МЕХ_МКТ_методичка

41

Вывод рабочей формулы для экспериментального определения момента инерции.

R

r

T1

r

T

r mg

Рис. 4.1

При экспериментальном определении момента инерции

используется маятник Обербека, который представляет собой крестовину с четырьмя закрепленными на ней на одинаковых расстояниях от оси одинаковыми грузами. На ось крестовины насажен двухступенчатый шкив,

на который намотана нить с подвешенным к ней грузом. При движении груза вниз шкив начинает вращаться. Для вывода рабочей формулы рассмотрим упрощенную схему установки, выделив систему связанных движущихся тел: поступательно движущийся груз и вращающийся шкив

(рис. 4.1). Поступательное движение груза описывается уравнением:

Вращательный момент шкива создает сила натяжения нити Т1,

которая по третьему закону Ньютона равна силе Т. Этот момент М = ТR.

Тогда уравнение вращательного движения шкива:

Если отсутствует проскальзывание нити, то тангенциальное ускорение элементов нити, вращающихся вместе со шкивом, равно

Линейное ускорение груза можно вычислить по измеренным высоте падения груза и времени его падения: h=at2/2.

Таким образом, получена рабочая формула для экспериментального определения момента инерции:

Вывод формулы для теоретического вычисления момента инерции.

Момент инерции является аддитивной величиной, то есть момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции всех тел, входящих в систему. Маятник Обербека состоит из шкива (включая ось и втулку крестовины), четырех стержней крестовины и грузов, укрепленных на крестовине. Момент инерции шкива указан на установке. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен m2lc2/3, где m2 − масса стержня без груза, lc − длина стержня крестовины − указаны на установке. Грузы, укрепленные на крестовине, приближенно можно считать за точечные массы. Тогда момент инерции каждого груза равен m1l2, где m1 − масса одного груза (указана на установке), l − расстояние от оси вращения до центра масс груза (измеряется при выполнении работы).

Теоретический момент инерции после суммирования вычисляется по

Описание экспериментальной установки

Рис. 4.2

Внешний вид установки представлен на рис.4.2. Регулировочные винты 1 обеспечивают горизонтальную установку основания 2, к которому крепится вертикальная колонка 3, на которой нанесена миллиметровая шкала. К этой колонке прикреплены неподвижный кронштейн 4 и верхний подвижный 5, с помощью которого можно регулировать длину пути груза h. Через диск 6 перекинута нить 7, один конец которой прикреплен к шкиву 8, а на втором конце закреплены грузы 9. Кронштейн 11 снабжен резиновым амортизатором для ограничения движения грузов. Включение прибора производится нажатием клавиши «сеть» 12, обнуление миллисекундомера производится клавишей «сброс» 13, клавиша «пуск» 14

включает миллисекундомер. Время падения груза высвечивается на индикаторе 15.

44

Порядок выполнения работы

1.Включить установку в сеть.

2.Убедиться, что к нити прикреплен только один груз.

3.Намотать нить на шкив 8, а второй конец с грузом перекинуть через диск 6. Груз поднять на высоту h. Нижний край груза должен совпадать с чертой на корпусе верхнего фотодатчика.

4.Нажать кнопку «пуск» и отпустить груз без толчка. При этом запускается миллисекундомер. Записать отсчет в таблицу 4.1.

5.Нажать кнопку «сброс» и проверить, произошло ли обнуление измерителя.

6.Повторить измерение пять раз, занося значения времени падения в таблицу 4.1.

7.Последовательно увеличивая массу падающего груза, повторить

п.п. 3-6.

8.Измерить высоту падения груза и длину стержня крестовины.

Занести измеренные значения в таблицу 4.2. В эту же таблицу занести

значения величин, указанные на установке.

Таблица 4.2

R

m1

m2

I0

45

lc

l

h

9.Вычислить среднее значение времени падения для каждой массы груза и занести в таблицу 4.1.

10.По формуле (4.4) рассчитать значение момента инерции при каждой массе падающего груза, используя среднее время падения, и

занести в таблицу 4.1. Ускорение свободного падения для Санкт-

Петербурга g = (9,82 ± 0,01) м/с2.

11.Рассчитать среднее значение момента инерции и оценить абсолютную и относительную погрешность его определения.

12.По формуле (4.5) вычислить теоретическое значение момента инерции маятника. Сравнить с экспериментально полученным.

13.По формуле ε = 2h2 вычислить угловое ускорение для каждого

Rt

груза. Вычисленные значения занести в таблицу 4.3.

момента для каждой массы груза. Вычисленные значения занести в таблицу 4.3.

15.По данным таблицы 4.3 построить график зависимости углового ускорения от вращающего момента: ε = ε(М).

16.Сделать вывод, подтверждает ли характер зависимости углового ускорения от вращающего момента основной закон динамики вращательного движения. Определить возможные причины отклонения от теоретической зависимости.

