Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

( х, у) = (х, у) х, у Н.

Утверждение 1. Если - унитарный оператор, то - невырожденный.

Доказательство. Если х Ker , то ( х, х) = (х, х) = 0

х = 0 Ker = 0.

Утверждение 2. Если - унитарный оператор, то-1 - унитарный оператор.

Доказательство. Пусть -1х = а, -1у = b. Тогда (а, b) = = ( a, b) = (x, y) (x, y)= (а, b) = ( -1х, -1у).

Следовательно, унитарный оператор – это автоморфизм унитарного пространства Н (изоморфизм Н на себя).

9.[ ]-1 = [ ] t.

uu

10.[ ][ ] t = Е .

uu

11. bsk btk = s,t.

k

151

12. Строки матрицы [ ] являются ортонормированным

u

базисом в Cn.

13. Столбцы матрицы [ ] являются ортонормированным

u

базисом в пространстве столбцов Cп.

14. [ ]t – матрица унитарного оператора.

u

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1 из п.19.1.

Упражнение. Доказать теорему 1.

Следствие. Если - унитарный оператор, то |det | = 1, то есть det - комплексное число, у которого модуль равен 1.

Доказательство. Так как [ ][ ] t = Е, то det det =

u u

= detЕ = 1 |det |2 = 1 |det | = 1 .

Определение. Матрица А называется унитарной, если А - матрица некоторого унитарного оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неѐ выполняется одно из эквивалентных условий Теоремы 1 под номерами 6, 8, 9, 10, 11, 12 или 13.

22.2. Унитарная группа.

Рассмотрим множество U(Hn) унитарных операторов на унитарном пространстве Нn. Пусть также U(n) – множество унитарных п п-матриц, SU(n)= {A U(n)| detA=1},

SU(Hn) = { U(Hn)| det = 1}.

Теорема 2.

1. U(Hn) – группа, 2. U(n) – группа, 3. U(Hn) U(n),

4. SU(Hn)– подгруппа в U(Hn), 5. SU(n) – подгруппа в U(n). Доказательство теоремы аналогично доказательству

теоремы 2 из п.19.2.

Упражнение. Доказать теорему 2.

22.3. Структура унитарного оператора.

Лемма. Пусть : Н Н - унитарный оператор, Н L --инвариантное подпространство. Тогда L - -инвариантное подпространство.

152

Доказательство аналогично доказательству леммы из

п.19.3.

Пусть : Нп Нп - унитарный оператор. По теореме из п. 16.7 в Нп L1 - -инвариантное подпространство размерности 1. Тогда по лемме L1 - -инвариантное подпространство, и Нп = L1 L1 . Так как на L1 - унитарный оператор, то в L1 L2 - -инвариантное подпространство

размерности 1, и ортогональное дополнение L к L2 в L1 также -инвариантно. Далее, Нп = L1 L2 L , и в L L3 -

-инвариантное подпространство размерности 1, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Нп= L1 … Lп, где все Li – -инвариантны, попарно ортогональны, одномерны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L = <e>,

и : L L - унитарный оператор, то е = cе, c C,

( е, е)= (е,е) |c|2(е,е) = (е,е) |c|2=1, c = cos + i sin .

В разложении Hп = L1 L2 … Ln выберем в каждом Li единичный вектор. Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Нп. В этом базисе матрица унитарного оператора имеет диагональный вид:

[ ] = diag( 1 , 2 ,..., n), где все s = cos s + i sin s .

u

Таким образом, нами доказана структурная Теорема. Для любого унитарного оператора : Нп Нп

u

то - унитарный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так: Для любой унитарной матрицы А существует унитарная

матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т -1АТ имеет вид (22.1).

153

Очевидно, любая матрица вида (22.1) – унитарная.

Таким образом, любая унитарная матрица унитарно эквивалентна матрице вида (22.1).

Упражнение. Определить, какие матрицы вида (22.1) унитарно эквивалентны друг другу.

