§ 5.4. Интегральные оценки качества

Интегральными оценками качества называются такие, которые одним числом оценивают и величины отклоне­ний, и время затухания переходного процесса. Будем от­клонение х в переходном процессе отсчитывать от нового установившегося состояния, так что х → 0 при t → ∞.

Для монотонного процесса (рис. 5.18) интегральной оценкой может служить площадь под кривой переходного процесса, т. е.

Этот интеграл имеет конечное значение для любого ре­шения x(t) линейного уравнения. Здесь процесс будет считаться тем лучше, чем меньше число I₁.

Однако такая оценка не годится для колебательного процесса, так как нижние площади при вычислении ин­теграла (5.21) будут вычитаться из верхних (рис. 5.19).

Поэтому по минимуму величины I₁ наилучшим оказался бы процесс с незатухающими колебаниями, что недо­пустимо.

В связи с этим в общем случае принимают квадратич­ную интегральную оценку качества в виде

В литературе имеются формулы, выражающие вели­чину I₂ непосредственно через коэффициенты дифферен­циального уравнения замкнутой системы.

Очевидно, что стремление оценки I₂ к нулю прибли­жает кривую процесса к скачку (рис. 5.20), ибо именно при этом уменьшается квадратичная площадь, ограниченная кривой.

Однако это, в свою очередь, вы­зывает значительное увеличе­ние скорости (рывок скорости) в начальной части процесса. Что­бы получить быстрозатухающий, но достаточно плавный процесс, вводятулучшенную квадратичную интегральную оценку качества

где Т назначается в соответствии с заданием желаемых свойств переходного процесса.

В самом деле, покажем, что при стремлении умень­шить величину этой оценки кривая переходного процесса приближается к экспоненте с желаемой постоянной вре­мени T. Для этого проделаем следующие преобразования:

Наименьшее возможное значение I_к будет при

Решение этого дифференциального уравнения

и будет той экспонентой (пунктирная кривая на рис. 5.21), к которой приближается переход­ный процесс при стрем­лении уменьшить значе­ние интегральной оцен­ки I_к.

Применяются и другие виды интегральных оценок ка­чества

где x₁, ..., x_n — переменные, характеризующие состояние системы. В общем случае

В качестве интегральных критериев используются и функционалы более общего вида. Иногда в выражение интегральной оценки вводится время t в явном виде.

Интегральные критерии применяются в теории оптимальных систем автоматического управления.

Глава 6. Корректирующие устройства и методы их синтеза

§ 6.1. Последовательные корректирующие устройства

Для того, чтобы добиться желаемого качества процес­са управления или регулирования, т. е. требуемой точно­сти системы и качества переходного процесса, есть два способа. Первый состоит в том, чтобы достигнуть этого путем изменения параметров данной системы, так как с изменением параметров меняются соответственно коэф­фициенты уравнения и частотные характеристики, а зна­чит, и качество процесса.

Если же путем изменения параметров не удается по­лучить желаемый результат, то надо применить второй способ — изменить структуру системы, введя дополнитель­ные звенья — корректирующие устройства.

Основная задача корректирующих устройств состоит в улучшении точности системы и качества переходных

процессов. Однако наряду с этим путем введения коррек­тирующих устройств можно решать и более общую за­дачу — сделать систему ус­тойчивой, если она была без них неустойчивой, а затем добиться и желаемого ка­чества процесса регулирова­ния.

Различают четыре основ­ных вида корректирующих устройств.

1. Последовательные корректирующие устройства или, как их еще называют, корректирующие фильтры, кото­рые могут описываться различными передаточными функ­циями W_к(s) (рис. 6.1). Тогда общая передаточная функ­ция разомкнутой цепи системы будет

причем во втором варианте (рис. 6.1, б) имеем

где нуликами отмечены передаточные функции заданных частей системы.

2. Параллельные корректирующие устройства, осуще­ствляемые в виде дополнительных местных обратных связей W_0с(s) (рис. 6.2), когда

3. Корректирующие устройства по внешнему воз­действию.

4. Неединичная главная обратная связь. Передаточная функция корректирующего устройства W_к(s) или W_0с(s) может иметь, вообще говоря, произ­вольный вид. Но наиболее часто применяются определен­ные типы корректирующих устройств, которые мы и рас­смотрим.

