L, то есть i (x – a, иi )= 0 (a, иi )= (x, иi ) ( 1и1+…+ kиk , иi )= (x, иi ) ( iиi , иi )= (x, иi ) i = (x, иi ).

Таким образом, мы показали, что i !, то есть а находится однозначно, и значит, однозначно определяется и b. Отсюда

следует не только равенство Еп=L+L , но и ещѐ раз мы получили, что Еп = L L .

19. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

19.1. Определение. Свойства.

Определение. Линейный оператор : Е Е называет-

ся ортогональным, если ( х, у) = (х, у) х, у Е.

138

Утверждение 1. Если - ортогональный оператор, то - невырожденный.

Доказательство. Если х Ker , то ( х, х) = (х, х) = 0

х = 0 Ker = 0.

Утверждение 2. Если - ортогональный оператор, то

-1 - ортогональный оператор.

Доказательство. Пусть -1х = а, -1у = b. Тогда (а, b) = = ( a, b) = (x, y) (x, y)= (а, b) = ( -1х, -1у).

Таким образом, ортогональный линейный оператор – это автоморфизм евклидова пространства Е (изоморфизм Е на себя).

uu

10.[ ] t = [ ]-1.

uu

11.[ ][ ] t = Е .

uu

12. bsibti = s,t.

i

139

13. Строки матрицы [ ] являются ортонормированным

u

базисом в Rn.

14. Столбцы матрицы [ ] являются ортонормированным

u

базисом в пространстве столбцов Rп.

15. [ ] t – матрица ортогонального оператора.

u

Доказательство. Очевидно, из 1 2,3,4 (как частные случаи), 6 8, 7 9 10 11 12 13 15, 4 5 7 14.

Из 2 1, так как 2( х, у)=( х+ у, х+ у) - ( х, x) - ( y, y)= = | (х+у)|2 - | х |2 - | y |2 =| х+у |2 - | х |2 - | y |2 = 2(х, у).

Так же проверяется, что из 4 1.

= det [ ] t det[ ] = (det[ ])2 = det Е = 1.

Определение. Матрица А называется ортогональной, если А - матрица некоторого ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неѐ выполняется одно из эквивалентных условий Теоремы 1 под номерами 7, 9, 10, 11, 12, 13 или 14.

19.2. Ортогональная группа.

Рассмотрим множество О(Еn) ортогональных операторов

140