МЕХ_МКТ_методичка

81

Математический маятник совершает колебания в вертикальной плоскости под действием возвращающей силы F= mgsinβ0 (рис.9.1).

Рис. 9.1

Если маятник отклонить от положения равновесия на угол β0 (или поднять на высоту h), то скорость шарика в нижней точке траектории можно оценить по закону сохранения энергии mgh = m v02 / 2 . С учётом h = l

– l cosβ0 = l(1 – cosβ0) = 2lsin2β0/2 (рис.9.1) получаем

Исследуемый крутильный маятник представляет собой два металлических стержня, сцеплённых между собой так, чтобы угол между ними был равен 90° ( рис.9.2). На концах горизонтального стержня укреплены два диска, расположенные в вертикальной плоскости.

Выведенный из положения равновесия шарик ударяется о диск Д2, приводя крутильный маятник в колебание. После соударения о диск скорость шарика становится равна

где βк - угол отклонения математического маятника после удара.

82

Для системы «крутильный маятник – математический маятник» применим закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси ОО1.

До удара момент импульса системы равен моменту импульса математического маятника относительно оси вращения ОО1 L0=mv0r, где r

– расстояние от оси крутильного маятника до точки удара шарика о диск; v0 – скорость шарика перед ударом; m – масса шарика.

После соударения момента импульса шарика относительно оси L =

– mvк r , где vк – скорость шарика после удара. Момент импульса крутильного маятника относительно оси сразу после соударения, с учетом

(9.5) равен:

Lкр = Iωmax = I 2πϕ0 / T0 ,

Таким образом, закон сохранения момента импульса системы запишется:

mv0r = – mvк r + I

Найдем из этого равенства момент инерции крутильного маятника:

I= mr(v0 + vk )T0

2πϕ0

Подставив в это выражение (9.6) и (9.7), получим:

Это соотношение является рабочим для расчёта момента инерции крутильного маятника. (При расчётах ϕ0 выразить в радианах).

Масса шарика m, длина подвеса l и расстояние r от оси крутильного шарика до точки соприкосновения с шариком при ударе указаны на установке.

83

Описание экспериментальной установки

Рис. 9.2

Крутильный маятник состоит из двух взаимно перпендикулярных стержней. Вертикальный стержень с двух сторон жестко соединён с упругой вертикальной нитью, модуль кручения которой нужно определить.

На горизонтальном стержне, кроме дисков Д имеются цилиндры С,

положение которых можно менять, передвигая их вдоль стержня.

Изменение положений цилиндров С относительно оси вращения крутильного маятника приводит к изменению момента инерции всей системы. К центру горизонтального стержня прикреплён указатель К1, при помощи которого можно измерять углы поворота ϕ крутильного маятника.

Указатель К1 перемещается по шкале Ш1, проградуированной в градусах

(рис.9.2).

Математический маятник представляет собой маятник известной массы m, подвешенный на лёгком стержне длиной l. С шариком скреплён указатель К2, перемещающийся по вертикальной шкале Ш2. Шкала Ш2

84

разделена на градусы, по ней определяются углы отклонения шарика от положения равновесия β0 и βк .

Крутильный и математический маятники расположены так, чтобы выведенный из положения равновесия шарик ударялся о диск крутильного маятника в момент, когда скорость шарика направлена горизонтально.

Порядок выполнения работы

1.Проверить, что указатели углов К1 и К2 находятся на нулевом

делении.

2.Цилиндры С разместить вплотную к дискам Д1 и Д2 и закрепить

их.

3.Отклонить математический маятник на угол β0 в диапазоне 15°

–20° и отпустить его. Сразу же после удара о диск Д2 отвести горизонтальный стержень крутильного маятника в сторону для того, чтобы диск Д2 не мешал шарику совершать свободные колебания. По шкале Ш2

измерить амплитудное значение угла βк . Опыт повторяют пять раз с одним и тем же значением β0 .

4.Отклонить шарик математического маятника на тот же угол β0 .