В этом параграфе изучим некоторые типовые после­довательные корректирующие устройства (фильтры).

Введение производной от ошибки — простейший метод улучшения качества переходного процесса. Структурно введение производной представлено на рис. 6.3. Техни­чески это может быть осуществлено различными устрой­ствами, причем производная может осуществляться не в чистом виде, а с инерционностью, например, в виде .

Передаточная функция разомкнутой цепи (рис. 6.3) с идеальной производной будет

Заменив s = jω, получим амплитуду и фазу в виде

Существенным здесь является то, что при введении воз­действия по производной добавляется положительная фа­за. Вследствие этого радиус-векторы амплитудно-фазовой характеристики (рис. 6.4, а) поворачиваются против часовой стрелки, увеличивая запас устойчивости и улуч­шая качество переходного процесса. То же самое легко

проследить и на логарифмических характеристиках (рис. 6.4, б).

В случае неидеального дифференцирования (с инер­ционностью) этот эффект несколько уменьшается коли­чественно, но качественно он сохраняется.

Заметим, что введение производной от ошибки может служить и стабилизирующим средством, т. е. превращать неустойчивую замкнутую систему в устойчивую. Напри­мер, если на рис. 6.4, а точка —1 лежала бы внутри ха­рактеристики W₀(jω), то новая характеристика W(jω) уже могла бы не охватывать точку —1.

Увеличение общего коэффициента усиления К разомк­нутой цепи является методом повышения точности си­стемы. Как видно из главы 3, при этом уменьшаются все виды установившихся ошибок системы. Увеличение К осуществляется последовательным введением усили­тельного звена в общую цепь. Но увеличение К ведет, как известно, к ухудшению условия устойчивости, а зна­чит, и качества переходного процесса. Поэтому часто приходится это делать одновременно с введением про­изводной.

Введение интеграла от ошибки является методом со­здания или повышения порядка астатизма системы, а значит, и увеличения ее точности (рис. 6.5). Переда­точная функция будет

Подставив s = jω, получим

Вследствие поворота фазы на —90° ухудшаются устойчивости и качество переходного процесса (см. рис. 6.6, а и б). Иногда это мо­жет повести и к неустойчиво­сти замкнутой системы, если на рис. 6.6, а точка —1 ока­жется внутри характеристики W(jω), хотя W₀(jω) не охва­тывает эту точку.

В случае введения двойного интеграла (рис. 6.7) в си­стему с передаточной функцией вида

(без производной в числителе) получаем

и характеристическое уравнение замкнутой системы

Эта система будет структурно неустойчивой (неустойчи­вой при любых значениях параметров), так как в харак­теристическом уравнении (6.3) отсутствует член с пер­вой степенью λ . Поэтому астатизм второго порядка ре­ально возможен только при условии введения производ­ных в закон управления, т. е. при наличии некоторого многочлена N(s) в числителе передаточной функции.

Изодромное корректирующее устройство (рис. 6.8) имеет передаточную функцию вида

объединяя в себе введение интеграла и производной. Оно позволяет избежать недостатков предыдущего устройства и получать необходимый порядок астатизма системы, со­храняя устойчивость и качество ее.

Частотные логарифмические характеристики изодромного устройства имеют показанный на рис. 6.9 вид.

Из них видно, что это устройство изменяет лишь низко­частотную часть амплитудной характеристики, влияю­щую на точность системы (повышает ее), а отрицатель­ный сдвиг фазы в части, существенной для условий устойчивости, невелик.

Поскольку можно записать

то структурно изодромное устройство можно представить, как изображено на рис. 6.10. Следовательно, если в слу­чае простого введения интеграла (рис. 6.5) регулирова­ние в системе производится не по величине ошибки ε, а только по интегралу от нее, то при изодромном устрой­стве мы получаем регулирование по ошибке и по интегралу (аналогично тому, как на рис. 6.3, было показано регулирование по ошибке и по ее производной).

Техническое осуществление изодромного устройства может быть различным (механическое, электрическое и др. устройства).

Возможны и более сложные передаточные функции последовательных корректирующих устройств — филь­тров [45].