МЕХ_МКТ_методичка
.pdf
61
1.По данным таблицы 6.1 рассчитать среднее значение времени десяти колебаний математического маятника.
2.Рассчитать среднее значение периода колебаний
математического маятника по формуле T = tcp , где n = 10. n
3. По формуле (6.9) вычислить значение ускорения свободного падения для широты С-Петербурга.
4. По данным таблицы 6.3 рассчитать средние значения 
tпр 
и
tобр 
.
5.Рассчитать средние значения периодов колебаний физического
маятника в |
прямом T ' |
и |
обратном T ' |
положениях по |
формулам |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
T ' = |
tпр |
, T '' = |
|
tобр |
, где n = 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
n |
0 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6. |
|
|
|
|
T = |
T ' + T |
'' |
|
|
|
|
По |
формуле |
0 0 |
|
найти |
среднее значение |
периода |
||||
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний физического маятника.
7.По формуле (6.10) рассчитать значение ускорения свободного
падения.
8.Рассчитать погрешность определения ускорения свободного падения как погрешность косвенного измерения.
9.Сравнить полученные значения с табличным значением
ускорения свободного падения для широты С-Петербурга (g0 = 9,82 м/с2).
Контрольные вопросы
1.Дать определения физического и математического маятников.
Вывести периоды их собственных незатухающих колебаний.
2.Что называется приведённой длиной физического маятника?
3.Как зависит величина ускорения свободного падения от широты местности?
Литература: [2, § 36, 39, 41]; [4, § 27.2 ]; [5].
62
Лабораторная работа №7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
Цель работы – вычисление момента инерции маятника Максвелла по измеренным кинематическим параметрам его движения и сравнение вычисленного значения с моментом инерции, полученным теоретическим расчетом. Проверка выполнения закона сохранения энергии.
Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, блок миллисекундомера со счетчиком импульсов.
Краткие сведения из теории
Маятник Максвелла представляет собой диск, плотно насаженный на ось. Ось подвешена к неподвижному штативу на двух симметрично закрепленных параллельных вертикальных нитях одинаковой длины.
Если нити намотать на ось и отпустить маятник, то под действием силы тяжести и силы натяжения нитей он движется вниз, одновременно вращаясь вокруг своей оси. В крайнем нижнем положении маятник продолжает вращаться по инерции, при этом нити опять наматываются на ось, но в направлении, противоположном первоначальному. Маятник,
вращаясь вокруг своей оси, движется вверх. Таким образом, ось маятника совершает колебания в вертикальной плоскости. Однако подробное изучение движения маятника именно как колебательного процесса выходит за рамки данной работы.
В этой лабораторной работе для измерений и расчетов используется лишь первая фаза колебания: от момента отпускания маятника в верхней точке до прохождения им крайнего положения.
63
Вывод рабочей формулы для экспериментального определения момента инерции маятника
Движение маятника Максвелла является плоским, т.е. таким движением, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Это движение можно представить как суперпозицию двух основных видов движения: поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращательного вокруг оси, проходящей
через центр |
инерции. |
Тогда |
движение маятника |
описывается |
двумя |
||||
уравнениями: |
r |
r |
|
масса маятника; a |
– ускорение |
||||
ma = F и |
Iε = M , где m – |
||||||||
поступательного движения центра инерции; |
F |
– |
равнодействующая |
||||||
всех сил, действующих на маятник; I – |
момент инерции маятника; ε – |
||||||||
угловое ускорение вращательного движения маятника; M |
– суммарный |
||||||||
момент всех внешних сил. Величины I, M, ε |
вычисляются относительно |
||||||||
оси OO1, проходящей |
через |
центр |
инерции |
(рис.7.1). |
При |
записи |
|||
уравнений предполагалось, что нить невесома и нерастяжима, а трение в точках подвеса пренебрежимо мало.
r |
r |
T |
T |
r mg
Рис. 7.1
Если первое из этих уравнений спроецировать на направление движения, а второе уравнение – на ось вращения, получим два скалярных уравнения: ma = mg – 2T, I ε = 2rT, где T – сила натяжения каждой нити, создающая вращающий момент. Если проскальзывание отсутствует, то линейное и угловое ускорение связаны соотношением: a
64
= ε r. Совместное решение этих трех уравнений дает возможность найти момент инерции маятника:
I = mr2(g/а – 1).
Расстояние от оси вращения до точки приложения силы натяжения r
= r1 + rнити, где r1 – радиус оси маятника.
Движение центра инерции маятника является поступательным и равноускоренным с нулевой начальной скоростью, следовательно: a =2h/t2,
где h – путь, который проходит центр инерции маятника за время t.
