§ 2.4. Частотные характеристики замкнутой системы

В соответствии с главной передаточной функцией замкнутой системы (2.13) можем записать формулу амплитудно-фазовой частотной характеристики замкнутой системы в виде

представляет собой выражение амплитудно-фазовой час­тотной характеристики разомкнутой цепи для данной си­стемы.

Амплитудно-фазовые частотные характеристики мож­но представить в виде

где А₃(ω) и φ₃(ω)—соответственно амплитудная и фа­зовая частотные характеристики замкнутой системы. Последние можно выразить через A(ω) и φ(ω) разом­кнутой цепи.

Согласно формуле (2.25) имеем

или, взяв обратные величины слева и справа, получим новое равенство

Подставим сюда e ^jφ = cosφ - sinφ и приравняем за­тем отдельно вещественные и мнимые части. Получим два равенства

Сложив сначала квадраты этих выражений, а затем поделив одно из них на другое, получим искомый резуль­тат

Для разомкнутой цепи, как мы знаем, чаще всего ис­пользуются логарифмические частотные характеристики Lm(ω), φ(ω).

Будем считать, что из предыдущей начальной стадии расчета системы эти характеристики известны. Они бу­дут исходными для определения по формулам (2.26) характеристик замкнутой системы A₃(ω) и φ₃(ω). Чтобы не иметь дело на практике с такими формулами, состав­лены [36] номограммы замыкания (рис. 2.17). Отложив на осях абсцисс и ординат заданные значения φ(ω) и Lm(ω), находим значения A₃(ω) и φ₃(ω) на поле номо­граммы в точке с этими координатами. Таким образом, но точкам строится вся частотная характеристика зам­кнутой системы.

Существует и другое представление частотной харак­теристики замкнутой системы

где Р(ω) и Q(ω) называются вещественной и мнимой частотными характеристиками. Представив исходную амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкну­той цепи системы в виде

и подставив ее в формулу (2.25), найдем

Линии Р = const и Q = const оказываются окружнос­тями на плоскости (U, V). На основании этого строится

[36] круговая диаграмма (рис. 2.18). Наложив на поле этой диаграммы заданную амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой цепи W(jω), построенную в координатах U и V, в точках пересечения ее с окружно­стями Р = const и Q = const получим значения веществен­ной Р(ω) и мнимой Q(ω) частотных характеристик зам­кнутой системы.

Вещественная характеристика Р(ω) является четной, а мнимая Q(ω) нечетной функциями ω (рис. 2.19).

Наконец, вещественную и мнимую частотные харак­теристики замкнутой системы можно определять и по заданным логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой цепи. Для этого подставим выражение

в формулу (2.25). Получим

Выделяя вещественную и мнимую части, найдем

На базе исходных логарифмических частотных хара­ктеристик, по этим формулам построены также [36] со­ответствующие номограммы для вещественной Р(ω) и мнимой Q(ω) характеристик.

Все рассмотренные частотные характеристики замк­нутой системы базировались на выражении главной пере­даточной функции, когда вхо­дом является задающее воздей­ствие g(t), а выходом — регу­лируемая величина х.

Аналогичным путем могут быть построены частотные ха­рактеристики замкнутой систе­мы по возмущающему воз­действию f(t), для чего надо пользоваться соответствующей передаточной функцией

При этом очертание частотных характеристик будет зависеть от вида многочлена R(s), т. е. от места прило­жения возмущающего воздействия f(t).