Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010
.pdfответствующей расширенной матрице i-я строка умножается на с.
Упражнения.
|
ЭП |
ЭП |
1. Доказать, что если |
S S |
, то S S , причем обратное |
ЭП - того же типа. |
|
|
|
ЭП |
|
2. Доказать, что если |
S S , то S S и, следовательно, |
S S .
На множестве СЛУ с п неизвестными введем отношение. Пусть по определению S S , если система S может
ЭП ЭП
быть получена из S с помощью цепочки ЭП: S … S .
Упражнения.
3. Доказать, что отношение является отношением эквивалентности.
4. Доказать, что если S S , то S S , и, следовательно, от-
ношение эквивалентности |
содержится в отношении экви- |
|||
валентности . |
|
|
|
|
Теорема. Любую матрицу размером m n |
||||
|
a |
a |
...... a |
|
|
11 |
12 |
1n |
|
A = |
a21 |
a22 |
...... a2 n |
|
|
|
|
|
|
|
....................... |
|
||
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 ...... amn |
c помощью ЭП-I,II можно привести к ступенчатому виду:
|
0 0 ... |
a |
a |
1 ................................. |
|
|
|
a |
|
|
|
1,k1 |
1,k1 |
|
|
|
1n |
|
|
|
0 0 ..... |
0 0 .... a2,k2 a2,k2 1 .................. |
|
|
|
a2n |
|||
|
............................................................... |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= 0 0 ..... |
0 |
0 ...... |
0 0 ....... |
a |
a |
|
....a |
, |
|
|
|
|
|
r ,kr |
r ,kr 1 |
rn |
||
|
0 0 ....................................... |
|
|
|
0 |
0 |
..... 0 |
|
|
|
................................................................ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 ............................. |
|
|
........................... |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
где число ненулевых строк равно r, r 0, и все элементы aiki 0, i = 1,…,r.
Доказательство индукцией по m.
При m = 1 утверждение очевидно и ничего доказывать не надо.
Пусть для m – 1 утверждение верно. Докажем его для m. Пусть в 1-м столбце все элементы нулевые, во 2-м столбце все элементы нулевые и т.д. Пусть 1-й столбец, где встретится элемент, неравный нулю, имеет номер k1 , k1 1. Строку, где находится этот ненулевой элемент, поменяем местами с 1-й строкой. Элемент, который окажется на месте с номером (1, k1), обозначим a1k1 , элемент, который окажется на месте с
номером (1, j), обозначим a1 j , а элемент на произвольном
(i, j)-м месте (i 2) будем обозначать a . Теперь с помощью
ij
ЭП-I сделаем нули под ненулевым элементом a1k1 . Для этого от каждой строки с номером j, j 2, отнимем 1-ю строку с
коэффициентом a 1 |
a |
. После этого получим матрицу вида |
1k |
jk |
|
1 |
1 |
|
.
Для подматрицы с m-1 строками
можно считать, что утверждение верно по предположению индукции. Отсюда и следует доказательство теоремы.
Число r ненулевых строк матрицы A (число ступенек) называется рангом матрицы A и обозначается rgA. Коррект-
22
ность определения ранга (независимость от способа приведения A к ступенчатому виду) будет доказана позже.
Лекция 6.
4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
Рассмотрим СЛУ вида (4.1). Расширенную матрицу системы приведем с помощью ЭП к ступенчатому виду
|
0 0 |
a1,k1 a1,k1 1 |
|
|
|
|
a1n |
|
b1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
................................. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 0 ..... |
0 |
0 .... |
a |
a |
.................. |
|
a |
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
2,k2 |
2,k2 1 |
|
|
2n |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
||||
............................................................... |
|
|
|
|||||||||||
|
0 0 ..... |
0 |
0 ...... |
0 |
0 ....... |
a a |
r ,kr 1 |
....a |
|
b |
. |
(4.2) |
||
|
|
|
|
|
|
r , k r |
rn |
|
r |
|
|
|||
0 0 ....................................... |
|
|
|
|
0 |
0 ..... 0 |
b |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
|
||
|
................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
........................... |
|
|
|
|
|
|||||
Здесь ранг основной матрицы системы равен rgA = r. |
|
|||||||||||||
1. Если br 1 0, |
|
|
|
|
||||||||||
то ранг расширенной матрицы |
rg A = r+1, и |
(r+1)-е уравнение системы ступенчатого вида имеет вид
0 х1 + … + 0 хn = br+1, то есть несовместно. Значит, и вся СЛУ несовместна.
