Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

ЭП

Утверждение. Если А – (m,n)-матрица, и А А , то rk A rk A .

Доказательство. Пусть rk A= r. Покажем, что в матрице А все миноры М r+1 порядка r+1 равны нулю. Отсюда и будет следовать утверждение.

ЭП I

Пусть А А , и i-я строка матрицы А получается сложением i-й строки матрицы А с j-й строкой, умноженной на с Р (j i). Рассмотрим минор М r+1 порядка r+1 в А . Если

i-я строка матрицы А не входит в М r+1 , то минор М r+1 равен соответствующему минору Мr+1 матрицы А: М r+1= Мr+1= 0.

Если в М r+1 входят и i-я и j-я строки матрицы А , то минор М r+1 получается из соответствующего минора Мr+1 с помо-

щью ЭП-I, то есть М r+1= Мr+1= 0. Если же i-я строка матри-

цы А входит в М r+1 , а j-я строка матрицы А не входит в

М r+1, то М r+1= Мr+1 с М0r+1,= 0 с0 = 0, где Мr+1 и М0r+1 –

соответствующие миноры матрицы А.

ли же i-я строка матрицы А входит в М r+1, а j-я строка матрицы А не входит в М r+1, то М r+1= М0r+1 = 0, где М0r+1 - некоторый минор матрицы А.

ЭП III

Наконец, пусть А А , и при ЭП-III в матрице А i-я строка умножается на с Р, с 0. Если i-я строка матрицы А

не входит в М r+1, то М r+1= Мr+1= 0. Если же i-я строка матрицы А входит в М r+1, то М r+1= с Мr+1=с 0 = 0.

71

обратное ЭП - того же типа (см. упражнение 1 из 4.2). Следо-

вательно, rk A rk A, и rk A rk A , то есть rk A = rk A.

С помощью элементарных преобразований (как в 4.2)

Тогда rk A = rk A .

Утверждение. rk A = r = rg A = rg A.

Доказательство. Так как в A существуют лишь r ненулевых строк, то любой минор порядка r+1 содержит нулевую строку и поэтому равен нулю. Кроме того, очевидно, минор r-го порядка, стоящий на пересечении первых r строк и столбцов с номерами k1, k2,…, kr , не равен нулю – он равен

a1,k1 a2,k2 … ar,kr 0.

Итак, мы доказали, что rk A = rg A. Далее для ранга матрицы мы будем использовать единое обозначение rg A.

Утверждение. rg At = rg A.

Доказательство. Так как определитель не меняется при

транспонировании матрицы, то rk At = rk A, и rg At = rk At = rk A = rg A.

Последнее утверждение означает, что ранги матрицы по строкам и по столбцам совпадают, то есть размерность ли-

72

нейной оболочки строк матрицы и размерность линейной оболочки столбцов матрицы одинаковы.

8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).

Запишем систему линейных уравнений (4.1) в виде

Очевидно, S S, и если уравнение F = 0 является следствием системы S, то S S , и S S . Более того, S S тогда и только тогда, когда уравнение F = 0 является следствием системы S. Это означает, что добавление к системе S или удаление из системы S уравнения, которое является следствием системы S, не меняет множества решений системы S и S соответственно. Чтобы сделать систему проще, естественно удалять из системы все уравнения, которые являются следствиями остальных уравнений.

Утверждение. Если F = 1F1+ 2F2+…+ mFm , то урав-

нение F = 0 является следствием системы S, и S S. Доказательство очевидно: любое решение системы S об-

ращает в 0 все F1 , F2 ,…, Fm , и значит, обращает в 0 выраже-

ние F, так как 10 + 20+…+ m0 = 0.

Посмотрим, когда существуют такие 1, 2, …, m , что

73

1F1+ 2F2+…+ mFm=F. Если такие 1, 2, …, m существуют, то, сравнивая коэффициенты при х1 , х2 ,…, хп и правые части

уравнений, получим, что 1, 2, …, m являются решениями следующей системы из п+1 уравнений:

Q : .

.

Наоборот, если 1, 2 , … , m - решения этой системы, то

1F1+ 2F2+…+ mFm = F. Таким образом, F = 1F1+…+ mFm

существует решение системы Q (по теореме Кронеке- ра-Капелли) равны ранги матриц

и ,

или равны ранги транспонированных матриц

Следовательно, если ранги этих матриц равны, то последнее уравнение в системе S можно отбросить и перейти от системы S к системе S.

Предположим теперь, что нам дана СЛУ (4.1), у которой ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы равны r (то есть система совместна). Для простоты будем считать, что отличный от нуля минор Mr порядка r находится в левом

74

верхнем углу матрицы А. Тогда все уравнения, начиная с (r+1)-го и до т-го, являются линейными комбинациями первых r уравнений, и значит, их следствиями. То есть наша СЛУ равносильна системе из первых r уравнений, а уравнения с (r+1)-го и до т-го мы можем отбросить. Оставшиеся r уравнений мы запишем в виде

Так как определитель основной матрицы этой системы равен Mr 0, то, решая эту систему по Крамеру, получим хi= i /Mr ,

i= 1,…,r, где i - определители, зависящие от хj, j= r+1,…,n. Раскрывая эти определители, пользуясь линейностью по i-му столбцу, получим: i = i + сi,r+1 хr+1+…+ сi,nхn, i=1,…,r. Подставляя эти формулы в хi= i /Mr , получим выражения главных неизвестных через свободные.

