Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

воспользовались ассоциативностью умножения матриц и биективным соответствием между линейными отображениями и матрицами.

Замечания.

1. В частном случае при Ln= Lm= Ls, e= e = e , имеем

[ ] = [ ] [ ] .

2.Если = id, то [ ] [ ] = [id] = Е [ ] = [ ] -1

[ -1] = [ ] -1.

13.3. Сумма линейных отображений и еѐ матрица.

Пусть , : Ln Lm - линейные отображения. Определим отображение + : Ln Lm формулой: x Ln

( + )(x) = x + x. Тогда:

1. + - линейное отображение, так как x,y Ln, , P

( + )( x+ y)= ( x+ y)+ ( x+ y)=

= x+ y+ x+ y = ( + )(x)+ ( + )(y).

13.4. Умножение линейного отображения на элемент поля.

Пусть : Ln Lm - линейное отображение, r P. Определим отображение r : Ln Lm формулой: x Ln

(r )x = r ( x). Тогда:

1. r - линейное отображение, так как (r )( x+ y) = =r( ( x+ y))= r( x+ y)=r x+r y = (r )x+ (r )y.

111

13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры матриц.

Пусть L= Ln - линейное пространство над полем P, Ф(Ln) – множество линейных операторов : Ln Ln. Тогда из пп.13.2-13.4 следует, что < Ф(Ln),+, , P > - некоторая уни-

версальная алгебра.

Теорема. < Ф(Ln),+,-( ), 0Ф(Ln) , , id, α |α P > - АУ-алгебра.

Один из возможных способов доказательства этой теоремы состоит в доказательстве следующих трех утверждений:

1.Множество Ф(Ln,Lm)={ : Ln Lm} линейных отображений из Ln в Lm с операциями сложения и умножения на элементы поля является линейным пространством над полем P.

2.Ф(Ln) – ассоциативное унитарное кольцо относительно операций сложения и умножения (композиции) линейных операторов.

3.Ф(Ln) – АУ-алгебра над P относительно операций из пп.1,2. Мы докажем эту теорему иначе.

Определение. Пусть A=<A, A >, B=<B, B > - универ-

сальные алгебры с носителями A, B и множествами операцийA, B соответственно. Отображение : A B называется

изоморфизмом универсальных алгебр, если:

1.: A B – биекция носителей,

2.биекция : A B такая, что для любой n-арной операции A операция ( )= B также n-арная, и

a1,…,an А выполняется условие (a1…an )=( (a1)… (an)) , где a1…an - результат операции над элементами a1,…,an.

Доказательство теоремы.

1. Пусть е – некоторый фиксированный базис в Ln. Определим отображение : Ф(Ln) Мn(Р), где Мn(Р) – алгебра

n n-матриц над Р. Пусть Ф(Ln) по определению =[ ].

e

Как мы уже видели, - биекция.

2. Отображение : < Ф(Ln),+, ,α |α P > <Мn(Р),+, , α |α P >

112

является изоморфизмом универсальных алгебр, так как по результатам пп.13.2-13.4

= [ ] = [ ] [ ] = ,[ ] = [ ] [ ] = ,

r p [r p ] = r p[ ] = r p .

3. Так как <Мn(Р),+, ,α |α P> - алгебра, то <Ф(Ln),+, ,α |α P> - алгебра, и эти АУ-алгебры изоморфны. В качестве примера

докажем дистрибутивность в Ф(Ln): , , Ф(Ln)

( ) ( ) = ( ) = = = ( ) ( ) = ( )

( ) = (из биективности ).

Остальные условия из определения алгебры проверяются

аналогично.

Следствия.

1.dim Ф(Ln) = dim Мn(Р) = n2.

2.Если л.о. Ф(Ln) такой, что Ф(Ln) имеем

= , то с Р такой, что = с idLn - это следует

из соответствующего свойства алгебры матриц. Упражнение. Проверить, что

B = { ij Ф(Ln), i,j =1,…,n ij ej = ei, ijek= 0L при k j} - ба-

зис линейного пространства Ф(Ln).

Очевидно, ijek= kjei, и [ ij] = Eij – базисные матрицы в пространстве Мn(Р).

Лекция 26.

14. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ

14.1. Изменение координат вектора при изменении базиса.

Пусть e={e1,…,en} и e = {e 1,…,e n} - некоторые базисы в пространстве L = Ln. Для произвольного вектора x Ln рас-

113

между координатами хi и х i вектора x в этих базисах.

разложение векторов базиса e по базису e. Определим мат-

щенном виде [x] = Т [x] .

Следуя (13.1), в матричном виде всѐ это можно записать так: е = е Т, х = е [x] = е [x] = е Т [x] [x] = Т [x] .

Очевидно, в матрице Т столбцы Т j, j=1,…,n, - линейно независимы (как столбцы координат в базисе е линейно независимых векторов e 1,…,e n). Поэтому detT 0 T -1

[x] = T -1 [x], то есть T -1= T .

e e

14.2. Изменение матрицы линейного отображения при изменении базисов.