2. Если br 1 = 0, то ранг расширенной матрицы rg A = rgA = r. Покажем, что в этом случае СЛУ совместна. Назовем все неизвестные xki , i = 1,…,r, с которых начинаются ступеньки,
главными, а все остальные (n – r) неизвестных – свободными. В системе ступенчатого вида, поднимаясь снизу вверх с r-го уравнения и до первого, выразим главные неизвестные через
свободные: |
x |
a 1 |
( a |
|
x |
... a x |
b ) , |
|||||
|
|
kr |
r ,kr |
|
r ,kr 1 |
kr 1 |
|
|
rn n |
|
r |
|
x |
a 1 |
( a |
|
x |
1 |
... a |
x |
b |
|
) . Затем в правую |
||
kr 1 |
r 1,kr 1 |
r 1,kr 1 1 |
kr 1 |
|
|
r 1,n |
n |
r 1 |
|
часть этой формулы подставим выражение для главного
23
неизвестного xkr из предыдущей формулы – получим выражение главного неизвестного xkr 1 только через свободные
неизвестные. После этого из (r-2)-го уравнения системы (4.2) выразим xkr 2 и в правую часть формулы подставим выраже-
ния для главных неизвестных xkr , xkr 1 из предыдущих формул – получим выражение главного неизвестного xkr 2 только
через свободные неизвестные. Затем переходим к (r-3)-му уравнению системы (4.2) и так далее до 1-го уравнения.
На полученные r формул можно смотреть двояко. Вопервых, можно считать, что это СЛУ, равносильная первоначальной СЛУ (4.1) и записанная специфическим удобным способом, при котором некоторые неизвестные (главные) выражены через другие (свободные). Во-вторых, эти формулы можно считать общим решением системы (4.1), в котором свободные неизвестные являются параметрами и принимают произвольные значения из поля Р, а главные неизвестные однозначно находятся по нашим формулам. Для эстетов, которым не нравится второй взгляд, можно уточнить этот второй взгляд введением других букв. Присвоим свободным (n – r) неизвестным произвольные значения t1, t2 ,…,tn-r из поля P, a значения главных неизвестных найдем по нашим формулам. Полученный набор значений неизвестных и будет решением системы (4.1).
Таким образом, нами доказана
Теорема Кронекера-Капелли. Система (4.1) совместна
тогда и только тогда, когда rg A = rg A .
Если r = n, то есть свободных неизвестных нет, и все неизвестные – главные, а матрица ступенчатого вида в (4.2) – треугольная, то система (4.1) имеет единственное решение, то есть является определенной. Если r n, то свободные неизвестные существуют, и система имеет более одного решения, то есть является неопределенной. Если поле Р – бесконечное, то при r n совместная СЛУ имеет бесконечно много решений.
24
4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
Как и при решении по Гауссу приведем расширенную матрицу системы (4.1) с помощью ЭП к ступенчатому виду (4.2). После удаления последних нулевых строк матрица примет вид:
|
0 0 |
a1,k |
a1,k 1 |
|
|
|
|
a1n |
|
b |
|
................................. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 0 ..... |
0 0 .... a2,k |
|
a2,k |
1 |
.................. a2n |
|
b |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
. |
|
.................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
0 0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
a r , k r a r , k r 1 ....arn |
|
|
|
|
|
|
|
br |
Далее снизу вверх, начиная с r-й строки, проделаем над этой матрицей (соответственно, над СЛУ) следующую процедуру. Сделаем над этой матрицей ЭП-III – умножим r-ю строку на
a 1 |
. Тогда r-я строка матрицы примет вид: |
||||
r ,k |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
. С помощью ЭП-I, вычитая r-ю стро- |
|
|||||
.....1 ar ,kr 1....arn |
|
br |
ку с соответствующими коэффициентами из выше расположенных строк, сделаем над 1 в r-й строке все элементы kr-го столбца нулевыми. Затем переходим к (r - 1)-й строке. С помощью ЭП-III сделаем 1 в начале строки на месте с номером (r – 1, kr-1), и с помощью ЭП-I сделаем нули везде выше над этой единицей в kr-1 –м столбце. Затем переходим к (r - 2)-й строке и т.д. После этой процедуры наша матрица примет вид
0 0 |
|
1....0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 1 a1,k |
|
|
|
|
a1n |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 0 |
|
1 |
.....0 |
|
|
|
0 |
|
b |
|
|||
|
0 1 a2,k |
|
|
|
a2n |
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
.......................................... |
|
|
|
..0.................. |
|
|
|
0.................. |
|
|
... |
. |
0 0..................................... |
|
|
|
0 1 a |
1,k |
|
1 |
....0.......... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r 1 |
|
r 1,n |
|
b |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
br |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 ar ,kr 1....arn |
|
|
Теперь в соответствующей СЛУ оставим главные неизвестные слева, а все остальные слагаемые перенесем в правые части уравнений. Получим, как и при решении по Гауссу,
25
выражения главных неизвестных через свободные. В отличие от метода Гаусса, когда с помощью матрицы (4.2) мы выражали главные неизвестные через свободные, на каждом шаге подставляя в формулу выражения ранее найденных главных неизвестных, при методе Жордана все необходимые вычисления проводятся над матрицей, а в конце мы получаем готовые формулы, выражающие главные неизвестные через свободные.