Окончательно рабочая формула для момента инерции маятника
имеет вид
|
|
|
|
2 |
|
|
I = m(r1 + rнити ) |
2 |
gt |
|
|
(7.1) |
|
|
|
|
|
-1 |
||
|
2h |
|||||
|
|
|
|
|
||
Кинетическая энергия в каждый момент времени при движении
маятника W = |
mV 2 |
+ |
Iω 2 |
. Учитывая, что ω = |
V |
|||||||
|
|
r |
||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2h2 |
|
|
I |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
+ m . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
W = |
t |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||
и V = 2h , получаем
t
(7.2)
Вывод теоретической формулы для расчета момента инерции маятника
Момент инерции маятника складывается из моментов инерции диска, насаженного на него кольца и момента инерции оси.
|
m R 2 |
||
Момент инерции диска I1 = |
1 1 |
, где m1, R1 − масса и радиус диска. |
|
2 |
|||
|
|
||
Вычислим теперь момент инерции кольца с внутренним радиусом
R1, внешним радиусом R2 и массой m2.
Момент инерции кольца можно найти как разность моментов инерции дисков радиусами R2 и R1, имеющими общую ось вращения:
|
|
|
M |
2 |
R 2 |
M R 2 |
, где М − |
масса большего диска, М − масса меньшего |
|
I |
|
= |
|
2 |
- |
1 1 |
|||
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
65
диска. Так как эти массы неизвестны, а известна только масса кольца,
введем поверхностную плотность массы (масса, приходящаяся на единицу
|
|
|
|
|
кольца): |
m = |
m |
2 |
|
. |
|
|
|
|
M = m π R2 = |
m R2 |
|
|||||||
поверхности |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
2 1 |
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
π (R 2 |
− R 2 ) |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
R2 |
− R2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
= m π R2 |
= |
m R2 |
. После подстановки I |
|
= |
m |
(R 2 |
+ R 2 ) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
M |
|
|
2 2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
R2 |
− R2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции диска не зависит от его толщины, |
|
поэтому для |
||||||||||||||||||||
цилиндрической оси момент инерции выражение для момента инерции
будет аналогичным: I |
|
= |
m |
(r 2 |
+ r 2 ) |
, |
где m , |
r |
, r |
− масса, внутренний и |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешний радиусы оси.
Суммируя, теоретическое значение момента инерции маятника вычисляется по формуле:
|
m R 2 |
m |
(R 2 |
+ R 2 ) |
|
m |
(r 2 |
+ r 2 ) |
|
|||
I = |
1 1 |
+ |
2 |
1 |
2 |
|
+ |
3 |
1 |
2 |
|
(7.3) |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Описание экспериментальной установки
Общий вид установки приведен на рис. 7.2, где 1 – основание
установки; 2 – несущая колонка, снабженная миллиметровой шкалой; 3
– неподвижный кронштейн, закрепленный так, |
чтобы в момент пуска |
||||||
маятник проходил отметку "0" на шкале; |
4, 9 |
– |
фотодатчики; 5 |
– |
|||
электромагнит, удерживающий маятник в верхнем положении |
и |
||||||
отключающийся в момент пуска; 6 |
– |
вороток |
для |
закрепления |
и |
||
регулирования длины нити маятника; |
7 |
– |
подвижный |
кронштейн |
с |
||
указателем 8, позволяющий устанавливать и измерять высоту падения маятника; 10 – маятник Максвелла; 11 – миллисекундомер,
соединенный с фотодатчиками 4 и 9 с электромагнитом.
На лицевой панели миллисекундомера имеются клавиши: «СЕТЬ»
– включение прибора, «СБРОС» – обнуление табло, «ПУСК» –
отключение электромагнита.
66
Рис. 7.2
Порядок выполнения работы
1.Включить установку в сеть. Проверить, высвечиваются ли нули на световом табло.
2.Нажать клавишу «ПУСК».
3.Проверить, что ось маятника параллельна основанию, а
внешний край диска маятника примерно на 2-3 мм ниже светового пятна
фотодатчика. |
Если |
эти |
требования |
не выполнены, |
установить |
необходимую длину |
нитей |
маятника |
с помощью воротка. Вороток |
||
освобождается и фиксируется в нужном положении поворотом его нижней гайки.
4.Отжать клавишу «ПУСК», т.е. включить электромагнит.
5.Равномерно намотать нити маятника на ось так, чтобы ось маятника все время перемещалась параллельно основанию до момента фиксации маятника электромагнитом.
67
6.Нажать клавишу «СБРОС», т.е. сбросить предыдущие показания.
