Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

Теперь нас интересует вопрос, насколько много таких функций. Оказывается, что с точностью до пропорциональности других таких функций нет. Другими словами, имеет место

Обратная теорема. Пусть F(A) – полилинейная кососимметричная функция строк (п п)-матрицы А. Тогда F(A)= с|A|,

где с Р, с = F(E), а Е – единичная матрица,

Доказательство.

1. Рассмотрим функцию матрицы F(A) как функцию F(А1,…,Аn) строк А1,…,Аn матрицы A. Полилинейность функции F по строкам означает линейность по любой i-й строке. То есть для любого i должны выполняться два свойства:

F(А1 ,…, Аi+А i ,…, Аn) = F(А1 ,…, Аi ,…,Аn)+ F(А1 ,…,А i ,…, Аn), F(А1 ,…, cАi ,…, Аn) =cF(А1 ,…, Аi ,…,Аn).

Кососимметричность функции F по строкам означает, что

если при i j Аi = Аj , то F(А1 ,…,Аi ,…, Аj ,…, Аn) = 0. Из свойства кососимметричности, как и в утверждении 6 для

определителей следует, что

F(А1 ,…, Аi ,…,Аj ,…, Аn) = - F(А1 ,…, Аj ,…, Аi ,…, Аn), то есть при ЭП-II над строками функция F, как и det, меняет знак. А

при ЭП-I функция F, как и det, не меняется – доказательство этого аналогично доказательству утверждения 7.

2. Приведем матрицу А с помощью элементарных преоб-

=(-1)t0 F( A1 ,…, An )= 0. И значит, F(A) = c|A|.

3.Если rgA = n, то матрица A - треугольная, то есть

31

дующим образом: вычтем п-ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над ann

везде получились бы нули. Затем вычтем (п – 1)-ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами

Тогда строки A1 = ( a11 , 0,…,0)= a11 (1, 0,…,0),

A2 = (0, a22 , 0,…,0)= a22 (0,1, 0,…,0) и т.д.,

и F(A)=(-1)tF( A ) =(-1)tF( A )= (-1)t a11 a22 … ann F(E)=F(E) |A|.

5.4. Разложение определителя по столбцам.

Для квадратной матрицы А определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, будем обозначать Мij и называть минором, соответствующим элементу aij матрицы A .

Рассмотрим функцию матрицы

F(A) = а1i M1i - а2i M2i + а3i M3i - …+(-1)n+1аni Mni .

Аналогично утверждениям 1 6 из 5.1 доказывается, что F(A) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А. Разница лишь в том, что не надо проводить индук-

32

цию, так как полилинейность и кососимметричность определителей Мij нам уже известна.

Упражнение. Доказать полилинейность и кососимметричность по строкам функции F(A).

По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где

с = F(E) = 0 M1i - 0 M2i +…+(-1)i+11 Mi i + …+(-1)n+1 0 Mni = = (-1)i+1Mi i =(-1)1+i, так как Mi i = 1 F(A)= (-1)1+i|A|

|A|=(-1)1+iF(A)=(-1)1+iа1iM1i+(-1)2+iа2i M2i+…+(-1)n+i аni Mni.

Таким образом, нами доказана

Теорема о разложении определителя по столбцу:

n

i |A|= ( 1) j i a ji M ji .

j 1

Определение. Будем называть Аji= (-1)j+iMji алгебраическим дополнением элемента аji в определителе.

n

В этих обозначениях |A|= a ji Aji .

j 1

5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.

Обозначим i-й столбец матрицы А через Аi, то есть Аi=

a1i

... . Рассмотрим |A| как функцию от п столбцов матрицы

ani

А, то есть |A|= det(А1,А2,…, Аn).

Теорема. Определитель является линейной функцией от i-го столбца i (и, следовательно, полилинейной функцией столбцов).

Доказательство. Докажем, что

det(А1,…,Аi+А i,…,Аn)= det(А1,…,Аi,…,Аn)+det(А1,…,А i,…, Аn)

и det(А1,…,сАi,…,Аn)= с det(А1,…,Аi,…,Аn).

