- •Е.П. Попов
- •Глава 1. Основные характеристики звеньев автоматических систем
- •§ 1.1. Уравнения звеньев и виды основных характеристик
- •§ 1.2. Типы позиционных звеньев и их характеристики
- •§ 1.3. Типы интегрирующих и дифференцирующих звеньев и их характеристики
- •§ 1.4. Другие типы звеньев
- •Глава 2. Основные характеристики систем автоматического управления
- •§ 2.1. Передаточные функции и характеристики разомкнутой цепи звеньев
- •1. Цепь из последовательно соединенных звеньев
- •§ 2.2. Структурные преобразования
- •§ 2.3. Передаточные функции и уравнения замкнутой системы
- •§ 2.4. Частотные характеристики замкнутой системы
- •Глава 3. Точность и чувствительность систем автоматического управления
- •§ 3.1. Процесс управления и требования к нему
- •§ 3.2. Постоянные ошибки. Астатические системы
- •§ 3.3. Точность при гармоническом воздействии
- •§ 3.4. Установившаяся ошибка при произвольном воздействии (коэффициенты ошибок)
- •§ 3.5. Чувствительность автоматических систем
- •Глава 4. Устойчивость систем автоматического управления
- •§ 4.1. Понятие устойчивости линеаризованных систем
- •§ 4.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •§ 4.3. Критерий устойчивости Михайлова. Построение областей устойчивости
- •§ 4.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •Глава 5. Оценки качества переходного процесса
- •§ 5.1. Требования качества и связь с частотными характеристиками
- •§ 5.2. Частотные оценки качества
- •§ 5.3. Корневые оценки качества
- •§ 5.4. Интегральные оценки качества
- •Глава 6. Корректирующие устройства и методы их синтеза
- •§ 6.1. Последовательные корректирующие устройства
- •§ 6.2. Параллельные корректирующие устройства
- •§ 6.3. Корректирующие устройства по внешнему воздействию. Инвариантность
- •§ 6.4. Частотный метод синтеза корректирующих устройств
- •§ 6.5. Метод корневого годографа
- •Список литературы
§ 3.3. Точность при гармоническом воздействии
Установившиеся ошибки при гармоническом воздействии определяются частотными характеристиками замкнутой системы, которые были получены выше в § 2.4.
Частотные характеристики замкнутой системы, построенные для регулируемой величины х по возмущающему воздействию (см. в конце § 2.4), будут целиком определять установившуюся синусоидальную ошибку по амплитуде и по фазе
где ω — частота колебаний возмущающего воздействия
(с единичной амплитудой).
Что касается основных частотных характеристик
построенных в § 2.4 по главной передаточной функции замкнутой системы, то они включают в себя всю информацию об установившемся слежении за синусоидальным задающим воздействием
Поэтому, как показано на рис. 3.3, а и б (соответственно для систем с астатизмом и без него), установив-
шаяся ошибка воспроизведения амплитуды гармонического задающего воздействия определится заштрихованными частями ординат. Заметим, что ошибка в амплитуде при ω=0 представляет собой статическую ошибку системы, так как нулевая частота соответствует постоянной величине входного сигнала.
Фазовая частотная характеристика φз(ω) (рис. 3.3, в) представляет собой установившуюся ошибку, выражающуюся в сдвиге фазы на выходе
по отношению к входному воздействию (3.21).
Амплитудная частотная характеристика Аз(ω) обычно падает при дальнейшем увеличении частоты, причем
В результате получается ограниченный диапазон частот ωп (см. рис. 3.3), в котором ошибка воспроизведения амплитуды
не превышает допустимого значения. Этот диапазон частот 0 < ω < ωп определяет полосу пропускания данной системы.
Полоса пропускания является важным показателем точности системы. Она характеризует ограничение возможностей системы в воспроизведении быстро меняющихся сигналов. Это связано со степенью инерционности системы. При необходимости для снижения инерционности
в систему вводятся корректирующие устройства, рассматриваемые ниже в главе 6.
Для астатических систем существует приближенная формула вычисления ошибки при гармоническом воздействии на рабочих частотах. Рабочие частоты систем управления ωp лежат обычно ниже (левее) первой сопрягающей частоты ω1 (рис. 3.4), где |W( jωp)| > 1 и само значение ωp сравнительно невелико. Поэтому для астатической системы с передаточной функцией разомкнутой цепи
где L1 (s)—многочлен но степеням s со свободным членом 1, будем иметь
а для ошибки ε в замкнутой системе
т. е. при воздействии (3.21) амплитуда ошибки будет равна
Здесь наглядно видно, что и при гармоническом воздействии ошибка в первом приближении обратно пропорциональна общему коэффициенту усиления разомкнутой цепи К, т. е. добротности системы, как это было и для всех постоянных ошибок (§ 3.2).
Наконец, необходимо отметить, что часто при проектировании и испытании систем управления пользуются синусоидальным задающим сигналом и в том случае, когда требования к системе поставлены по величинам максимальной скорости и максимального ускорения входного воздействия, которые должны воспроизводиться следящей системой.
В этом случае, при подаче синусоидального сигнала g = a sin ωt скорость и ускорение будут
Следовательно,
Отсюда вычисляются частота ω и амплитуда а синусоидального задающего воздействия, при котором получаются требуемые максимальные скорость и ускорение, а именно:
Тогда эти значения ω и а принимаются за расчетные рабочие значения частоты и амплитуды для данной системы. Ошибка на этой частоте при данной амплитуде определится по формуле
Ниже в главе 6 мы воспользуемся этими соотношениями при решении задачи синтеза в процессе проектирования системы.