7.Нажать клавишу «ПУСК». После прекращения счета времени остановить маятник. Записать время падения маятника в табл. 7.1.
|
|
|
|
Таблица 7.1 |
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
t, c |
|
tср, c |
tср – t, c |
(tср – t)2, c2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
Коэффициент Стьюдента tα (n)= ……… |
при α = ……. |
||||
Окончательно t = tcр ± |
t (с) |
|
|
||
8.Произвести измерения времени 10 раз.
9.Отключить установку от сети.
10.Измерить высоту падения маятника (расстояние между осями маятника в верхнем и нижнем положениях) по шкале на колонке прибора.
Оценить погрешность этого измерения. Результат занести в табл. 7.2.
11. Занести в табл. 7.2 все остальные параметры маятника,
указанные на установке.
Таблица 7.2
h ± h |
, м |
|
||
|
|
|
||
m ± m |
, г |
|
||
|
|
|
|
|
m1 ± |
|
m1, г |
|
|
|
|
|
|
|
m2 ± |
|
m2, г |
|
|
|
|
|
|
|
m3 ± |
|
m3, г |
|
|
|
|
|
||
rнити ± |
rнити, мм |
|
||
r1 |
± |
r1, мм |
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
± |
r2, мм |
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
± |
R1, мм |
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
± |
R2, мм |
|
|
|
|
|
|
|
Обработка результатов измерений
68
1.Вычислить среднее время падения маятника и занести его в
табл. 7.1.
2.Вычислить погрешность измерения времени падения, занося все промежуточные значения в табл. 7.1.
3.Округлить полученный результат и записать его в окончательном виде с погрешностью.
4.Вычислить по формуле (7.1) момент инерции маятника Максвелла.
5.Вычислить абсолютную погрешность измерения момента инерции маятника, как косвенного измерения. При этом удобно вычислить сначала относительную погрешность
I |
n |
∂ ln I |
2 |
= ∑ |
xi |
||
I |
i =1 |
∂xi |
|
где xi – независимые |
аргументы |
функции I, измеренные с |
|
погрешностью xi .
Таким образом, после несложных преобразований и с учетом
ri = rнити получаем
I |
|
|
m 2 |
|
|
r1 |
2 |
|
2 t |
2 |
|
h |
2 |
||
|
= |
|
|
+ 8 |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
I |
|
+ r |
|
− 2h / gt2 ) |
|
− 2h / gt2 ) |
|||||||||
|
|
m |
r |
|
t(1 |
|
h(1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
нит |
|
|
|
|
|
|
|||
Такой способ вычислений удобен тем, что можно оценить по отдельности относительный вклад в суммарную погрешность погрешностей каждой из измеряемых величин и пренебречь теми слагаемыми, вклад которых невелик, т.е. величина которых на три-четыре и больше порядков меньше остальных.
Зная относительную погрешность измерения, легко найти и абсолютную погрешность.
6. Вычислить теоретическое значение момента инерции маятника
по формуле (7.3).
69
7. Записать окончательный результат вычислений момента инерции с погрешностью и теоретическое значение этой величины.
Сопоставить их.
8. Вычислить кинетическую энергию маятника Максвелла в момент прохождения им нижней точки по (7.2) и сравнить ее с потенциальной энергией mgh для проверки выполнения закона сохранения энергии.
Контрольные вопросы и задания
1. Что |
такое момент инерции твердого тела относительно |
заданной оси? |
|
2.Сформулируйте основной закон динамики твердого тела.
3.Что такое момент силы и как определить его направление?
4.Как направлено угловое ускорение при вращательном движении твердого тела?
5.Провести аналогию между характеристиками вращательного и поступательного движения.
Литература: [1, § 28, 29, 32, 34]; [2, § 33-35, 36, 37, 79]; [4, § 4.1-4.3
]; [5].
70
Лабораторная работа № 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы – экспериментальное определение моментов инерции твёрдых тел относительно различных осей вращения.
Приборы и принадлежности: крутильный маятник FPM-05, твёрдые тела различной формы, блок миллисекундомера.
Краткие сведения из теории
При описании вращательного движения твёрдого тела вводится понятие момента инерции – физической величины, характеризующей распределение масс в теле и являющейся, наряду с массой, мерой инертности тела при вращательном движении. Моментом инерции тела относительно некоторой оси называется величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от данной оси:
I = ∑ mi ri2 .
i
Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление его момента инерции сводится к вычислению интеграла
I = ∫ r 2 dm,
где dm – масса элемента объема тела, находящегося на расстоянии r от оси вращения.
Рассмотрим в качестве примера плоскую прямоугольную пластинку со сторонами a и b и массой m.