По теореме о разложении определителя по столбцу

|A| = а1i А1i+ а2i А2i +…+ аni Аni , где все коэффициенты Aji от i-го столбца не зависят. Поэтому det(А1,…,Аi+А i,…,Аn)=

33

i j Аi= Аj, то det(А1,…,Аi,…,Аj,…,Аn) = 0.

При п =2 утверждение очевидно из формулы для определителя.

Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п 3. Так как п 3, то в определителе кроме столбцов Аi= Аj суще-

ствует столбец Аk, где k i, k j. Разложим |A| по k-му

столбцу: |A| =(-1)1+kа1k M1k+(-1)2+kа2k M2k+…+(-1)n+kаnk Mnk ,

и в этом разложении во всех определителях Msk имеется по два одинаковых столбца. Так как порядок всех Msk равен п -1, то по предположению индукции можно считать, что все

Msk = 0 |A| =0.

Лекция 9.

5.6. Определитель транспонированной матрицы.

Для (m n)-матрицы C=(cij) i 1,...,m, транспонированной мат-

j 1,..., n

рицей называется (n m)-матрица C t = (c ji) i 1,...,m, , где c ji = cij.

j 1,...,n

Теорема. |A t| =|A|.

Доказательство. Пусть функция матрицы F(A) = |At|. Рассмотрим F(A) как функцию F(А1,…,Аn) строк А1,…,Аn матрицы A. Тогда F(А1,…,Аn) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А, так как строки матрицы А – это

34

столбцы матрицы At, а |At| - полилинейная кососимметричная функция столбцов матрицы At. По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где с = F(E) = |Е t| = |Е| = 1, то есть |At| =|A|.

Тогда |H| = |A| |C|.

Доказательство. Рассмотрим |H| как функцию F(C) матрицы C. Эта функция полилинейна и кососимметрична относительна строк матрицы C. По обратной теореме об опреде-

35

ложить последний определитель по последней строке, то по-

лучим F(E) =(-1)n+m+п+mMn+m,п+m . Далее снова раскладывая определитель Mn+m,п+m по последней строке и повторяя эту

процедуру m – 1 раз, получим, что =F(E)=|A|, и |H|=|A| |C|.

5.9. Теорема о полном разложении определителя.

Запишем k-ю строку определителя матрицы А в виде

Аk=(аk1,аk2,…,аkn )=аk1(1,0,0,…,0)+аk2(0,1,0,…,0)+аkn(0,0,…,1)=

i1 ,i2 ,...,in

гаемых все слагаемые, у которых существуют одинаковые

где все индексы i1,…,in в слагаемых различны, то есть образуют перестановку чисел 1,…,п; число слагаемых, следовательно, равно п!; ( ) = det(E i1 ,E i2 ,…, E in ), а

Утверждение. ( )=+1, если - четная, и ( ) = - 1, если- нечетная.

Доказательство. Очевидно, матрица со строками

36

мощи действия на столбцы подстановкой . По утверждению из 3.2, если количество инверсий в нижней строке подстановки равно m, то можно разложить в произведение m транспозиций. И столбцы в матрице Е можно либо переставить все сразу с помощью , либо переставить за m шагов, переставляя при помощи транспозиций каждый раз только два столбца. Так как при каждой перестановке столбцов определитель меняет знак, то ( ) = det(E i1 ,E i2 ,…, E in )= (- 1 )m.

Следовательно, если m - четно, то ( ) = + 1, а если m - не-

четно, то ( ) = - 1.

Следствие. Если подстановку можно разложить одним способом в произведение р транспозиций и другим способом в произведение q транспозиций, то четность p и q одинакова.

Доказательство. В самом деле, ( )=det(E i1 ,E i2 ,…,E in )=

= (- 1 )p =(- 1 )q четность p и q одинакова.

Таким образом, нами доказана

Теорема о полном разложении определителя.

если - четна, и ( ) = - 1, если - нечетна.

Замечания.

1.Как мы видим, определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений элементов матрицы, выбранных по одному из всех (различных) строк и всех (различных) столбцов, взятых со знаком + или – .