Лекция 17.

8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.

Теорема. Пусть А – (п,п)-матрица. Тогда равносильны следующие условия:

1.det A = 0,

2.rg A n,

3.однородная СЛУ с основной матрицей А имеет ненулевое решение,

4.столбцы матрицы А линейно зависимы,

5.строки матрицы А линейно зависимы.

75

Доказательство. Из определения ранга rk 1 2. Если det A 0, то, например, по правилу Крамера существует только нулевое решение однородной СЛУ с основной матрицей A. Наоборот, если det A = 0, rg A = r n, то у однородной СЛУ существуют n – r свободных неизвестных (см. 4.3), и, значит, существует ненулевое решение. Отсюда 1 3. Далее, существование ненулевого решения для однородной СЛУ равносильно линейной зависимости вектор-столбцов матрицы А (см. 7.5), то есть 3 4. Так как det A = det AТ, то

1 5.

Теперь определим произведение (m,n)-матрицы A на (n,k)- матрицу В. Пусть А1, А2,…, Ат – строки матрицы А, и В1, В2,…,Вk – столбцы матрицы В. Тогда по определению А В= С, где С - (m,k)-матрица, у которой все элементы сij = Аi Вj.

Упражнения.

1. Доказать, что для матриц выполняются свойства

(АВ)С= А(ВС), (А+В)С= АС + ВС, С(А+В)= СА + СВ, АЕ= А,

ЕА = А, где Е – единичная матрица (см.5.3). Причем если определена левая часть равенства, то определена правая часть и наоборот. (Определение сложения матриц см. в 9.1).

2. Доказать, что умножение матриц некоммутативно, то есть привести пример матриц А и В таких, что АВ ВА.

Определение. Матрица В называется левой обратной для матрицы А, если ВА = Е. Матрица С называется правой обратной для матрицы А, если АС = Е.

76

Утверждение. Если для матрицы А существуют левая обратная матрица В и правая обратная матрица С, то В = С. Доказательство. Рассмотрим произведение матриц

(ВА)С = В(АС). Левая часть равенства равна ЕС = С. Правая часть равенства равна ВЕ = В. Следовательно, В = С.

Далее мы покажем, что левая обратная матрица В и правая обратная матрица С для А существуют det A 0. В этом случае мы будем называть матрицу В = С обратной матрицей для А и обозначать А-1.

Систему линейных уравнений (4.1) запишем в матричном виде АХ = В, где А – (т,n)-матрица, основная матрица СЛУ;

(т,1)-матрица, столбец правых частей.

Пусть Хч – некоторое частное решение неоднородной системы, то есть АХч = В, а Х0 – произвольное решение соответствующей однородной системы АХ = 0, то есть АХ0 = 0 (здесь 0 в правой части – нулевой столбец). Тогда А(Хч+Х0) =

= АХч+ АХ0 = В + 0 = В, то есть Х1 = Хч + Х0 – также решение неоднородной системы. Наоборот, пусть Х1 – некоторое ре-

шение неоднородной системы, то есть АХ1 = В. Тогда

А(Х1 - Хч)= АХ1 - АХч= В – В = 0, то есть Х0 = Х1 - Хч - реше-

ние однородной системы, и опять Х1 = Хч + Х0. Таким образом, все решения неоднородной СЛУ получаются из некоторого частного решения Хч прибавлением всевозможных решений соответствующей однородной СЛУ. Если rg A = r, то множество решений однородной СЛУ АХ= 0 является линейным пространством размерности n – r, а базисом в этом пространстве является фундаментальная система решений f1, f2 ,…, fn-r (см.7.6). Любое решение Х0 однородной СЛУ является линейной комбинацией фундаментальной системы

77

решений: Х0 = 1 f1 +…+ n-rfn-r , 1,…, n-r P. Выражение с1f1+…+ сn-r fn-r с произвольными постоянными с1,…,сn-r на-

зывается общим решением однородной СЛУ. Любое решение однородной СЛУ получается из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных с1,…,сn-r конкретных

элементов поля 1,…, n-r. Выражение Хч+ с1 f1 +…+ сn-r fn-r, где с1,…,сn-r - произвольные постоянные, Хч – некоторое ча-

стное решение неоднородной системы АХ = В, а f1 ,…, fn-r - фундаментальная системы решений соответствующей одно-

родной СЛУ, является общим решением неоднородной СЛУ.

И опять - любое решение неоднородной СЛУ получается из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных с1 ,…, сn-r конкретных элементов 1,…, n-r P.

Замечания.

