21И22 на листке.

23Производные от обратных тригонометрических функций

24Дифференциал

ДИФФЕРЕНЦИАЛ – линейная часть приращения функции. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка [a,b] определяется равенством

.

Отношение стремится к определенному числуf(x) и, следовательно, отличается от производнойf(x) на величину бесконечно малую:

,

где a 0 при x0.

Умножение всех членов последнего равенства на xдает

y = f(x) x+ ax.

Так как, то приращение yфункции состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть (приf(x)  0) так называемая главная часть приращения, линейная относительно x. Произведениеf(x)x называют дифференциалом функции и обозначают черезdy илиdf(x):

dy =f(x)x

Можно найти дифференциал функции y= x.В этом случаеy = (x) = 1 и, следовательно,

Dy=dx= x. Таким образом, дифференциалdx независимой переменнойx совпадает с ее приращением x.

25Производные и дифференциалы высших порядков

Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f⁽²⁾(x), f''(x) или y⁽²⁾, y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y(n) = (y(n-1))'.

(6)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u(x)v(x))⁽ⁿ⁾ = u(n)v+nu(n-1)v'+(n(n-1)/2)u(n-2)v''+...+ uv(n) =

= _{k =} 0ⁿC_n^ku(n-k)v(k),

где

C_n^k = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пустьy = e^x(x²-1). Найтиy⁽¹⁰⁾. Положимu(x) = e^x,v(x) = (x²-1). Согласно формуле Лейбница

y(10) = (e^x)⁽²⁵⁾(x2-1)+10(e^x)⁽⁹⁾(x2-1)'+(10· 9/2) (e^x)⁽⁸⁾(x2-1)'',

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y(10) = e^x(x2-1)+10e^x2x+(10· 9/2)e^x (2) = e^x(x2+20x+89)

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

dy = f'(x)dx.

Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значение (dy) дифференциала отпервого дифференциала (4) при x= dx, называется вторым дифференциалом функцииy = f(x) и обозначается d²y.

Таким образом,

d2y =  (dy)| x = dx.

Дифференциал dⁿy можно ввести по индукции.

Определение 7. Значение (d^n-1y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при x= dx, называетсяn-м дифференциалом функцииy = f(x) и обозначается dⁿy.

Найдем выражение для d²yпри этом рассмотрим два случая, когдаx-независимая переменная и когдаx=  (t), то есть является функцией переменнойt.

1. пусть x =  (t), тогда

d2 =  (dy)| x = dx =  (f'(x)dx)| x = dx =

= { (f'(x))dx+f'(x)(dx)}| x = dx = f''(x)(dx)²+f'(x)d2x.

Итак,

d2y = f''(x)(dx)2+f'(x)d2x.

(7)

2. пусть x - независимая переменная, тогда

d2y = f''(x)(dx)²,

так как в этом случае (dx) = (dx)' x = 0.

Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если x - независимая переменная:

dⁿy = f(n)(x)(dx)ⁿ.

Из этой формулы следует, что f⁽ⁿ⁾ = dⁿy/(dx)ⁿ.

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка (7).