- •Е.П. Попов
- •Глава 1. Основные характеристики звеньев автоматических систем
- •§ 1.1. Уравнения звеньев и виды основных характеристик
- •§ 1.2. Типы позиционных звеньев и их характеристики
- •§ 1.3. Типы интегрирующих и дифференцирующих звеньев и их характеристики
- •§ 1.4. Другие типы звеньев
- •Глава 2. Основные характеристики систем автоматического управления
- •§ 2.1. Передаточные функции и характеристики разомкнутой цепи звеньев
- •1. Цепь из последовательно соединенных звеньев
- •§ 2.2. Структурные преобразования
- •§ 2.3. Передаточные функции и уравнения замкнутой системы
- •§ 2.4. Частотные характеристики замкнутой системы
- •Глава 3. Точность и чувствительность систем автоматического управления
- •§ 3.1. Процесс управления и требования к нему
- •§ 3.2. Постоянные ошибки. Астатические системы
- •§ 3.3. Точность при гармоническом воздействии
- •§ 3.4. Установившаяся ошибка при произвольном воздействии (коэффициенты ошибок)
- •§ 3.5. Чувствительность автоматических систем
- •Глава 4. Устойчивость систем автоматического управления
- •§ 4.1. Понятие устойчивости линеаризованных систем
- •§ 4.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •§ 4.3. Критерий устойчивости Михайлова. Построение областей устойчивости
- •§ 4.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •Глава 5. Оценки качества переходного процесса
- •§ 5.1. Требования качества и связь с частотными характеристиками
- •§ 5.2. Частотные оценки качества
- •§ 5.3. Корневые оценки качества
- •§ 5.4. Интегральные оценки качества
- •Глава 6. Корректирующие устройства и методы их синтеза
- •§ 6.1. Последовательные корректирующие устройства
- •§ 6.2. Параллельные корректирующие устройства
- •§ 6.3. Корректирующие устройства по внешнему воздействию. Инвариантность
- •§ 6.4. Частотный метод синтеза корректирующих устройств
- •§ 6.5. Метод корневого годографа
- •Список литературы
§ 3.5. Чувствительность автоматических систем
Параметры системы автоматического управления, т. е. коэффициенты усиления и постоянные времени, зависят от физических параметров элементов, входящих в систему (сопротивления, емкости, индуктивности и т. п.). Величины этих физических параметров, во-первых, могут иметь разброс вследствие допусков на изготовление {технологический разброс}. Во-вторых, в зависимости от условий эксплуатации в процессе работы системы они по разным причинам могут изменяться со временем (эксплуатационное изменение).
Поэтому возникает задача определения влияния разброса и изменения параметров системы на статические и динамические свойства процесса управления, т. е. на точность системы, на временные характеристики (показатели качества переходных процессов) и на частотные характеристики.
Степень влияния разброса и изменения параметров системы на ее статические и динамические свойства называется чувствительностью системы. Чувствительность определяется количественно. Существуют методы ее анализа и методы достижения малой чувствительности проектируемой системы к разбросу и изменению некоторых ее параметров, когда это требуется.
Пусть система описывается уравнениями в нормальной форме (2.21), т. е.
где xi — координаты состояния системы. Изменяющиеся со временем параметры системы в процессе ее эксплуатации и от разброса при изготовлении обозначим через
Они входят в коэффициенты уравнения (3.36).
Поэтому уравнения системы (3.36) можно представить в следующей общей форме:
Рассматривая малые изменения параметров, получим новые уравнения
Процесс в системе (3.37) при неизменных параметрах, определяемый ее решением
называется исходным движением.
Процесс в той же системе, но с измененными параметрами, определяемый решением уравнений (3.38), т. е.
называется варьированным движением.
Возникает различие в протекании этих процессов за счет изменения параметров системы
которое называется дополнительным движением системы. При малых изменениях параметров αj можно записать
Тогда дополнительное движение будет
Величины ui j ( t ), определяемые формулой (3.39), называются функциями чувствительности.
В данном случае xi являются координатами состояния системы. Вообще же аналогичные характеристики чувствительности вводятся так же и для различных показателей качества системы. Тогда в формуле (3.39) вместо xi будет стоять соответствующий показатель качества, а в формуле (3.40) — вместо Δxi —изменение этого показателя качества. Функции чувствительности для частотных характеристик будут функциями не времени, а частоты ω. Когда же показатель качества выражается не функцией, а числом, то uij называются уже не функциями, а коэффициентами чувствительности. Последние определяются как при эксплуатационном изменении параметров, так и при их технологическом разбросе.
Определение функций чувствительности производится следующим образом.
Продифференцируем исходное уравнение (3.37) по параметрам α j. Получим
Меняя в левой части порядок дифференцирования и учитывая формулу (3.39), получим выражения
которые называются уравнениями чувствительности. Непосредственное определение функций чувствительности uij по этим уравнениям затруднительно. Поэтому применяют косвенные методы, например, с помощью моделей [31] или графов [5].
Приведем простейший пример определения уравнений чувствительности для системы
Введем две функции чувствительности
Уравнение данной системы в нормальной форме имеет вид
Отсюда по формуле (3.41) получим
Это и будут уравнения чувствительности такой простейшей системы. Вычислив отсюда иK и иT, найдем изменение хода процесса управления за счет эксплуатационного изменения параметров К и Т по формуле
Что же касается функций и коэффициентов чувствительности для показателей качества, то их определение проще, поскольку там не будет дифференциальных уравнений.
Рассмотрим функции чувствительности частотных характеристик.
Запишем передаточную функцию разомкнутой цепи системы
где α1, α2, ..., αm — параметры системы, имеющие технологический разброс или эксплуатационные изменения. После подстановки s = jω запишем выражения амплитудной и фазовой частотных характеристик
Функции чувствительности здесь будут
В результате вместо формул (3.40) здесь получим как функции частоты о формулы для отклонения частотных характеристик за счет разброса и изменения параметров системы:
В частности, для приведенного выше простейшего примера имеем
Найдем функции чувствительности частотных характеристик по параметру α1 = Т. Поскольку здесь
то функции чувствительности (3.42) будут
Отклонения частотных характеристик согласно (3.43) получат значения
Определение функций чувствительности применяется для проектирования системы с наименьшим изменением качественных показателей при отклонении значений параметров системы от расчетных.
Аналогично можно находить также функции или коэффициенты чувствительности для нулей и полюсов передаточной функции при корневых методах исследования, а также для других показателей качества.