17.Определить по графику среднее значение момента инерции

46

маятника как котангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.

18. Записать окончательные результаты работы: экспериментально полученное значение момента инерции с погрешностью, теоретическое значение момента инерции и величину момента инерции, вычисленную по графику зависимости ε = ε(М).

Контрольные вопросы

1.Дать определение момента силы относительно точки и относительно оси.

2.Дать определение момента импульса материальной точки относительно точки и относительно оси.

3.Чему равен момент импульса твердого тела относительно оси?

4.Каков физический смысл момента инерции? Как вычислить момент инерции твердого тела?

5.Провести аналогию между характеристиками поступательного и вращательного движения.

6.Указать на чертеже направление момента силы натяжения нити,

действующей на шкив в данной работе.

Литература: [1, § 27, 31, 32]; [2, § 30, 33, 36]; [4, §4.1-4.3]; [5].

47

Лабораторная работа №5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ МОНТАЖНОГО ПАТРОНА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Цель работы − изучение законов сохранения на примере баллистического крутильного маятника.

Приборы и принадлежности: баллистический крутильный маятник,

пусковое пружинное устройство и комплект монтажных патронов, блок миллисекундомера.

Краткие сведения из теории

Крутильный маятник представляет собой массивный стержень,

жестко прикрепленный к вертикальной проволоке. На стержне имеются два неподвижных (на концах) и два подвижных груза. На один из неподвижных грузов нанесён слой пластилина. Подвижные грузы могут перемещаться вдоль стержня. Это дает возможность менять момент инерции маятника.

Крутильные колебания обусловлены упругими силами,

возникающими в проволоке при ее кручении. При этом период колебаний маятника

z

р

48

Рис. 5.1

где I – момент инерции маятника относительно оси z (рис.5.1), k –

крутильная жесткость проволоки. По теории упругой деформации

твердого тела для однородной проволоки длиной l круглого сечения

радиуса R крутильная жёсткость определяется соотношением k = πR4G / 2l ,

G – модуль сдвига материала проволоки. После попадания монтажного

патрона в один из неподвижных грузов маятника, последний вместе с патроном начинает вращаться вокруг вертикальной оси z. При этом момент кручения проволоки определяется, как M кр = −kϕ , а потенциальная энергия упруго деформированной проволоки

где ϕ − угол поворота маятника.

Удар патрона о маятник в данном случае является неупругим (так как патрон прилипает к пластилиновому слою). В этом случае механическая энергия в процессе удара не сохраняется. Однако если рассматривать систему маятник-пуля после удара, то можно говорить о законе сохранения механической энергии, т.е. при колебании маятника кинетическая энергия вращательного движения системы превращается в потенциальную энергию (5.2) упруго деформированной проволоки при

как момент инерции патрона относительно оси z много меньше момента инерции самого маятника, то в расчётах его величиной можно пренебречь.

Для определения угловой скорости, приобретенной системой в результате удара патрона, воспользуемся законом сохранения момента импульса. Данный закон относительно неподвижной оси справедлив в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна

49

нулю, что мы и наблюдаем при вращении системы относительно оси z:

проекция момента силы тяжести на ось z равна нулю. Следовательно,

момент импульса системы патрон-маятник относительно этой оси сохраняется, т.е. mvr = I ω (здесь т – масса патрона, v – скорость патрона).

Решая последнее уравнение совместно с (5.3), получим

Таким образом, измеряя угол поворота маятника ϕ и период его

колебаний T, можно вычислить скорость патрона. Остаётся, однако,

неизвестным момент инерции маятника, исключим эту величину,

используя особенности конструкции маятника. При перемещении

подвижных грузов по стержню маятника можно изменять его момент инерции. Рассмотрим два случая расположения грузов: на расстоянии r1 и r2 от оси вращения, им будут соответствовать моменты инерции вращения маятника – I1 и I2 соответственно. Если подвижные грузы максимально удалить друг от друга, то, применяя теорему Штейнера, момент инерции маятника относительно оси z примет вид

подвижных грузов. Если грузы разместить вплотную, то соответствующий момент инерции запишется аналогично

равенство отношений Т12/T22 =I1/I2, найдём выражение для нахождения I1

50

расположены на расстоянии r1 , выраженный в радианах.

Описание экспериментальной установки

Рис. 5.2

Общий вид баллистического маятника и лицевой панели миллисекундомера показан на рисунке 5.2. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, позволяющими выровнять прибор. В

основании закреплена колонка 3, на которой закреплены верхний 4,

нижний 5 и средний 6 кронштейны. К среднему кронштейну прикреплено пусковое устройство 7, а также прозрачный экран с нанесённой на него угловой шкалой 8 и фотоэлектрический датчик 9. Кронштейны 4 и 5

имеют зажимы для жёсткого крепления стальной проволоки 10, на которой подвешен маятник состоящий из двух стержней 13, на которых расположены два неподвижных 11 и два подвижных 12 грузов. К маятнику