Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

пространства Ln. В базисе е оператор имеет полураспавшуюся матрицу:

где А1 – (m m)-матрица, А2 – (n-m) (n- m)-матрица, 0 – нулевая (n-m) m-матрица. В самом деле, j =1,…,m еj Lm ,

то есть еj = 1jе1+…+ mjеm + 0еm+1+…+0еn .

Обратно, если в некотором базисе е ={е1,…, еm, еm+1,…,еn} пространства Ln оператор имеет полураспавшуюся матрицу вида (16.1), то <е1,…, еm >= Lm - -инвариантное подпространство. В самом деле, j =1,…,m еj Lm (так как еj

раскладывается только по векторам е1,…, еm ) х Lm,

х= 1е1+…+ mеm, имеем х = 1 е1+…+ m еm Lm.

Выводы.

1.Л.о. имеет нетривиальное инвариантное подпространство в Ln базис, в котором матрица [ ] - полураспавшаяся.

2.Подпространство Lm - -инвариантно для любого (дос-

так: x V пусть по определению |V(x)= x. Упражнение. Доказать, что |V – линейный оператор.

Определение. Линейный оператор |V : V V называется ограничением на V, или оператором, индуцированным на инвариантном подпространстве V линейным оператором .

Очевидно, и |V отличаются лишь областью определения, и на подпространстве V имеет место равенство = |V .

Замечание. Очевидно, линейное отображение |V будет линейным оператором V- инвариантное подпространство.

122

же оператора с матрицей (16.1), очевидно, в базисе {е1,…, еm}

[ Lm ]= А1 .

16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.

Пусть : Ln Ln - линейный оператор, Ln=L1 L2 - пря-

мая сумма -инвариантных подпространств L1 и L2 ,

е = {е1,…,еm} – базис в L1, е = {еm+1,…,еn} – базис в L2, dimL1= m, dimL2= n - m. Тогда е = {е1,…,еm,еm+1,…,еn} – базис всего пространства Ln, и в этом базисе из инвариантности L1

матрица [ ] имеет вид (16.1). Но мы можем утверждать и большее. Так как L2 – также -инвариантно, то j =m+1,…,n

еj L2, то есть еj = 0е1+…+0еm + m+1,j еm+1+…+ nj еn

распавшаяся или блочно-диагональная матрица. Здесь А1 –

e e

Обратно, если в некотором базисе е матрица [ ] имеет

е

вид (16.2), то Ln=L1 L2 - прямая сумма -инвариантных подпространств L1 и L2 , где L1= <е1,…,еm>, L2= <еm+1,…, еn>.

Вывод: Ln распадается в прямую сумму двух -инвари- антных подпространств [ ] в некотором базисе е имеет

е

блочно-диагональный вид (16.2).

Li = i .

123

Доказательство.

1. Единственность. Пусть искомый л.о. существует. Тогда

х Ln, х = х1+…+ хk , где все хi Li, и х = х1+…+ хk = = 1 х1+…+ k хk – отсюда следует единственность л.о. .

2. Существование. Определим линейный оператор : Ln Ln так: пусть х Ln, х = х1+…+ хk (где все хi Li) ,

def

х 1 х1+…+ k хk (из пункта 1 видно, что никак иначе определить л.о. мы и не можем). Тогда

хi= (0+…+ хi+…+0)= 10+…+ iхi+…+ k0= i хi, то есть i

имеем |Li= i . Из линейности операторов i легко следует

линейность оператора .

Упражнение. Доказать линейность оператора .

Кроме того, можно увидеть, что все (Li) (см. п.13.5) естественным образом инъективно вкладываются в (Ln), сумма их в (Ln) является прямой:

(Ln) (L1) … (Lk), и 1 … k (L1) … (Lk).

В случае прямой суммы двух -инвариантных подпространств Ln=L1 L2 получаем = .

16.4. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Мы установили, что упростить вид матрицы л.о. : L L можно, если у этого оператора существует хотя бы одно инвариантное подпространство в L. Еще лучше с упрощением матрицы дело обстоит тогда, когда в L существует два - инвариантных подпространства и сумма их – прямая. Вообще, чем больше в L имеется -инвариантных подпространств,

124

сумма которых – прямая, тем сильнее можно упростить матрицу л.о. . Самая лучшая ситуация с упрощением матрицы имеется тогда, когда L равно прямой сумме п одномерных-инвариантных подпространств. В этом случае в «хорошем» базисе матрица оператора - диагональна.