2.Очевидно, |A| = ai11ai2 2 ...ain n ( ) .

37

5.10. Решение СЛУ по Крамеру.

Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными:

Домножим левые и правые части уравнений на алгебраические дополнения Аik основной матрицы А системы (5.1):

1-е уравнение домножим на А1k, второе – на А2k, и т.д., п-е – на Апk. Затем домноженные уравнения сложим. У полученно-

n

го уравнения коэффициент при хk будет равен aik Aik = |A|.

i 1

n

А коэффициент при хs , s k, равен ais Aik - это определи-

i 1

тель, у которого k-й столбец в матрице А заменен на s-й столбец, то есть это определитель с двумя одинаковыми столбцами – k-м и s-м, и, значит, этот определитель равен нулю. Таким образом, коэффициенты при всех хs , s k, равны нулю. А правая часть полученного уравнения имеет вид

n

bi Aik - это определитель матрицы, которая получается из

i 1

матрицы А заменой k-го столбца на столбец из правых частей системы (5.1). Этот определитель мы будем обозначать

n

k = bi Aik . Следовательно, после сложения домноженных

i 1

уравнений мы получим уравнение вида |A| хk= k . Это уравнение – следствие системы (5.1).

Если |A|= 0 и k 0, то уравнение |A| хk= k не имеет решений, и, следовательно, система (5.1) несовместна.

Если |A| 0, то из решения по Гауссу система (5.1) - совместная и определенная, и еѐ решения являются решениями

38

уравнений |A| хk= k , которые имеют единственное решение хk = k / |A|. Следовательно, набор хk = k / |A|, k = 1,…,п, является единственным решением системы (5.1). Это решение и называется решением по Крамеру.

Если |A|= 0 и все k= 0, то по Крамеру систему решать нельзя. Можно решать еѐ, например, по Гауссу. В этом случае система (5.1) либо имеет больше одного решения, либо несовместна.

Упражнение. Привести примеры систем с |A|= 0, которые имеют более одного решения, и систем, которые несовместны.

Лекция 10.

5.11. Теорема Лапласа.

Для любых s1 s2 … sm и t1 t2 … tm будем обозна-

чать через M s1 ,s2 ,...,sm минор (определитель) матрицы А, стоя-

t1 ,t2 ,...,tm

щий на пересечении столбцов с номерами s1, s2 ,…, sm и строк с номерами t1, t2 ,…, tm .

Пусть k1 k2 … kp - номера фиксированных столбцов (п п)-матрицы А, kp+1 kp+2 … kn – номера дополнительных (фиксированных) столбцов матрицы А.

Теорема Лапласа.

где i1 i2 … ip – (переменные) номера всевозможных строк, по которым ведется суммирование, ip+1 ip+2 … in - номера дополнительных строк.

Доказательство. Очевидно, сумма в теореме Лапласа со-

слагаемые перемножить в каждом из Cnp произведений ми-

39

норов, то получим всего Cnp р! (п – р)! = п! слагаемых –

ровно столько же, сколько содержится в теореме о полном разложении определителя |A|. Кроме того, после перемножения все полученные слагаемые – это одночлены, множителями которых являются элементы матрицы А, выбранные по одному из каждого столбца с номерами k1, k2 ,…, kp и с номерами kp+1, kp+2,…, kn , то есть элементы матрицы А, выбранные по одному из всех столбцов, и аналогично по одному из всех строк. Это значит, что 1) среди этих одночленов нет подобных членов, и 2) эти одночлены в точности такие же, как одночлены, которые получаются при разложении |A| по теореме о полном разложении определителя. Последнее, что осталось проверить – это то, что все эти одночлены в правой части равенства (5.2) имеют такие же знаки, как и одночлены в разложении определителя |A|, или, как мы будем говорить

– правильные знаки.

Лемма. Пусть k1=1, k2 =2,…, kp= р, и, следовательно, kp+1= р+1, kp+2=р+2,…,kn=п. Запишем правую часть равенст-

инверсий подстановки 2. Таким образом, в правой части

знак (- 1)r+s. А в левой части формулы (5.2) в разложении |A|

( )= (- 1)t, где

40