- •1.Матрица.Транспонированная матрица.Сложение и умножение на число.
- •2Отрицательная матрица
- •3Элементарные преобразования матрицы.Вырожденные и невырожденные.
- •4 Минора и алгеброические дополнения
- •6 Обратная матрица
- •7Ранг матрицы
- •Связанные определения
- •8Системы линейных уравнений
- •9Система линейных уравнений решение методом гаусса
- •10Решение системы с помощью обратной матрицы
- •11Кривые второго порядка
- •12Окружность
- •13Элиппс
- •14Гипербола
- •15Парабола
- •17Дифференци́рованием.
- •[Править] Определение производной функции через предел
- •18Правила дифференцирования
- •19Производная обратной функции
- •20Правило диференц. Сложн. Функ.
- •21И22 на листке.
- •23Производные от обратных тригонометрических функций
- •24Дифференциал
- •25Производные и дифференциалы высших порядков
- •26Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •27Теорема Ферма
- •28И29Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •30Тейлора формула
- •31Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •32Точки экстремума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточное условие экстремума
- •Общий план исследования функции и построения графика.
- •35Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
- •36Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •37Интегрирование рациональных выражений
- •38Эйлера подстановки
- •39Определения
- •41Определения
- •Стандартная модель
- •Матричная модель
- •Замечания
- •Модуль и аргумент
- •Сопряжённые числа
- •Алгебраическая форма
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •42Геометрическая интерпретация комплексного числа
38Эйлера подстановки
Эйлера подстановки,подстановки, служащие для приведения интегралов вида
,
где и R (x,y) — рациональная функция отхиу, к интегралам от рациональных функций (см.Интегральное исчисление).Предложены Л.Эйлеромв 1768. Первая Э. п.
применима, если а>0; вторая Э. п.
применима, если с > 0; третья Э. п.
где l — один из корней трёхчлена ax2+bx + c, применима, если корни этого трёхчлена действительны. На практике Э. п. требуют громоздких преобразований и потому вместо них обычно пользуются теми или иными искусств. приёмами, упрощающими вычисление.
Аналогичные подстановки делаются в теории чисел при решении неопределённых уравнений 2-й степени в рациональных числах.
39Определения
Три наиболее употребительных формулы:
Интегро-дифференцирование Римана-Лиувилля
Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.
Производная Грюнвальда-Летникова
Интегро-дифференцирование Вейля
Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана-Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.
Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как:
В фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:
Поэтому,
что сводится к
При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном, дифференцирование заменяется умножением
Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно Dqf(t), получаем
Линейность
Правило нуля
Дробное интегро-дифференцирование произведения
Полугрупповое свойство
в общем случае не выполняется [1].
40Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются . Например,,,. В то же время функциярациональной не является.Теорема. Интеграл вида с помощью подстановкипреобразуется в интеграл от рациональной дроби. Для доказательства выразим ,ичерез:;;. В результате проведенных преобразований,ипревратились в рациональные дроби от. Подставляя их в исходный интеграл, получаем:. В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь. Подстановка,,,называется универсальной тригонометрической подстановкой.2. Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида . Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще. 1. Интегралы типаудобно вычислять с помощью подстановки. Тогдаи получаем простой интеграл. 2. Интегралы типаудобно вычислять с помощью подстановки. Тогдаи интеграл приводится к виду. 3. Если подынтегральная функция зависит только от(), то удобна замена. В этом случаеи. В результате получаем. 4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степенейи, то есть, то в этом случае также удобна замена. При этом:;;. Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки. Пусть дан интеграл, гдеи при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что. ТогдаДалее делается замена, и получаем. 6. Пусть дан интеграл, гдеинеотрицательные и четные. Положим, что,. Тогда;. Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле, получаем снова случаи 5 или 6. 7. Пусть дан, гдеи– четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4. 8. В случаеиспользуется тригонометрическая формулаи интеграл превращается в два табличных интеграла. 9. В случаеиспользуется тригонометрическая формула. 10. В случаеиспользуется тригонометрическая формула