Рассмотрим вопрос, как находить одномерные -инвари- антные подпространства. Пусть V – одномерное подпростра-

нство, V = <s >, s 0 V= { s| P }. Очевидно, V –

-инвариантное подпространство V V s VP такой, что s = s .

Определение. Пусть L – линейное пространство над полем Р, : L L – линейный оператор. Вектор s L называ-

ется собственным вектором л.о. , если s 0 и Р такое, что s = s. называется собственным значением (собственным числом) оператора .

По определению 0L не является собственным вектором,

хотя 0L = 0L = 0L Р .

Пример. Для L = С∞(- , + ) - линейного пространства бесконечно дифференцируемых функций на числовой пря-

мой, и л.о. = d/dx : С∞(- , + ) → С∞(- , + ) вектор еkx

является собственным вектором с собственным значением k . Очевидно, что нахождение собственных векторов и нахождение одномерных -инвариантных подпространств – эк-

вивалентные задачи.

Рассмотрим, как находить собственные векторы. Пусть

и х 0. Таким образом, все ненулевые векторы из Ker( id - ) являются собственными векторами оператора , соответствующими собственному значению . Но в силу

теоремы 6 из п.15 Ker( id - ) {0} det( id - ) = 0 det [ id - ] = det( E - [ ]) = 0.

e

125

Рассмотрим (t)= det[t id - ]= det(tE - [ ]) - многочлен

e

от t степени n c коэффициентами в Р. Очевидно,

( id - )х = 0 ( E – [ ]) [x] = [0], причем ненулевые решения этой однородной системы линейных уравнений существуют - корень многочлена (t).

Заметим, что в силу леммы из п.14.2. det(t id - ) не зависит от базиса e.

Определение. Многочлен (t)= (t) называется характеристическим многочленом оператора или матрицы [ ], а уравнение (t) = 0 называется характеристическим уравнением.

Таким образом, для нахождения собственных векторов линейного оператора надо:

линейных уравнений ( iE - [ ]) [x] = [0]. Еѐ фундаментальная система решений даст множество линейно независимых собственных векторов с собственным значением i .

Замечание. Если Р – алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен обязательно имеет некоторый корень в Р, и, следовательно, для существует собственный вектор, то есть любой корень является собственным значением оператора . И значит, собственный вектор.

Если Р – не алгебраически замкнутое поле, то (t) может не иметь корней в Р, и тогда, соответственно, в L не будет собственных векторов для оператора .

Теорема. Характеристические многочлены эквивалентных матриц совпадают.

Доказательство. Пусть А~В Т: А = Т -1ВТ

(t)= |tE – A| = |tE -Т -1ВТ|=|Т -1(tE– В)Т|=|Т -1| |(tE – В)| |Т|= = |(tE – В)|= (t).

Легко видеть, что

126

=(t – a11) (t – a22) … (t – ann)+ слагаемые степени (n-2) =

=tn - (a11+ a22+…+ ann) tn-1 + …+ (-1)ndetA.

Определение. Для квадратной матрицы А =(аij) порядка n

следом матрицы называется tr A = а11+а22+…+ аnn .

По теореме, если А В, то trA=trВ, так как (t)= (t), а trA – второй коэффициент характеристического многочлена. Очевидно, что и все остальные коэффициенты характеристических многочленов для эквивалентных матриц совпадают, в том числе и последние, но это мы уже знаем. Отсюда, в частности, следует, что если trA trВ, то А и В не эквивалентны.

Лекция 28.

16.5. Теорема Гамильтона – Кэли. Любая квадратная матрица А является корнем своего характеристического многочлена: A(А)=0.

Доказательство. Пусть п – порядок матрицы А, и В=(bij) – присоединенная матрица матрицы tE – A: B = (tE – A)* (см. 9.4). Тогда bij – алгебраические дополнения к элементам матрицы tE– A, то есть миноры (с точностью до знака) (п-1)-го порядка матрицы tE– A. Значит, bij – многочлены от t степени

п-1. Поэтому bij имеют вид bij = b(0)ij+ b(1)ijt + …+ b(п-1)ijtп-1, где все b(k)ij Р. Определим матрицы В(k) с элементами из Р:

В(k) = ( b(k)ij), k = 0, 1,…,п - 1. Тогда В = В(0)+ tВ(1) )+…+ tп-1В(п-1).