Лекция 7.
5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
5.1. Определения. Свойства.
На множестве квадратных (п п)-матриц (п = 1,2,3,…) с элементами из поля Р определим по индукции функцию det со значениями в поле Р. Значение этой функции на матрице А будем обозначать также |A| и называть определителем матрицы А.
Пусть для п = 1 для матрицы А = (а11) по определению detA = а11 .
Далее будем считать, что для всех (п – 1) (п – 1)-матриц функция det уже определена. Определим для (п п)-матрицы
|
a |
a ...... |
a |
|
11 |
12 |
1n |
A = |
a21 |
a22 ...... |
a2 n |
|
|
|
|
|
....................... |
||
|
|
|
|
|
an1 |
an2 ...... |
ann |
функцию detA по формуле:
detA = а11 M11 - а21 M21 + а31 M31 - …+(-1)n+1аn1 Mn1 , где Mk1 –
определитель (п – 1) (п – 1)-матрицы, которая получается из матрицы A вычеркиванием 1-го столбца и k-й строки. По предположению индукции можно считать, что все эти определители мы вычислять умеем. Определители Mk1 называются минорами, соответствующими элементам аk1. Число п бу-
26
дем называть порядком (п п)-матрицы А, а также порядком определителя |A|.
Упражнение. Написать формулы для |A| при n = 2 и 3. Замечание. detA можно рассматривать как функцию од-
ного матричного аргумента A, можно рассматривать как
функцию от п2 |
аргументов аij, |
можно рассматривать как |
функцию от п строк матрицы A . |
|
|
Обозначим |
i-ю строку матрицы А через Аi . То есть |
|
Аi = (аi1 , аi2 ,…, аin ). Рассмотрим |
det как функцию п строк |
матрицы A: detA = det(А1 , А2 ,…, Аn ).
Утверждение 1.
det(А1 ,…,Аi+А i ,…,Аn)=det(А1 ,…,Аi ,…,Аn)+det(А1 ,…,А i,…,Аn).
Доказательство по индукции.
При п = 1 утверждение очевидно.
Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу A , у которой i-я строка Ai = Аi+А i . По
определению | A |= а11 M11 -а21 M21 +…+(-1)i+1(аi1+а i1)Mi1+…+
+(-1)n+1аn1 Mn1 , где Mk1 , k i, - миноры матрицы A , Mi1 – минор матрицы А и A . Так как все Mk1 - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утвер-
ждение 1 верно, то есть при k i |
Mk1 = Mk1 + M k1 , где Mk1 - |
миноры для det(А1 ,…,Аi ,…,Аn), а M k1 – миноры для |
|
det(А1 ,…,А i,…,Аn). Таким образом, |
|
| A |= а11(M11+M 11) -а21(M21+M 21)+…+(-1)i+1(аi1+а i1)Mi1+…+
+(-1)n+1аn1 (Mn1+ M n1) =
= (а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1 Mi1+…+(-1)n+1аn1Mn1 )+
+ (а11M 11 - а21M 21+…+(-1)i+1а i1Mi1+…+(-1)n+1аn1 M n1) =
= det(А1 ,…,Аi ,…,Аn) + det(А1 ,…,А i,…,Аn).
Утверждение 2.
det(А1 ,…, сАi ,…, Аn) = сdet(А1 ,…, Аi ,…, Аn).
Доказательство по индукции.
При п = 1 утверждение очевидно.
27
Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу A , у которой i-я строка Ai = сАi . По
определению | A | = а11 M11 - а21 M21 +…+(-1)i+1саi1Mi1+…+ +(-1)n+1аn1 Mn1 , где Mk1 , k i, - миноры матрицы A , Mi1 –
минор матрицы А и A . Так как все Mk1 - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 2 верно, то есть при k i Mk1 = сMk1 , где Mk1 - миноры для det(А1 ,…, Аi ,…, Аn). Таким образом,
| A |= а11сM11 - а21сM21 +…+ (-1)i+1саi1Mi1+…+ (-1)n+1аn1сMn1 =
= сdet(А1 ,…,Аi ,…,Аn) .
