МЕХ_МКТ_методичка
.pdf91
3.Медленно нагнетая воду в трубу 1 с помощью резиновой груши
4, через наушники громкости звука будут чередоваться максимумы и минимумы воспринимаемой громкости звука. Измерить высоты уровня столба воды hi, соответствующие последующим максимумам воспринимаемой громкости. По длине трубы снять 5 точек максимальной громкости.
(При измерениях не следует выходить за пределы интервала
70—10).
Полученные отсчеты (hi) по шкале трубы при движении уровня воды снизу вверх заносят в таблицу 10.1. Затем, дождавшись, когда уровень воды опустится до исходного деления шкалы, повторить опыт 5 раз.
4.Найти среднее значение hi ср по каждой строке.
5. 5. Вычислить значение l – расстояние между соседними пучностями l = h(i+1) ср – h i ср, результаты вычислений занести в таблицу.
6.Для каждого значения l найти длину волны λ, по формуле (10.5)
искорость распространения звука в воздухе v по формуле (10.6).
Полученные значения занести в таблицу.
7.Измерить температуру по термометру, укрепленному на штативе установки.
8.Вычислить по формуле (10.3) значение показателя адиабаты γ для каждого значения скорости.
9.Найти среднее значение показателя адиабаты γср. Оценить погрешность полученного результата, применяя погрешность прямых измерений.
Таблица 10.1
№ |
h i |
|
|
h i, |
м |
|
|
h i ср, |
l, м |
λ, м |
v, м/с |
γ |
п/п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
м |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
h 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
h 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92
3h 3
4h 4
5h 5
Контрольные вопросы
1.Что называется теплоемкостью тела? Почему теплоемкость газа при постоянном объеме СV не равна теплоемкости газа при постоянном давлении СР?
2.Дать определение молярной теплоёмкости газа.
3.Дать определение политропного процесса. Чему равен показатель политропы в изотермическом, адиабатическом, изохорическом
иизотермическом процессах?
Литература: [1, § 69, 70, 72]; [3, § 20, 21, 23]; [4, § 9.5, 9.6 ]; [5].
93
Лабораторная работа №11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ГАЗА ПРИ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ К ЕГО ТЕПЛОЕМКОСТИ ПРИ
ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ ПО АДИАБАТНОМУ РАСШИРЕНИЮ ГАЗА
Цель работы – определение коэффициента Пуассона методом
Клемана и Дезорма.
Приборы и принадлежности: стеклянный баллон, U-образный жидкостной манометр, ручной нагнетательный насос.
Краткие сведения из теории
Рассмотрим изменение состояния идеального газа при его
адиабатном расширении и выясним смысл коэффициента адиабаты.
Изменение состояния системы тел связано с изменением ее параметров.
Внутренней энергией системы тел U называется сумма потенциальных энергий взаимодействия и кинетических энергий микрочастиц этой системы. Для идеального газа – это только кинетическая энергия частиц
U = m i RT =ν i RT |
|
μ 2 |
2 |
где m - масса газа; µ – молярная масса вещества; ν = m/µ – число молей газа; R = 8,314 Дж/моль·К – универсальная газовая постоянная; i
– сумма числа поступательных (iпост), |
вращательных (iвр) |
и удвоенного |
числа колебательных степеней свободы (iкол) молекул: |
|
|
i = iпост + iвр + 2 iкол |
|
|
В дальнейших рассуждениях |
мы будем |
пренебрегать |
колебательными степенями свободы, ограничиваясь рассмотрением молекул только с жёсткой связью. Таким образом, для одноатомных
94
молекул i = iпост = 3, для двухатомных жёстких молекул i = iпост + iвр = 3+2 = 5.
При нагревании определенной массы идеального газа на dТ градусов изменение ее внутренней энергии равно:
dU = |
m |
|
i |
RdT . |
(11.1) |
|
|
||||
|
μ 2 |
|
|||
При циклическом (круговом) процессе система в результате всех изменений возвращается в исходное состояние (Т1=Т2). Внутренняя энергия в результате кругового процесса примет первоначальное значение. Следовательно,
T2 |
|
i |
|
|
∫ dU = ∫ |
ν |
RdT = 0 . |
||
|
||||
T1 |
2 |
|
||
|
|
|
||
Дифференциал функции, удовлетворяющий такому тождеству,
является полным дифференциалом, а сама функция - функцией состояния.
Следовательно, внутренняя энергия U является функцией состояния.
Элементарная работа газа в термодинамике определяется как
δA = pdV. (11.2)
Тогда работа газа при переходе из состояния 1 в состояние 2:
V2
A = ∫ pdV
V1
Внутреннюю энергию системы можно изменить, либо совершив работу, либо в процессе теплообмена. Или, иначе, количество теплоты δQ ,
сообщённой системе в процессе теплообмена, идёт на изменение её внутренней энергии dU и на совершение системной работы δA против внешних сил:
δQ = dU + δA. |
(11.3) |
Этот закон сохранения и превращения энергии есть первое начало термодинамики. δA и δQ не являются полными дифференциалами, чем и вызвано различие в написании δA, δQ и dU.