Лекция 33.

23. ЭРМИТОВЫ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Изложение в этом пункте соответствует по аналогии изложению в п.20.

23.1. Сопряженное линейное пространство.

Рассмотрим на Нп функцию fa(х) = (х, а), где а Нп. Упражнение. Проверить, что fa (Нп)*.

Рассмотрим отображение Ф: Нп (Нп)* такое, что для

а Нп Ф(а) = fa .

Очевидно, Ф(а+b) = fa+b = Ф(а) + Ф(b) = fa + fb , так как fa+b(х) = (x, а+b) = (х, а) + (x, b) = fa(х) + fb(х) = ( fa + fb)(х).

Ф( а) = f a = Ф(а) = fa , так как f a(х)=(х, а)= (х, а)= = (fa(х)) = ( fa)(х).

Следовательно, Ф – не является линейным отображением. Будем называть такие отображения полулинейными.

Упражнение. Пусть вектор а в ортонормированном базисе и имеет координаты (a1, а2,…,ап). Проверить, что в сопряженном базисе и* функция Ф(а) = fa имеет координа-

ты ( a1 , a2 ,…, an ). Следовательно, Ф – биекция.

Будем говорить, что Ф – полуизоморфизм пространств Нп и (Нп)*. Таким образом, нами доказано

Утверждение. Отображение Ф: Нп (Нп)* такое, что для а Нп Ф(а) = fa является полуизоморфизмом линейных пространств Нп и (Нп)*.

Замечание. Полуизоморфизм Ф является каноническим, то есть он не зависит от выбора базисов.

154

23.2. Сопряженные линейные операторы.

Пусть : Нп Нп - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = ( x, a).

Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то есть f (Нп)*, и следовательно, f = fb при некотором b Нп.

Будем считать, что b = *a, где * : Нп Нп - некоторое отображение. Из определения * получаем, что

( x, a) = (x, b) = (x, *a) или ( x, а) = (х, *a ).

Утверждение. * : Нп Нп – линейный оператор. Упражнение. Доказать утверждение.

Определение. Линейный оператор *: Нп Нп называется сопряженным к линейному оператору .

Очевидно, ** = , так как ( х, у) = (х, *у) = ( **х, у). Теорема. Для линейных операторов и на Нп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого

из этих условий = *, = *): 1. ( x, у) = (х, у) х, у Н п.

2. ( еi ,еj)= (еi , еj) i, j (для некоторого) базиса е в Н п.

ны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих условий = *) :

1.( x, у) = (х, у) х, у Нп.

2.( еi ,еj)= (еi , еj) i, j (для некоторого) базиса е в Нп.

155

5. [ ] t = [ ] - такие матрицы называются эрмитовыми.

u u

Упражнение. Доказать теорему.

Следствие. Если А – эрмитова матрица, то det At= det A=

=det A = det A det A R.

23.4.Структура эрмитова оператора.

ортогональны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L= <e>, и : L L - эрмитов оператор, то е = е, С

( е,е) = ( е,е)= (е,е)= (е, е)= (е, е)= ( е,е) =

R.

Вразложении Нп = L1 L2 … Ln выберем в каждом Li

единичный вектор иi . Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Нп. В этом базисе мат-

рица эрмитова оператора имеет вид: [ ] = diag( 1,,…, n),

u

где все s R . Таким образом, нами доказана структурная Теорема. Для любого эрмитова оператора : Нп Нп

ортонормированный базис и эрмитова пространства, в котором матрица имеет вид: [ ] = diag( 1, 2,…, n), где

u

все s R. Наоборот, если [ ] = diag( 1,…, n), где все s R,

u

то - эрмитов.

156

На языке матриц теорему можно сформулировать так: Для любой эрмитовой матрицы А унитарная матрица

Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т -1АТ = diag( 1, 2,…, n), где все s R .