Свойства определителя из утверждений 1, 2 называются свойствами линейности определителя по i-й строке. Так как i – произвольная строка, i = 1 n, то говорят, что определитель - полилинейная функция строк.
Утверждение 3.
det(А1 ,…, Аi , Аi ,…, Аn) = 0 – то есть определитель, у которого две соседние строки одинаковые, равен нулю.
Доказательство по индукции.
При п = 2 утверждение очевидно из формулы для определителя 2-го порядка.
Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п.
Рассмотрим матрицу А, у которой Аi+1= Аi . По определению
|А| = а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1Mi1 - (-1)i+1аi1Mi1+…+
+(-1)n+1аn1Mn1 , где все миноры Mk1 , k i, i+1, – имеют две одинаковые соседние строки, и так как все Mk1 - определите-
ли порядка n – 1, то по предположению индукции для них
утверждение 3 верно, то есть при k i, i+1 Mk1 =0. А сумма
(-1)i+1аi1Mi1 - (-1)i+1аi1Mi1= 0. Таким образом, |А| = 0.
Утверждение 4.
det(А1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn) – то
28
есть если у определителя поменять местами две соседние строки, то он изменит знак.
Доказательство. Из утверждений 3 и 1
0 =det(А1 ,…,Аi+Аi+1 ,Аi+Аi+1 ,…,Аn) = det(А1 ,…, Аi , Аi ,…, Аn)+
+det(А1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn) + det(А1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) +
+det(А1 ,…, Аi+1 , Аi+1 ,…, Аn) – в этой сумме 1-е и 4-е слагаемые по утверждению 3 равны 0 , то есть
det(А1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn)+ det(А1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn)= 0 det(А1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn).
Утверждение 5. Если у матрицы А при i j Аi = Аj , то |A|= 0 – то есть определитель, у которого две строки одинаковые, равен нулю.
Доказательство. При j = i+1 определитель равен нулю по утверждению 3. Пусть j i+1. Переставим j-ю строку с (j -1)-й, затем с (j -2)-й, с (j -3)-й и т.д. пока не дойдем до
(i +1)-й и не получим определитель с двумя одинаковыми соседними строками – этот определитель по утверждению 3 равен нулю. Каждый раз при перестановке соседних строк по утверждению 4 определитель менял знак. После всех этих перестановок строк мы получим окончательный нулевой определитель, который отличается от нашего первоначального, может быть, разве что только знаком. Значит, и наш первоначальный определитель тоже равен нулю.
Утверждение 6.
det(А1 ,…, Аi ,…,Аj ,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аj ,…, Аi ,…, Аn) – то есть если у определителя поменять местами i-ю и j-ю строки,
то он изменит знак.
Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.
Упражнение. Доказать утверждение 6.
Свойство определителя из утверждения 5 называется свойством кососимметричности (или антисимметрично-
сти) определителя по строкам. Итак, нами доказана
29
Теорема. Определитель матрицы является полилинейной кососимметричной функцией строк этой матрицы.
5.2. Вычисление определителей.
Как следует из утверждения 6, при элементарных преобразованиях II-го типа над строками матрицы определитель меняет знак.
Утверждение 7. При элементарных преобразованиях I-го типа над строками матрицы определитель не меняется.
Доказательство. det(А1 ,…, Аi+cАj ,…, Аj ,…, Аn) =
=det(А1 ,…,Аi ,…, Аj ,…, Аn) + det(А1 ,…,cАj ,…, Аj ,…, Аn)=
=detА + сdet(А1 ,…,Аj ,…, Аj ,…, Аn) = detА + с 0 = detА .
Как доказано в Теореме в п.4.2 матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками можно привести
к ступенчатому виду A . Пусть при этом t - количество ЭП-II. Если rgA n, то в матрице A существует нулевая строка. В
частности п-я строка A |
= (0, 0,…,0) = 0 A |
и |A| = (-1)t| A | = |
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
=(-1)tdet( A |
,…, A )=(-1)tdet( A ,…,0 A )=(-1)t0 det( A |
,…, A )= |
|||||||||||
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
|
n |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если rgA = n, то матрица A имеет треугольный вид |
|||||||||||||
a ................ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
11 |
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
0 a22 ............ a2n |
, и | A | = a |
M |
|
= a |
a |
… a |
|
, а |
||||
|
0 |
0................... |
|
11 |
|
11 |
11 |
22 |
nn |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0............0 ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|A| = (-1)t| A | =(-1)t a |
a |
|
… a . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
11 22 |
nn |
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 8.
5.3. Обратная теорема об определителях.
Мы доказали, что определитель матрицы является полилинейной кососимметричной функцией строк этой матрицы.
30