95
Количество теплоты δQ представляет собой энергию, которая
передаётся от одного тела к другому при их контакте или путём излучения.
После подстановки (11.1) и (11.2) в уравнение (11.3), имеем:
δQ = ν(i /2)RdT + pdV |
(11.4) |
Количество теплоты, необходимое для нагревания газа, зависит от количества нагреваемого газа и от того, на сколько градусов изменяется его температура. Чем больше то и другое, тем больше необходимое количество теплоты. Поэтому для характеристики тепловых свойств тел
используют теплоёмкость.
Теплоёмкостью вещества (тела), имеющего массу m, называется
величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить телу,
чтобы повысить его температуру на один Кельвин.
Величина Cтела = δQ /dT есть теплоёмкость данного тела.
Теплоёмкость единицы |
|
массы вещества |
– |
удельная теплоемкость, |
||||||
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = |
1 |
× δQ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
m dT |
|
|
|
Теплоёмкость одного |
|
|
|
моля вещества |
– |
молярная теплоёмкость, |
||||
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
δ Q |
|
|
|
|
||
C = |
|
|
|
× |
|
= µc. |
|
|
|
(11.5) |
ν |
dT |
|
|
|
||||||
У газов различают теплоёмкости при постоянном объёме и |
||||||||||
постоянном давлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Молярную теплоёмкость при |
постоянном объёме (изохорный |
|||||||||
процесс, V = const, dV=0) обозначим CV. Подставив в (11.5) выражение
(11.4), получим
CV = (i/2)R . |
(11.6) |
Аналогично вычислим молярную теплоёмкость при постоянном |
|
давлении (изобарный процесс, p = const) |
– Cp, предварительно рассчитав |
pdV. |
|
96
Для изобарного процесса из уравнения Клапейрона-Менделеева имеем
pdV = νRdT. |
(11.7) |
Следовательно, из формулы (11.5), с учетом (11.4) и (11.7) получим |
|
Cp = ( i / 2)R + R. |
(11.8) |
Сопоставляя уравнения (11.6) и (11.8), получим уравнение Роберта |
|
Майера: |
|
Cp = CV + R. |
|
Выразим отношение Cp / CV, которое называется коэффициентом |
|
Пуассона |
|
γ = Cp / CV = (i + 2)/i. |
(11.9) |
Например, для идеального газа, состоящего из |
одноатомных |
молекул, i = 3 и γ = 5/3 = 1,66; для газа из двухатомных жёстких молекул i
= 5 и γ = 7/5 = 1,4.
Адиабатным процессом называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой ( δQ =0). При этом первое начало термодинамики примет вид
pdV = − m i RdT .
μ 2
Газ при адиабатном расширении и сжатии совершает работу за счёт внутренней энергии. Следовательно, при расширении газ охлаждается, а
при сжатии нагревается.
Соотношение между давлением и объёмом идеального газа при адиабатном процессе представляет уравнение Пуассона или уравнение адиабаты,
pV γ = const. |
(11.10) |
Так как γ > 1, то кривая p=f(V) адиабаты круче |
изотермы (pV = |
const), (рис.11.1). |
|
97
Р
Адиабата
Изотерма
V
Рис. 11.1
Более крутое падение давления с увеличением объёма при адиабатном процессе объясняется тем, что при адиабатном расширении идеального газа его давление уменьшается не только за счёт увеличения объёма, но и вследствие происходящего при этом понижения температуры газа. Чем меньше коэффициент Пуассона γ, тем адиабата ближе к изотерме. В пределе, когда γ стремится к единице, адиабата переходит в изотерму. Рассмотренные выше изотермический и адиабатный процессы являются идеализированными.
В частности, для обеспечения адиабатности процесса необходима либо хорошая теплоизоляция системы, либо достаточно быстрое протекание процесса так, чтобы не успел произойти теплообмен с окружающей средой. Оба эти процесса можно рассматривать как частные случаи более общего процесса, называемого политропическим, при котором теплоёмкость остаётся постоянной.
Уравнение политропы имеет вид pVn = const. Показатель политропы n в этом уравнении равен:
(C – C P)/(C – C V) = n.
Для адиабатного процесса C = 0 ( δQ = 0), показатель n = Cp/CV = γ.
Для изотермического процесса C = ∞ (dT = 0), n = 1.
