- •1.Матрица.Транспонированная матрица.Сложение и умножение на число.
- •2Отрицательная матрица
- •3Элементарные преобразования матрицы.Вырожденные и невырожденные.
- •4 Минора и алгеброические дополнения
- •6 Обратная матрица
- •7Ранг матрицы
- •Связанные определения
- •8Системы линейных уравнений
- •9Система линейных уравнений решение методом гаусса
- •10Решение системы с помощью обратной матрицы
- •11Кривые второго порядка
- •12Окружность
- •13Элиппс
- •14Гипербола
- •15Парабола
- •17Дифференци́рованием.
- •[Править] Определение производной функции через предел
- •18Правила дифференцирования
- •19Производная обратной функции
- •20Правило диференц. Сложн. Функ.
- •21И22 на листке.
- •23Производные от обратных тригонометрических функций
- •24Дифференциал
- •25Производные и дифференциалы высших порядков
- •26Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •27Теорема Ферма
- •28И29Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •30Тейлора формула
- •31Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •32Точки экстремума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточное условие экстремума
- •Общий план исследования функции и построения графика.
- •35Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
- •36Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •37Интегрирование рациональных выражений
- •38Эйлера подстановки
- •39Определения
- •41Определения
- •Стандартная модель
- •Матричная модель
- •Замечания
- •Модуль и аргумент
- •Сопряжённые числа
- •Алгебраическая форма
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •42Геометрическая интерпретация комплексного числа
2Отрицательная матрица
Эрмитова матрица M размерности будет называться отрицательно определённой, если
для всех ненулевых (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых ).
M будет называться положительно полуопределённой, если
для всех (или, эквивалентным образом, для всех ).
M будет называться отрицательно полуопределённой, если
для всех (или, эквивалентным образом, для всех ).
Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны.
Матрица M будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.
Для любой матрицы A выполняется следующее: A * A — положительно полуопределённая, а . Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица M может быть выражена как M = A * A (разложение Холецкого).
Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.
3Элементарные преобразования матрицы.Вырожденные и невырожденные.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование;
Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.
С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).
Вы́рожденнойилисингуля́рнойназывают квадратнуюматрицу,определителькоторой равен нулю.
Эквивалентные условия вырожденности
Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности:
Строки или столбцы матрицы линейно зависимы.
Квадратная матрица A вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор x, такой, что Ax = 0. Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро.
Свойства
У матрицы нет стандартной обратной матрицы, но есть обобщённая обратная матрица (или их бесконечное количество
4 Минора и алгеброические дополнения
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Пример 1. Составить минор , полученную из исходной матрицы:
Решение:
.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:
то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.
Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы
Решение:
5ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, ДЕТЕРМИНАНТ[determinant] — число, соответствующееквадратной матрицеи полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицыA): detA.Напр., определитель (второго порядка) матрицы
обозначается
и вычисляется следующим образом:
det A=a11a22—a12a21.
В общем случае (для квадратной матрицы порядка n) изэлементовматрицыAсначала составляют все возможные произведения изnсомножителей каждое, содержащие по одному элементу из каждой строки и по одному элементу из каждого столбца, затем эти произведения складываются по определенному правилу.
Определитель матрицы, в которой вычеркнуты произвольная строка (напр. i-я), и произвольный столбец (напр.j-й), называетсяминором.Он имеет (n– 1)-й порядок, т. е. порядок на 1 меньше, нежели исходный определитель.
Определители используются при обращении матриц(см. такжеАлгебраическое дополнение), при решениисистем линейных уравнений, в частности при решении задачмежотраслевого баланса.