Определение. Линейный оператор в евклидовом или унитарном пространстве называется нормальным, если

* = *.

Заметим, что ортогональные и унитарные операторы – нормальные, так как * = * = id, самосопряженные и эрмитовы операторы – нормальные, так как * = .

Можно доказать структурную теорему для нормальных операторов, а затем, как частные случаи, получить из неѐ структурные теоремы, которые мы доказали для ортогональных, самосопряженных, унитарных, эрмитовых операторов.

Лекция 34.

24.БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

24.1.Определение билинейной функции. Общие свойства.

Определение. Билинейной функцией f на линейном про-

i, j P, ui, vj L.

Упражнение. Доказать следствия.

157

Примеры.

1.Скалярное произведение (x,y) на евклидовом пространстве является билинейной функцей.

2.Если f1, f2 - линейные функции на L, то f(x, y)= f1(х)f2(у) – билинейная функция на L.

24.2. Матрица билинейной формы.

Пусть f - билинейная функция на n-мерном пространстве L=Ln над полем P, e={e1,…,en} - произвольный базис в L. Для

Формула (24.1) показывает, что функция f(x, y) является многочленом от координат х, у, все одночлены которого – первой степени по х и первой степени по у. Такой многочлен называется формой первой степени (то есть линейной) по х, и первой степени (то есть линейной) по у, то есть билинейной формой. Такие билинейные формы мы и будем изучать.

Очевидно, значение билинейной формы f(x,y) для произвольных x, y L полностью и однозначно определяется n2 значениями f(ei,ej) на упорядоченных парах базисных векторов ei, ej.

Определим квадратную матрицу [ f ] = ( fij ) порядка n, где

e

fij = f(ei, ej ), i,j = 1,…,n. Матрица [ f ] называется матрицей

e

билинейной формы f в базисе e.

Упражнение. Доказать обратное утверждение: если

158

n

функция f задается формулой f(x, y)= xi y j fi j , то f – би-

i, j 1

линейная функция, и матрица [ f ] = ( fij ).

e

24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.

Пусть e = {e 1,…,e n} – ещѐ один базис в L, и T = T =

e e

= ( tij ) - матрица перехода от базиса e к базису e :

Определение. Пусть f(x, y) - билинейная форма на L. Рангом билинейной формы f называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе пространства L: rg f = rg[ f ] .

e

Корректность определения следует из того, что ранг мат-

e

справа соответственно не меняет ранга матрицы билинейной формы.

24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.

Определение. Пусть f - билинейная функция на линейном пространстве L над P. Функция F: L P, заданная

159

формулой F(x) = f(x, x) x L, называется квадратичной функцией, определяемой билинейной функцией f .

все одночлены которого имеют вторую степень по координатам х, то есть это форма второй степени, или же квадратичная форма. Таким образом, квадратичная функция F(x) задается квадратичной формой от координат х.

Упражнение. Доказать, что соответствие f F не инъективно.

Определение. Билиненая форма (функция) f называется

симметричной, если f(x, y) = f(y, x) x, y L.

Упражнение. Доказать, что f – симметрична f(ei, ej) =

Утверждение. Если charP 2, то соответствие f F между симметричными билинейными и квадратичными формами является биекцией.

Доказательство. Пусть f - симметричная билинейная форма, и f F. Тогда x, y L F(x + y) = f(x + y, х + у)= = f(x, х) + f(y, у) + f(x, y)+ f(y, x) = F(x) + F(y) + 2 f(x, y)

Следовательно, билинейная форма f однозначно восстанавливается по определенной ею квадратичной форме F, и

значит, соответствие f F является инъекцией.

Упражнения.

1. Пусть F – некоторая квадратичная форма (полученная, например, из билинейной не обязательно симметричной формы g). Проверить в координатах, что форма f , полученная из F по формуле (24.2) будет билинейной.

2. Проверить, что эта форма f будет симметричной, и что f F.

160