98
Описание экспериментальной установки и вывод рабочей формулы
Для определения величины γ = Cp/CV в работе применяется метод Клемана и Дезорма. Измерительная установка (рис.11.2) состоит из баллона 1 с воздухом, открытого жидкостного манометра 2, ручного нагнетательного насоса 3. Баллон закрыт пробкой 4, сквозь которую проходит трубка 5 с двумя отводами. Один отвод соединяет баллон с манометром, другой - через кран 6 с насосом. Трубка 5 закрыта пробкой 7.
Рис. 11.2.
Метод измерения заключается в следующем. В сосуд, закрытый пробкой, но при открытом кране нагнетается насосом некоторое количество воздуха. Вследствие этого давление в сосуде повышается до величины p1, а избыток его над атмосферным измеряется с помощью манометра. Воздух в сосуде примет температуру окружающей среды
(комнатную) Т1. Далее, на короткое время открываем сосуд путём извлечения пробки. Практически сразу давление в сосуде станет равным атмосферному p2, так как отверстие, соединяющее баллон с атмосферой,
имеет большой размер. Процесс происходит быстро, воздух имеет малую теплопроводность, поэтому процесс расширения можно считать
99
адиабатным. Температура газа Т2 оказывается несколько ниже комнатной температуры Т1, так как работа расширения при адиабатном процессе совершается за счёт внутренней энергии газа.
Адиабатический переход газа из первого состояния во второе подчинён уравнению
(P1/P2)γ-1=(T1/T2)γ. (11.11)
Это уравнение получается из уравнения Пуассона (11.10), если объем
выразить из уравнения Клапейрона-Менделеева. Исследование адиабатического расширения газа удобно произвести в переменных p и T,
потому что процесс происходит при переменной массе газа, оставшегося в
баллоне. Изменение массы газа в таком случае не сказывается на
вычислениях. После того, как закроем пробку 7, происходит медленное
изохорное нагревание газа со скоростью, определяемой
теплопроводностью стенок баллона. Через некоторое время температура газа Т3 становится равной комнатной температуре Т1 (Т3=Т1). Вместе с ростом температуры растёт и давление газа до величины p3. Избыток этого давления над атмосферным измеряется манометром.
Процесс выравнивания температуры при закрытой пробке
подчиняется закону Гей – Люссака: |
|
|
||
p2/T2 = p3/T3 = p3/T1 или |
T1/T2 = p3/ p2 . |
(11.12) |
||
Заменив в формуле (11.11) отношение температур отношением |
||||
давлений из формулы (11.12), найдём |
|
|
||
|
(p3 /p2)γ = (p1 /p2)γ-1 . |
|
||
Логарифмируя последнее выражение, находим |
|
|||
γ = |
ln p1 |
− ln p2 |
(11.13) |
|
ln p1 |
− ln p3 |
|
||
|
|
|
||
Обозначим разность уровней жидкости в манометре в первом состоянии через h1, во втором состоянии – через h2, тогда p1= p2+ρgh1, p3= p2+ρgh2 (ρ – плотность жидкости в манометре).
100
Подставим эти выражения в (11.13):
γ |
= |
|
|
|
ln( p2 + ρgh1 ) − ln p2 |
|
|
(11.14) |
|||||||
|
ln( p2 |
+ ρgh1 ) − ln( p2 |
+ ρgh2 ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В нашем случае давления p1 и p3 мало отличаются от атмосферного |
|||||||||||||||
давления p2, т.е. ρgh1 << p2, |
|
|
ρgh2 |
|
<< p2. Разложим логарифмы в ряд, |
||||||||||
пренебрегая членами второго порядка малости: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ρgh |
|
|
ρgh |
|
|
ρgh |
||||
ln( p2 + ρgh1 ) = ln p2 |
(1+ |
|
|
1 |
) = ln p2 + ln(1 |
+ |
1 |
) |
≈ ln p2 |
+ |
1 |
|
|||
p2 |
|
|
p2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|||||
ln( p2 + ρgh2 ) ≈ ln p2 |
+ |
ρgh2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив эти соотношения в формулу (11.14), получим расчётную формулу для нашего опыта
γ = Cp/CV = h1/(h1 –h 2). |
(11.15) |
Следует подчеркнуть, что обе величины |
должны измеряться в |
состоянии термодинамического равновесия, т.е. после прекращения теплообмена.
Порядок выполнения работы
1. Открыть кран 6 (при этом пробка 7 вставлена) и с помощью ручного насоса нагнетать в баллон воздух до тех пор, пока разность уровней в коленах манометра не станет равной 10-15 см. Пробку,
вставленную в горловину баллона, не вынимать.
2.Закрыть кран 6 и выждать, пока температура внутри баллона станет равна температуре окружающей среды, т.е. пока разность уровней жидкости в манометре перестанет изменяться.
3.Отсчитать разность уровней манометра h1 (отсчёт производят по нижним краям менисков).
4.С помощью пробки 7 быстро открыть и закрыть баллон.