Пусть e={e1,…,en} и e = {e 1,…,e n} – два базиса в пространстве Ln, u={u1,…,um} и u = {u 1,…,u m} – два базиса в

[y]=Т2[y] , так что Т2[y] =[ ]Т1[x] и [y] =Т2-1[ ]Т1[x] = [ ] [x] .

114

е

зависит от базиса.

Доказательство. det = det[ ] = det Т -1det[ ]det Т=

=det (Т -1Т)det[ ] = det Е det[ ] = det[ ] = det[ ].

е

Определение. Определителем det линейного оператора: Ln Lп называется det[ ] - определитель матрицы ли-

е

нейного оператора в произвольном базисе е .

Из леммы следует, что наше определение корректно.

14.3. Эквивалентные матрицы.

Введем на множестве Мп(Р) квадратных матриц бинарное отношение : будем считать, что для матриц А,В Мп(Р)

выполняется А В матрица Т Мп(Р) такая, что |T| 0 и

А = Т -1ВТ.

Утверждение. Отношение на множестве Мп(Р) является отношением эквивалентности.

Доказательство.

а) А Мп(Р) А А, так как при Т= Е имеем А = Е –1АЕ, то есть отношение рефлексивно.

в) Пусть А В Т Мп(Р) такая, что А =Т -1ВТ В=ТАТ -1= = (Т -1)-1А Т -1=Т1-1 А Т1, где Т1 = Т -1, поэтому В А, то есть

отношение симметрично.

с) Пусть А В и В С Т1,Т2 Мп(Р) такие, что А =Т1-1ВТ1 и

В =Т2-1СТ2 А= Т1-1Т2-1СТ2Т1= (Т2Т1 )-1С(Т2Т1) =Т3-1СТ3, где

Т3 = Т2Т1, то есть отношение транзитивно.

Таким образом, отношение является отношением экви-

115

валентности.

Далее мы будем использовать следующее Определение. Матрицы А, В Мп(Р) называются эквива-

лентными матрица Т Мп(Р) такая, что |T| 0 и

А = Т -1ВТ.

Очевидно, множество матриц Мп(Р) разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Эти классы образуют фактор-множество Мп(Р) . Каждый класс эквивалентных матриц состоит из матриц некоторого линейного оператора : Ln Lп, записанных во всевозможных базисах пространства Ln. Пользуясь этим фактом, можно было дать другое определение отношения и иначе доказать наше утверждение. Можно было считать, что А В А и В являются матрицами одного и того же оператора, но записанными в разных (может быть, совпадающих) базисах. Тогда транзитивность отношения следует из того, что если А и В являются матрицами одного и того же оператора, В и С являются матрицами одного и того же оператора, то, конечно же, А и С являются матрицами одного и того же, того же самого оператора. Ещѐ более очевидна рефлексивность и симметричность отношения .

Основной задачей теории матриц и теории линейных операторов является задача описания фактор-множества Мп(Р) , то есть задача выбора в каждом классе единственного наиболее простого представителя, или же выбора наиболее простого вида матрицы линейного оператора в некотором «хорошем» базисе - это задача классификации всех матриц (соответственно, всех операторов) с точностью до отношения эквивалентности . Решение этой задачи будет означать, что для любой матрицы мы сможем узнать, какой наиболее простой матрице она эквивалентна, какие пары матриц эквивалентны друг другу, сколько существует различных матриц с точностью до эквивалентности. Для операторов это будет означать, что для любого оператора мы смо-

116

жем узнать, к какому наиболее простому виду можно привести его матрицу выбором подходящего базиса, сколько существует различных операторов, насколько они похожи, как устроены, каков их геометрический смысл.

Упражнение. Доказать, что если А В, то detA = detB и rgA = rgB.

15. ОБРАЗ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть : L L - линейное отображение.

Определения.

1.Образом линейного отображения называется множество

Im = {y L | x L: y = x}, то есть Im = { x| x L} = = L L .

2.Ядром линейного отображения называется множество

Ker = {x L| x = 0}, то есть Ker = -1(0L ) L.

Теорема 1.

1.Im - подпространство в L .

2.Ker - подпространство в L.

Эта теорема – частный случай теоремы 2.

Теорема 2. Пусть : L L - линейное отображение, V – подпространство в L, W – подпространство в L . Тогда V - подпространство в L , -1W – подпространство в L (образы и прообразы подпространств при линейных отображениях являются подпространствами).

Доказательство.

1. Пусть y1, y2 V х1, х2 V такие, что y1= х1, y2= х2. Тогда х1+х2, 0L , х1 V Р, так как V – подпространство

(х1+ х2) = х1+ х2= у1+ у2 V, 0L = (0L) V,

( х1)= х1= y1 V V - подпространство.

