Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

СОДЕРЖАНИЕ Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Лекция 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Лекция 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Лекция 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Лекция 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Лекция 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Лекция 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. Определители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Лекция 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Лекция 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Лекция 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Лекция 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6. Группы, кольца, поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Лекция 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Лекция 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Лекция 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Лекция 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Лекция 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8. Системы линейных уравнений (продолжение) . . . . . . . . . 70

Лекция 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Лекция 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Лекция 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Лекция 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10. Алгебра многочленов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Лекция 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Лекция 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Лекция 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

11. Поле рациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

191

Лекция 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

12. Прямые суммы подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 13. Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Лекция 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 Лекция 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

14. Матрица перехода от одного базиса к другому . . . . . . .113 15. Образ и ядро линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . 117

Лекция 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

16. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

Лекция 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 17. Диагонализируемые линейные операторы . . . . . . . . . . .130

Лекция 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

18. Евклидовы векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . 133

Лекция 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

19. Ортогональные линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . 138

Лекция 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

20. Самосопряженные линейные операторы . . . . . . . . . . . .144

Лекция 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

21. Унитарные векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . .148 22. Унитарные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Лекция 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 23. Эрмитовы линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Лекция 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

24. Билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . 157

Лекция 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 Лекция 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве . . . .168

Лекция 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 26. Эрмитовы формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Лекция 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве . . . . . . . . 177

Лекция 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 28. Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

Лекция 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

192