Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

характеристическим многочленом пары форм F, G (G >0), а уравнение F ,G ( ) =0 называется характеристическим урав-

нением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффи-

( F - i G )[x] = [0] – это уже СЛУ с известными матри-

e e e

цами F , G . Различным собственным значениям соответ-

e e

ствуют g-ортогональные друг другу собственные векторы, и,

если dim Ker( F - iE) = dim Ker( F - i G ) = 1, то найден-

ный вектор x необходимо лишь нормировать (по g), то есть разделить его на длину G(x) . Если же имеются одинаковые

собственные значения, то есть кратные корни i характеристического уравнения, то dim Ker( F - iE) 1, и найденную

u

фундаментальную систему решений для СЛУ

( F - i G )[x] = [0] необходимо ортонормировать в смысле

g, например, по Граму-Шмидту.

171

Лекция 37.

26.ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

26.1.Определение и основные свойства эрмитовых

форм.

Определение. Функция f(х,у) на линейном пространстве L над полем C называется эрмитовой, если она обладает свойствами:

1.f(х+у, z) = f(х, z)+ f(у, z), x, y, z L,

2.f( х, у) = f(х, y), x, y L, C,

3. f(x,y) = f (y, x) x, y L.

Следствия.

1.f(х, у + z) = f(х, у)+ f(х, z), x, y, z L,

2.f(х, у) = f(х, y), x,y L, C,

s, t C, us, vt L.

Замечания.

1.Функции, для которых выполнены условия 1, 2 из определения и 1, 2 из следствия называются полуторалинейными (они линейны по первому аргументу и полулинейны по второму). Таким образом, любая эрмитова функция - полуторалинейная.

2.Теория эрмитовых функций аналогична теории симметричных билинейных функций, поэтому многие утверждения будут лишь сформулированы, а их доказательства читателю предлагается провести в качестве упражнений.

Примером эрмитовой функции служит скалярное произведение на унитарном пространстве.

Пусть f - полуторалинейная функция на n-мерном пространстве L = Ln над полем С, e = {e1,…,en} – произвольный

172

этой формулы видно, что значение полуторалинейной функции f(x, y) при произвольных x, y L полностью и однознач-

есть полуторалинейной формой. Полуторалинейные формы, соответствующие эрмитовым функциям, будем называть эрмитовыми формами. Необходимым и достаточным условием

некотором) базисе е – это условие эрмитовости еѐ матрицы [ f ] в любом (в некотором) базисе е.

e

Определение. Пусть f - полуторалинейная функция на линейном пространстве L над С. Функция F: L С, заданная формулой F(x) = f(x, x) x L, называется квадратичной функцией, определяемой полуторалинейной функцией f. Если f – эрмитова, то и F называется эрмитовой.

форма второй степени от действительных и мнимых частей

173

координат х.

Матрицей квадратичной формы F будем называть матрицу соответствующей полуторалинейной формы f: [ F ]= [ f ].

И тогда F(x) = [x]t [F ] [x ] .

Упражнение. Проверить, что полуторалинейная форма f однозначно восстанавливается из определенной ею квадратичной формы F по формуле

f(x, y)= 14 (F(x+y) - F(x - y) + iF(x+iy) - iF(x - iy)). (26.1)

Определение. Пусть f - полуторалинейная форма на L. Рангом формы f называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе: rg f = rg[ f ] . Аналогично, rg F = rg[F ] = rg f.

вой тогда и только тогда, когда соответствующая f квадратичная форма F принимает на L только действительные

174

Подставив последние четыре формулы в (26.1), получим: f(x, y)= 14 (F(y+ x) - F(y – x) + i F(y – ix) - i F(y + ix))= f ( y, x) .

Следовательно, f - эрмитова форма.

26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.

Пусть f(x, y) – эрмитова форма на линейном пространстве L над полем С, F(x) – соответствующая квадратичная форма.

Теорема. В L существует f-ортогональный базис. Доказательство аналогично доказательству из п.24.6.

вид эрмитовых форм f и F называется каноническим. Следовательно, любая эрмитова полуторалинейная форма и любая эрмитова квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную эрмитову полуто-

175

ралинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

Пусть f(еk, еk) = k 0 при k =1,…,r и f(еk, еk)= 0 при k = r+1,…,п. Тогда r = rg f = rgF, и r от базиса не зависит.

Будем считать теперь, что форма F имеет канонический

получим F(x)= |z1|2+…+|zs|2–|zs+1|2-…-|zs+t|2 - такой вид квадратичной формы называется нормальным.