2. Пусть х1, х2 -1W х1, х2 W

х1+ х2= (х1+х2) W, (0L)= 0L W, ( х1)= х1 W Р

так как W – подпространство х1 + х2 , х1 , 0L -1W

-1W - подпространство.

117

Теорема 3. - инъекция Ker = {0}.

Доказательство.

. Если Ker х 0, то х = 0 = 0 - не инъекция.

. Если х1= х2, то х1 - х2= (х1 – х2)= 0

х1 – х2 Ker = {0} х1 – х2= 0 х1 = х2 - инъекция.

Замечание. Ker - мера неинъективности отображения

: если y = х, то -1y = х + Ker .

Доказательство.

1.(х + Ker )= х + (Ker )= у + 0 = у -1y х + Ker .

2.Если х -1y, то х = х = у (х - х) = 0

х - х Ker х х + Ker -1y х + Ker .

Теорема 4 (структура Im ). Пусть : L L - линейное отображение, е = {е1,…, еn} – базис в L, е = {е 1,…, е m} – базис в L , [ ] - матрица в базисах е, е . Тогда:

1.Im = < е1,…, еn>,

2.dim Im = rg[ ].

Доказательство.

Im = < е1,…, еn>, { е1,…, еn} – система образующих для Im .

2. dim Im - это ранг системы векторов { е1,…, еn}, то есть ранг системы столбцов координат этих векторов

Отсюда dim Im = rg[ ].

Следствие. Так как в равенстве dim Im = rg[ ] левая часть от базиса не зависит, то и rg[ ] во всех базисах один и тот же.

Определение. Пусть : Ln Lm - линейное отображение.

Рангом отображения называется число dim Im = rg[ ],

118

которое мы будем обозначать rg .

Дефектом отображения называется число dim Ker , ко-

торое мы будем обозначать def .

Теорема 5. rg + def = n = dimLn.

Доказательство. Выберем базис {е1,…,еd} в подпростран-

стве Ker и дополним его до базиса {е1,…, еd, еd+1,…, еn} всего пространства Ln. Тогда Im =< е1,…, еd, еd+1,…, еn>= = < еd+1,…, еn>, так как е1=…= еd= 0. Покажем, что { еd+1,…, еn} – базис в пространстве Im . Для этого доста-

точно доказать, что векторы { еd+1,…, еn} – линейно независимы. Пусть d+1 еd+1 +…+ n еn = 0

( d+1еd+1+…+ nеn) = 0

d+1 еd+1 +…+ n еn Ker = <е1,…, еd>d+1еd+1 +…+ nеn= 1е1+…+ d еd

1е1+…+ d еd - d+1 еd+1 -…- nеn= 0. Но {е1,…,еn} линейно не-

зависимы. Значит, все i= 0. Таким образом, { еd+1,…, еn} – базис в пространстве Im , dim Im = n – d = n – dim Ker rg + def = n = dimLn.

Следствие. Ln=<е1,…, еd, еd+1,…, еn>=<е1,…, еd><еd+1,…, еn>=Ker <еd+1,…, еn>, и : <еd+1,…, еn> Im

- изоморфизм линейных пространств.

Лекция 27.

Теорема 6. Для линейного оператора : Ln Ln эквивалентны следующие 10 условий:

1.Ker = {0},

2.def = 0,

3.rg = n,

4.Im = Ln,

5.- инъекция,

6.- сюръекция,

7.- биекция,

119

8.линейный оператор -1,

9.[ ]-1,

10.det 0.

Доказательство.

Очевидно, 1 2 и 3 4 6 из определения, 2 3 из теоремы 5, 1 5 из теоремы 3, 5 6 7 из определения. Так как rg = rg [ ], а det = det [ ], то из теории определителей 3 10, а из теории матриц 10 9. Эквивалентность 9 8 следует из того, что [ ]-1= [ -1]. Либо можно доказать эквивалентность 7 8 следующим образом: 8 7 – из определения, а если имеет место 7, то, очевидно, отображение -1 , и нам требуется лишь доказать его линейность. Пусть -1х = u,

-1y = v u = х, v = y ( u+ v) = х + y

-1( х + y) = u+ v = -1х + -1y -1 – линейно.

Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если выполняется любое из десяти эквивалентных условий из Теоремы 6. В противном случае оператор называется вырожденным.

16. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Определение. Для линейного оператора : L L подпространство V L называется инвариантным относительно(или -инвариантным), если V V ( х V х V).

Примеры.

1.{0} и L – инвариантные подпространства для любого линейного оператора : L L. Эти подпространства называются тривиальными инвариантными подпространствами.

2.Пусть pr<i,j>: Е3 Е3- ортогональное проектирование на плоскость < i , j >. По определению pr<i,j>(xi+ yj+ zk)= xi+ yj.

Тогда V1 = < i, j > и V2 = < k > - инвариантные подпростран-

ства, и Е3= V1 V2.

3. Пусть : Е3 Е3 – поворот относительно оси < k >. Тогда V1 = < i , j > и V2 = < k > - инвариантные подпространства, и

120