- •1.Матрица.Транспонированная матрица.Сложение и умножение на число.
- •2Отрицательная матрица
- •3Элементарные преобразования матрицы.Вырожденные и невырожденные.
- •4 Минора и алгеброические дополнения
- •6 Обратная матрица
- •7Ранг матрицы
- •Связанные определения
- •8Системы линейных уравнений
- •9Система линейных уравнений решение методом гаусса
- •10Решение системы с помощью обратной матрицы
- •11Кривые второго порядка
- •12Окружность
- •13Элиппс
- •14Гипербола
- •15Парабола
- •17Дифференци́рованием.
- •[Править] Определение производной функции через предел
- •18Правила дифференцирования
- •19Производная обратной функции
- •20Правило диференц. Сложн. Функ.
- •21И22 на листке.
- •23Производные от обратных тригонометрических функций
- •24Дифференциал
- •25Производные и дифференциалы высших порядков
- •26Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •27Теорема Ферма
- •28И29Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •30Тейлора формула
- •31Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •32Точки экстремума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточное условие экстремума
- •Общий план исследования функции и построения графика.
- •35Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
- •36Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •37Интегрирование рациональных выражений
- •38Эйлера подстановки
- •39Определения
- •41Определения
- •Стандартная модель
- •Матричная модель
- •Замечания
- •Модуль и аргумент
- •Сопряжённые числа
- •Алгебраическая форма
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •42Геометрическая интерпретация комплексного числа
Модуль и аргумент
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-векторасоответствующей точкикомплексной плоскости(или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль комплексного числа zобозначается |z| и определяется выражением. Часто обозначается буквамиили. Еслиzявляетсявещественным числом, то |z| совпадает сабсолютной величинойэтого вещественного числа.
Для любых имеют место следующие свойства модуля. :
1) , причёмтогда и только тогда, когда;;
2) (неравенство треугольника);
3) ;
4) .
Из третьего свойства следует , где. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерногонормированного пространстванад полем.
5) Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности | z1 − z2 | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Угол (в радианах)радиус-вектораточки, соответствующей числуz, называетсяаргументомчислаzи обозначается.
Из этого определения следует, что ;;.
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение , что. Часто главное значение обозначается[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .
Сопряжённые числа
Геометрическое представление сопряжённых чисел
Если комплексное число z=x+iy, то числоназываетсясопряжённым(или комплексно сопряжённым) кz(обозначается такжеz*). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
(сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
Обобщение: , гдеp(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.
Алгебраическая форма
Запись комплексного числа zв видеx+iy,, называетсяалгебраической формойкомплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2= − 1):
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);
Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную xи мнимуюyчасти комплексного числа выразить через модульr= |z| и аргумент(x=rcos φ,y=rsin φ), то всякое комплексное числоz, кроме нуля, можно записать втригонометрической форме
z = r(cos φ + isin φ).
Также может быть полезна показательнаяформа записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической черезформулу Эйлера:
z = reiφ,
где eiφ— расширениеэкспонентыдля случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
42Геометрическая интерпретация комплексного числа
Всякое комплексное число z= (x,y) можно изобразить как точку на плоскости с координатамиxиy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называетсякомплексной плоскостью, при этом осьOxназываетсядействительной, аOy-мнимой.
Расстояние rточкиzот нулевой точки, т. е. число
называется модулемкомплексного числаzи обозначается символом |z|.
Число
называем аргументомкомплексного числаzи обозначаем символомθ= argz. При заданномrуглы, отличающиеся на, соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываемназываемглавным значениемаргумента.
Числа rиθназываютполярными координатамикомплексного числаz. В этом случае
z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)
называется тригонометрической формойкомплексного числа.
Если z1= (r1cosθ1,r1sinθ1),z2= (r2cosθ2,r2sinθ2), то
z1z2 = (r1r2 cos(θ1 + θ2), r1r2 sin(θ1 + θ2)),
Для n-й степени числаz= (rcosθ,rsinθ) формула приобретает видzn= (rncosnθ,rnsinnθ).
При r= 1 соотношение приобретает видzn= (cosnθ, sinnθ) и называетсяформулой Муавра.
Корень n-й степени из комплексного числаzимеетnразличных значений, которые находятся по формуле
(1)
Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть . Положим,. Из рисунка 17.4 очевидно, чтоТогда. Это выражение запишем в виде( 17 .8) Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виденазывают иногда алгебраической формой комплексного числа. Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы ( 17.8 ) можно было бы просто записывать пару, но запись ( 17.8 ) принята в силу традиции. Замечание 17 . 3 При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значенияи, иначе мы потеряем явное указание аргументаи снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если уголполучился отрицательным, то знак "" НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса. Пример 17 . 5 Запишите в тригонометрической форме числа,,,. Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:Пусть,. Найдем произведение:Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. ПоэтомуПоследняя запись является тригонометрической формой комплексного числа. Значит,иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются . Аналогично можно доказать, чтоиными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются . Несложно проверить, что если, тоИспользуя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень, где-- натуральное число. Пусть. Тогдато естьДалее находимто естьПродолжая умножения дальше, придем к формуле( 17 .9) Эта формула называется формулой Муавра . Пример 17 . 6 Вычислите, если. Решение. Находим тригонометрическую форму числа:По формуле МуавраПереходим к алгебраической форме, вычисляя косинус и синус:. Ответ:.