Таким образом, имеет место

Теорема. В линейном пространстве L над полем С для любой эрмитовой формы F существует базис, в котором

форма имеет нормальный вид F(z) = |z1|2+…+|zs|2–|zs+1|2 -… - -|zs+t|2. Соответствующая эрмитова полуторалинейная форма

f имеет нормальный вид f(z,w) = z1w1+…+zsws – zs+1ws+1 -…-

-zs+tws+t.

Как и в п.24.6 для эрмитовых форм F можно дать опре-

деления положительно определѐнной или положительной формы (F 0), отрицательно определѐнной или отрицательной формы (F 0), неотрицательно определѐнной формы (F 0), неположительно определѐнной формы (F 0),

неопределѐнной формы. Во всех этих случаях условия на s и t будут такие же, как и в п.24.6.

По аналогии с п.24.7 для эрмитовых форм формулируется и доказывается закон инерции, определяется положительный индекс инерции формы I+(F)= s и отрицательный индекс инерции формы I -(F) = t.

Так же эрмитовы квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I+ = s, I - = t, которые независимы и составляют полную систему инвариантов.

Аналогично как и в п.24.8 формулируется и доказывается критерий Сильвестра. Необходимо лишь заметить, что угловые подматрицы эрмитовой матрицы являются эрмитовыми, а определители эрмитовых матриц Мk R.

176

Лекция 38.

27. ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.

Теория эрмитовых форм в унитарном пространстве аналогична теории квадратичных форм в евклидовом пространстве (см. п.25).

Пусть Нп унитарное пространство с ортонормированным базисом и, F(x) – эрмитова квадратичная форма с матрицейF в базисе и и f(x,у) – соответствующая эрмитова полуто-

u

ралинейная форма с матрицей f = F . Рассмотрим линей-

нический вид F(у)= 1|y1|2+ 2|y2|2+…+ n|yn|2, причем все i R.

Соответственно, если в этом базисе вектор z = (z1,…,zn), то f(y, z) = 1y1+ 2y2+…+ nyn. Таким образом, нами

177

доказана Теорема. Для любой эрмитовой квадратичной формы

F(x) в унитарном пространстве Нп существует ортонормиро-

ванный базис u , в котором форма F имеет канонический вид F(у) = 1|y1|2+ 2|y2|2+…+ n|yn|2, причем все i R. Это означает, что существует унитарная матрица Т1 перехода к

новому базису u , в котором матрица формы F диагональна:

T1t F T1 = F = diag( 1, 1,…, n), причем все i R.

Следствие 1. Эрмитовы формы F и f унитарно эквивалентны формам, имеющим канонический вид (см. п.24.5).

Следствие 2. Две эрмитовы квадратичные формы канонического вида унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты 1, 2,…, n отличаются, может быть, лишь порядком.

Следствие 3. Две эрмитовы квадратичные формы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

Так как коэффициенты 1,…, n формы F – это собственные значения линейного оператора , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы = F ,

u

и = {и 1,…, и n} – это собственные векторы линейного оператора , и найти все и i можно, решая однородные системы линейных уравнений ( F - iE)[x]= [0]. Различным собст-

u

венным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker( F - iE) = 1, то най-

u

денный вектор необходимо лишь нормировать, то есть разделить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни i характеристического уравнения, то dim Ker( F - iE) 1, и найденную фундамен-

u

178

тальную систему решений для СЛУ ( F - iE)[x] = [0] не-

u

обходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту.

27.2. Приведение пары форм.

Рассмотрим линейное пространство Lп над полем С с базисом е. Пусть F, G – эрмитовы квадратичные формы, причем G 0, а f, g – соответствующие эрмитовы полуторалинейные формы. Так как g – эрмитова полуторалинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g

– скалярное произведение, g(x, y)= (x, y)g , а Lп с этим скалярным произведением - унитарное пространство: Lп = Нп. По доказанному в п.27.1, в унитарном пространстве Нп существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический

вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор у =(y1,y2,…,yn), то G(у)= |y1|2+|y2|2 +…+|yn|2 (так как базис ортонормированный в смысле g), и

F(у)= 1|y1|2+ 2|y2|2+…+ n|yn|2. Соответственно, если в этом базисе вектор z =(z1,z2,…,zn ), то g(у,z)= y1+ y2+…+yn ,

u

179

то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = F , то есть уравнение

уравнением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов 1,…, n формы F нужно найти корни характеристического уравнения пары форм.

Чтобы найти векторы базиса и = {и1,…, иn}, надо найти

решениями этой системы являются векторы «комплексно сопряженного» базиса u .

Таким образом, чтобы найти векторы искомого базиса и

180