Сразу же после удара о диск Д2 поймать шарик и удерживать его в этом положении. По шкале Ш1 измеряют максимальные углы отклонения ϕ

85

Iср=………..

5.Лёгким толчком по диску Д2 привести крутильный маятник в движение. Измерить по секундомеру время десяти полных качаний маятника и вычислить период собственных колебаний T0 = ti/10.

6.Для каждого из пяти значений βк и ϕ0 по формуле (9.8)

рассчитать значение момента инерции Ii. Значение момента инерции

усреднить.

7.По среднему значению момента инерции Iср, пользуясь формулой (9.4), определить модуль кручения нити k.

8.Цилиндры С переместить вплотную к вертикальному стержню крутильного маятника. Повторить п.п. 2-7. Данные занести в таблицу,

аналогичную табл. 9.1.

9. Подсчитать погрешность полученных значений моментов инерции как погрешность прямых изменений. Погрешность измерения модуля кручения подсчитать по правилам оценки погрешности косвенных измерений.

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение момента инерции и момента импульса материальной точки и твёрдого тела.

2.От чего зависит момент инерции абсолютно твёрдого тела?

3.Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

4.Запишите законы сохранения для абсолютно упругого соударения для системы «крутильный маятник – математический маятник».

5.От чего зависит модуль кручения?

Литература: [1, § 13, 28, 31, 32]; [2, § 33-36, 46, 79]; [4, § 4.1-4.3, 27.1, 27.2]; [5].

88

Стоячие волны возникают в результате интерференции двух одинаковых бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу.

Такие волны чаще всего образуются при наложении волн, падающих на какое-нибудь препятствие, и волн, отраженных от него.

где у – смещение точки, совершающей колебания от положений равновесия; х – координата этой точки вдоль оси, по которой распространяются прямая и обратная волны. За начало отсчета значений х принимается любая точка оси, в которой фазы колебания прямой и обратной волн одинаковы; время t отмечается от момента, при котором смещение точек от положения равновесия у = 0; ω – циклическая частота;

λ – длина волны; А – амплитуда прямой и обратной волн. Амплитуда колебаний в случае стоячей волны оказывается функцией значения х и по абсолютной величине равна

стоячей волны; точки, в которых амплитуда равна нулю – узлами стоячей волны. Из выражения (10.4) видно, что значения координат х узлов стоячей волны находятся из условия

узлами хуз(k+1) - хуз(k) = λ/2. Значения координат пучностей хпучн стоячей волны находятся из условия

2π xпучн = kπ ,

λ

хпучн(k) = λ/2. Расстояние между соседним узлом и пучностью составляет

λ/4.

Если вдоль столба воздуха, в котором установилась стоячая волна,

перемещать «зонд», регистрирующий интенсивность звука (и,

соответственно, воспринимаемую громкость), относительно узлов и пучностей, то в случае, когда он оказывается в узле, интенсивность звука минимальна, а когда он находится в пучности – максимальна. В работе это достигается следующим образом.

Источник звука – микрофон, питаемый от звукового генератора ЗГ и

«зонд» – входное отверстие резиновой трубки (рис. 10.1) расположены на верхнем конце вертикальной трубы в одной плоскости. В эту трубу снизу нагнетается вода и, таким образом, обеспечивается переменная высота столба воздуха между плоскостью, содержащей источник звука и «зонд», и

уровнем столба воды. Звуковая волна, идущая от источника, и звуковая волна, отраженная от поверхности столба воды, интерферируя, образуют стоячую волну. Амплитуда колебаний в различных точках стоячей волны различна и достигает максимального значения в пучностях и минимального значения в узлах (на поверхности столба при любой высоте его имеет место узел стоячей волны). При таких значениях высоты столба воздуха, при которых в плоскости «зонда» оказывается пучность или узел,

интенсивность звука, соответственно, максимальна или минимальна.

Таким образом, изменяя высоту столба воды и тем самым высоту столба воздуха, можно зарегистрировать разность l высот столбов воздуха,

соответствующих двум соседним максимумам или двум минимумам интенсивности звука. Эта разность равна половине длины волны. Искомая длина волны