- •1.Матрица.Транспонированная матрица.Сложение и умножение на число.
- •2Отрицательная матрица
- •3Элементарные преобразования матрицы.Вырожденные и невырожденные.
- •4 Минора и алгеброические дополнения
- •6 Обратная матрица
- •7Ранг матрицы
- •Связанные определения
- •8Системы линейных уравнений
- •9Система линейных уравнений решение методом гаусса
- •10Решение системы с помощью обратной матрицы
- •11Кривые второго порядка
- •12Окружность
- •13Элиппс
- •14Гипербола
- •15Парабола
- •17Дифференци́рованием.
- •[Править] Определение производной функции через предел
- •18Правила дифференцирования
- •19Производная обратной функции
- •20Правило диференц. Сложн. Функ.
- •21И22 на листке.
- •23Производные от обратных тригонометрических функций
- •24Дифференциал
- •25Производные и дифференциалы высших порядков
- •26Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •27Теорема Ферма
- •28И29Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •30Тейлора формула
- •31Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •32Точки экстремума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточное условие экстремума
- •Общий план исследования функции и построения графика.
- •35Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
- •36Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •37Интегрирование рациональных выражений
- •38Эйлера подстановки
- •39Определения
- •41Определения
- •Стандартная модель
- •Матричная модель
- •Замечания
- •Модуль и аргумент
- •Сопряжённые числа
- •Алгебраическая форма
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •42Геометрическая интерпретация комплексного числа
6 Обратная матрица
Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если . Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено). Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны. Предложение 14 . 20 Если матрица имеет обратную, то и . Доказательство . Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7 ), то . По следствию 14.1 , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также . Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения. Определение 14 . 9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если . Предложение 14 . 21 Если обратная матрица существует, то она единственна. Доказательство . Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда и Следовательно, . Предложение 14 . 22 Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и ( 14 .14) где -- алгебраические дополнения к элементам . Доказательство . Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства ( 14.14 ) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства ( 14.14 ) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично. Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что : Если , то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть при . Если , то Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке ( предложение 14.16 ). Таким образом, Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть . Результаты предложений 14.20 , 14.21 , 14.22 соберем в одну теорему. Теорема 14 . 1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула ( 14.14 ). Замечание 14 . 12 Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй -- номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение. Пример 14 . 7 Найдите обратную матрицу для матрицы . Решение. Находим определитель Так как , то матрица -- невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения: Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке: ( 14 .15) Полученная матрица и служит ответом к задаче. Замечание 14 . 13 В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так: ( 14 .16) Однако запись ( 14.15 ) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде ( 14.15 ) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы -- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди. Замечание 14 . 14 При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку. Пример 14 . 8 Найдите обратную матрицу для матрицы . Решение. -- существует. Ответ: . Нахождение обратной матрицы по формуле ( 14.14 ) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.