По свойству присоединенной матрицы

Пусть A(t)= |tE – A|= с0 + с1t+…+ сп-1 tп-1+ tп. Из формулы (16.3) получаем:

127

(В(0)+ tВ(1) +…+ tп-1В(п-1))(tE– A) = (с0 + с1t+…+ сп-1 tп-1+ tп) Е.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях t и запишем результат в таблицу:

Затем домножим все наши равенства на степени матрицы А, стоящие справа, и сложим их. Получим:

0 = с0Е+ с1А+…+ сп-1 Ап-1+ Ап = A(А)

Следствие. [ ( )] = [ ]([ ])= 0 ( )= 0.

16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.

Пусть L – линейное пространство над полем Р, : L L

– линейный оператор.

Определения.

1.Будем говорить, что многочлен f P[t] аннулирует оператор , если f( ) = 0.

2.Будем говорить, что многочлен f P[t] аннулирует квадратную матрицу А, если f(А) = 0.

3.Аннулятором л.о. называется множество многочленов

Ann = {f P[t] | f( ) = 0 }. Аналогично, аннулятором

квадратной матрицы А называется множество многочленов

Ann А = {f P[t] | f(А) = 0 }.

Из Теоремы Гамильтона – Кэли следует, что Ann 0, Ann А 0.

Так как [f( )] = f([ ]), то Ann = Ann [ ].

Определение. Минимальным многочленом линейного оператора называется ненулевой многочлен f наименьшей степени из Ann со старшим коэффициентом, равным единице. Аналогично определяется минимальный многочлен fA матрицы A.

128

Утверждение. Для л.о. (соответственно, для матрицы А) минимальный многочлен определен однозначно.

Доказательство. Пусть f1 , f2 - два минимальных мно-

гочлена для . Тогда ст.f1 = ст. f2 ст.( f1 - f2 ) ст.f1 ,

и f1 - f2 Ann f1 - f2 = 0 f1 = f2 .

Утверждение. Если f Ann , то f | f.

Доказательство. Разделим f на f с остатком:

f = q f +r, ст. r ст. f r( ) = f( ) - q( ) f ( )= 0 r= 0.

16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над R и над С.

Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем С,

п>1, : Ln Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует одномерное -инвариантное подпространство.

Доказательство следует из замечания в п.16.4 и из того,

что поле С алгебраически замкнуто.

Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем R,

п>1, : Ln Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует-инвариантное подпространство размерности 1 или 2.

Доказательство. Пусть (t)=р1(t) р2(t) … рm(t) - разло-

жение характеристического многочлена на неприводимые множители над полем R. Тогда все множители рi(t) имеют

степень 1 или 2. По теореме Гамильтона – Кэли ( )=0

р1( ) р2( ) … рm( ) = 0 det(р1( ) р2( ) … рm( )) = 0 det р1( ) det р2( ) … det рm( )= 0 i: det рi( )= 0.

а) Пусть ст. рi(t) = 1. Можно считать, что рi(t) = t - 0

рi( )= - 0 id, det ( - 0 id) = 0 Ker ( - 0 id) 0 Ker ( - 0 id) s 0, s – собственный вектор, <s > - одномерное -инвариантное подпространство.

б) Пусть ст. рi(t) = 2. Можно считать, что рi(t) = t 2 + аt + b,

рi( )= 2 +а + b id. Так как det рi( )= 0, то Ker рi( ) 0Ker рi( ) и 0 ( 2 + а + b id)и = 0

129

2и = - а и - bu. Пусть v = и, V = < и, v >. Тогда V - - ин-

вариантное подпространство, так как и = v V,

v = 2и = - а и – bu = - а v - bu V (см. также вывод 2 из

п.16.1), и dimV 2.

Упражнение. Доказать, что в случае б) dimV = 2.

17. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Определение. Линейный оператор : Ln Ln называется диагонализируемым, если существует базис е в Ln такой, что [ ] - диагональная матрица, [ ] = diag( 1,…, п).

котором базисе е диагональную матрицу [ ]= diag( 1,…, п)

е

базис е состоит из собственных векторов л.о. , а 1,…, п

– собственные значения оператора .

Доказательство.

. Пусть в базисе е = {е1,…,еn } матрица [ ] = diag( 1,…, п).

е

Тогда i=1,…,п еi= i еi базис е состоит из собственных векторов л.о. , с собственными значениями 1,…, п .. Если базис е = {е1,…, еn } состоит из собственных векторов л.о. , с собственными значениями 1,…, п , то i=1,…,п

еi= i еi [ ] = diag( 1,…, п).

е

Рассмотрим, при каких условиях в Ln существует базис из собственных векторов л.о. .

Лемма. Собственные векторы л.о. , соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть s1,…, sk – собственные векторы л.о. с различными собственными значениями 1,…, k. Проведем доказательство индукцией по k .

130