1. Запишем СЛУ (4.1) в виде матричного уравнения АХ = В. Пусть А – (п,п)-матрица и А-1 существует. Если Х –

решение уравнения, то, умножая левую и правую часть равенства АХ= В на матрицу А-1 слева, получим, что Х= А-1В. Это означает, что решение нашего матричного уравнения единственно. Непосредственной подстановкой в уравнение проверяется, что А-1В является решением уравнения. Это означает существование решения.

2. В 7.6 при решении однородной СЛУ мы находили ФСР, придавая набору (п – r) свободных неизвестных значе-

ния (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1).

Минор, составленный из этих строк, размером (п –r) (п – r) – это минор единичной матрицы, и он отличен от нуля. Таким образом мы находили (п – r) линейно независимых (базисных) решений в пространстве решений однородной СЛУ. Как и в любом пространстве, в пространстве решений однородной системы базисов существует много. В частности, базисом будет любое множество из (п – r) линейно независимых решений, то есть таких решений, матрица из координат которых имеет ранг (п – r). Это значит (см. 8.1), что матрица из координат должна иметь ненулевой минор порядка (п – r). Получать (все) решения с такой матрицей можно следующим

78

образом: нужно придавать (п – r) свободным неизвестным (п – r) наборов значений произвольным образом с единственным условием – чтобы полученный (п –r) (п – r)-минор был отличен от нуля, и затем, естественно, однозначно находить значения главных неизвестных.

Упражнение. Доказать, что таким образом мы получим все фундаментальные системы решений.

Лекция 18.

9. МАТРИЦЫ

9.1. Операции над матрицами, их свойства.

Рассмотрим Мт,п(Р) - множество (т,п)-матриц с элементами из поля Р. Определим на Мт,п(Р) структуру линейного пространства.

I. Для А, В Мт,п(Р), А= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, В= (bi,j)i=1,…,m; j=1,…,n ,

пусть А + В = С Мт,п(Р), С = (сi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, где

сi,j= аi,j+ bi,j. Так определяется операция сложения матриц. Теперь определим операцию умножения матрицы на элемент

поля. Для А Мт,п(Р), А= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, Р пусть

А = ( аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n .

II. Упражнение. Проверить, что для определенных нами операций выполняются 8 свойств линейного пространства.

Замечание. Выполнение восьми свойств линейного пространства можно не проверять, если записывать элементы матрицы в одну строчку длины тп (как в ЭВМ). Можно себе представить, что такие длинные строчки на листе бумаги не помещаются и их приходится разбивать на куски длины п и записывать в таблицу (матрицу). Но операции для матриц (длинных строчек) определены нами так же, как и ранее для строк из Рп в 7.1. Отсюда и следует выполнение восьми свойств для этих операций. Следовательно, можно считать доказанным, что множество (т,п)-матриц является линейным пространством размерности тп, и это пространство изоморфно Р тп. Как и в 7.2 (см. Теорему 5) естественным бази-

79

сом в Р тп будет семейство матриц Ei,j , i=1,…,m; j=1,…,n, где Ei,j - матрица, у которой (i,j)-й элемент равен 1, а все осталь-

ные элементы равны 0.

Теперь рассмотрим Мп(Р) – множество квадратных (п,п)- матриц. Как мы только что видели, Мп(Р) – линейное пространство размерности п2. Покажем, что Мп(Р) является также АУ-кольцом.

I. Операции сложения и умножения матриц у нас уже определены.

II. Первые 4 свойства из определения кольца (для операции сложения) такие же, как и для линейного пространства, и выполняются в общем случае для прямоугольных (а не только квадратных) матриц. Свойства 5, 6, 9 из определения кольца также выполняются (см. упражнение 1 из 8.4).

Упражнение. Доказать, что А, В Мп(Р), Р выполняется свойство ( А)В = А( В) = (АВ).

Определение. Множество А называется алгеброй над полем Р, если А является кольцом и линейным пространством

над Р, и, кроме того, выполняется свойство ( а)b = a( b) = = (ab) a, b А, Р .

Подводя итог в 9.1, можно сказать, что нами доказана Теорема. Множество квадратных матриц Мп(Р) является

АУ-алгеброй над полем Р.

9.2. Элементарные матрицы.

В соответствии с определением элементарных преобразований I-го, II-го и III-го типа над строками или столбцами матрицы определим элементарные матрицы I-го, II-го и IIIго типа.

Определение. Элементарной матрицей I-го типа назы-

вается (п,п)-матрица Рi,j(с) = Е + сEi,j , i j.

Элементарной матрицей II-го типа называется (п,п)-матрица

Рi,j= E1,1+E2,2+…+ Ei-1,i-1+ Ei,j+ Ei+1,i+1+…+Ej-1,j-1+Ej,i+Ej+1,j+1+

+…+ En,n = E - Ei,i - Ej,j + Ei,j + Ej,i , при i j.

Элементарной матрицей III-го типа называется диагональ-

ная (п,п)-матрица Рi (c) = diag(1,1,…,c,…,1) =

80