8Системы линейных уравнений

Обозначим через любое из множеств или .

Системой линейных уравнений(л.у.) над называется совокупность (набор) из нескольких уравнений от одного и того же набора переменных (неизвестных) :

Здесь числа и — из ; они называютсякоэффициентами системы. Первый индекс у коэффициента отвечает за номер уравнения, а второй — за номер переменной. Относительно числа уравнений не делается ни какого предположения: оно может быть меньше, больше или равно числу переменных . Если то система называетсяпереопределенной.Решением системы уравненийназывается любой набор значений переменных , обращающий каждое из уравнений в истинное равенство. Система называетсясовместнойесли она имеет хотя бы одно решение инесовместнойв противном случае.

!

Можно доказать (см. результаты НИЖЕ), что все возможности для произвольной системы ограничиваются следующими вариантами:

1. система совместна и имеет единственное решение;

2. cистема совместна и имеет бесконечное множество решений;

3. cистема несовместна.

При этом все решения будут находиться в том же множестве , что и коэффициенты системы.

  x _i = D_i (i = ).          Формула крамера

9Система линейных уравнений решение методом гаусса

  В отличие от матричного методаиметод Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений :

            Разделим обе части 1–го  уравнения на a₁₁не равно 0, затем: 1) умножим на а₂₁и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а₃₁и вычтем из третьего уравнения и т.д.

 

Получим:

,   гдеd_1j = a_1j/a₁₁,  j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j         i = 2, 3, … , n;       j = 2, 3, … , n+1.

            Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

            Пример:Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  x₃= 2; x₂= 5; x₁= 1.

 

Пример.Решить систему методом Гаусса.

Для решения методом гаусса уравнения, составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  z = 3; y = 2; x = 1. Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Для самостоятельного решения: Ответ: {1, 2, 3, 4}.

10Решение системы с помощью обратной матрицы

Решить систему с матричным методом 

Решение: Запишем систему в матричной форме: , где

Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле.

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Обратную матрицу найдем по формуле:, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка:Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибкамиустно.

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносим  в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже  рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ: