- •1.Матрица.Транспонированная матрица.Сложение и умножение на число.
- •2Отрицательная матрица
- •3Элементарные преобразования матрицы.Вырожденные и невырожденные.
- •4 Минора и алгеброические дополнения
- •6 Обратная матрица
- •7Ранг матрицы
- •Связанные определения
- •8Системы линейных уравнений
- •9Система линейных уравнений решение методом гаусса
- •10Решение системы с помощью обратной матрицы
- •11Кривые второго порядка
- •12Окружность
- •13Элиппс
- •14Гипербола
- •15Парабола
- •17Дифференци́рованием.
- •[Править] Определение производной функции через предел
- •18Правила дифференцирования
- •19Производная обратной функции
- •20Правило диференц. Сложн. Функ.
- •21И22 на листке.
- •23Производные от обратных тригонометрических функций
- •24Дифференциал
- •25Производные и дифференциалы высших порядков
- •26Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •27Теорема Ферма
- •28И29Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •30Тейлора формула
- •31Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •32Точки экстремума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточное условие экстремума
- •Общий план исследования функции и построения графика.
- •35Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
- •36Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •37Интегрирование рациональных выражений
- •38Эйлера подстановки
- •39Определения
- •41Определения
- •Стандартная модель
- •Матричная модель
- •Замечания
- •Модуль и аргумент
- •Сопряжённые числа
- •Алгебраическая форма
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •42Геометрическая интерпретация комплексного числа
17Дифференци́рованием.
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Пусть в некоторой окрестноститочки определенафункция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестностиU(x0) можно представить в виде
f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h)
если существует.
[Править] Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестноститочки определенафункция Производной функцииfв точкеx0называетсяпредел, если он существует,
[править] Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).Производная функцииfв точкеx0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функцияfявляется дифференцируемой в точкеx0тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в x0функцииfв окрестностиU(x0) справедливо представление
при
18Правила дифференцирования
При дифференцировании константу можно выносить за производную: Правило дифференцирования суммы функций: Правило дифференцирования разности функций: Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): Правило дифференцирования частного функций: Правило дифференцирования функции в степени другой функции: Правило дифференцирования сложной функции: Правило логарифма при дифференцировании функции:
19Производная обратной функции
Пусть f : [a, b] → [c, d] непрерывная, строго монотонная на интервале [a, b] функция, имеющая производную в точке х0 [a, b]. Тогда обратная функция g = f -1: [c, d] →[a, b] имеет производную в точке y0 = f(x0) интервала [c, d] равную
,
если f '(x0) ≠ 0. Если f '(x0) = 0, то g '(y0) = + ∞ (в случае, когда f возрастает), и g '(y0) = − ∞ (в случае, когда f убывает). Доказательство. Пусть f (x) возрастает на [a, b] и f '(x) ≠ 0. Тогда в окрестности точки y0 = f (x0) существует обратная функция g = f -1; она непрерывна и также возрастает на [c, d], в силу чего g (y) ≠ g(y0), если у ≠ у0. Таким образом,
20Правило диференц. Сложн. Функ.
2. Правила дифференцированияарифметических дсйствий сложной функции.
Предположим, что f(x) и g(x) — две дифференцируемые функции в некотором промежутке.
Имеют место равенства (аргумент х опускаем):
производная сложной функции.
Существование производной f'(x0) равносильно существованию касательной t к графику функции f(x) в точке A(x0,у0), где
выражает ее угловой коэффициент. Уравнение t имеет вид
(t) : у = y0+ k(x - x0), k = f'(x0)
3. Если S = S(t) —путь, пройденный материальной точкой М за время t, то
- мгновенная скорость М в момент времени t.