§ 4.3. Критерий устойчивости Михайлова. Построение областей устойчивости

Возьмем характеристический многочлен линейной си­стемы п-го порядка

с положительными коэффициентами (необходимое усло­вие устойчивости). Подставив в него чисто мнимое значение λ = jω, получим

Изобразим годограф этого выражения на комплексной плоскости (X, У). Прежде всего заметим следующее:

при ω = 0 имеем Х = a_n , У = 0;

при ω = ∞ будет Х= +∞ или — ∞, Y = +∞ или — ∞.

Предельные значения +∞ или —∞ зависят от пока­зателя степени п. Из формул (4.16), где все а_i по­ложительны, видно, что при ω = ∞ для n = 3 будет X = – ∞ для п = 5 получим Х=+∞, Y=+∞ и т. д. Поэтому годографы эти имеют для различных п примерно такие формы как показано на рис. 4.9. Эти годографы на­зываются кривыми Ми­хайлова.

Практически кривая Михайлова строится по точкам. Задают несколько разных значений ω в интервале между 0 и ∞ (достаточно по одной точке в каждом квадранте). По формулам (4.16) вычисляют для них координаты то­чек кривой Михайлова Х и Y (рис. 4.10). Поэтому вдоль кривой Михайлова обычно имеются отметки конкретных значений ω.

Сформулируем теперь критерий устойчивости Михай­лова, а затем докажем его.

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы п-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(jω) при изменении ω от 0 до ∞ равнялось бы , т. е.

Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайло­ва (рис. 4.9) проходила последовательно п квадрантов против часовой стрелки (все время окружая начало координат). Напри­мер, видно, что кривые на рис. 4.9

соответствуют устойчивым системам, а на рис. 4.11 — неустойчивой системе при п == 5.

Доказательство этого критерия следующее. Возьмем на комплексной плоскости корней λ много­члена D(λ) (4.14) контур, показанный на рис. 4.12. При обходе этого контура λ функция D(λ) согласно принципу аргумента, известному из теории функций комплексного переменного, должна получить приращение аргумента

где m — число корней внутри контура, т. е. в правой полуплоскости (полюса функции здесь отсутствуют). Представив D(λ) в виде

получим на первой (пунктирной) части контура, где λ → ∞, приращение Δ _i arg λ = π, а для многочлена D(λ)

так как внутри скобки в (4.19) все дроби обращаются в нули.

Поэтому для выполнения равенства (4.18) на второй части контура (мнимая ось на рис. 4.12), т. е. при

должно согласно (4.18) получиться

Но из (4.16) видно, что Х(ω) четная, а Y(ω) нечет­ная функции ω, т. е.

Поэтому можно проходить лишь положительную часть мнимой оси и полученный результат удвоить.

Используя этот факт и меняя направление изменения ω, для положительной части мнимой оси (рис. 4.13), вместо (4.20) мы должны по­лучить

Для устойчивости системы надо потре­бовать, чтобы все корни λ_i многочлена D(λ) лежали в левой полуплоскости, т. е. чтобы т = 0, а значит, чтобы

что и требовалось доказать.

Формулу (4.21) можно использовать для подсчета чис­ла корней т, лежащих справа, когда система неустойчи­ва, а именно

Например, если для системы пятого порядка (п == 5) получена кривая Михайлова в виде рис. 4.11, то, подсчи­тывая обороты вектора D( jω) по чертежу, получаем

и по формуле (4.22) находим т = 2. Следовательно, дан­ная система неустойчива за счет наличия в характеристи­ческом уравнении D(λ)=0 двух корней с положитель­ной вещественной частью.

Рассмотрим теперь определение границ устойчивости по критерию Михайлова. Очевидно, что все три типа гра­-

ниц устойчивости (§ 4.1) можно объединить равенством λ_i = jω₀, включая ω₀ = 0 и ω₀ = ∞.

Если характеристическое уравнение системы D(λ)=0 имеет корень λ_i = jω₀ , то удовлетворяется равенство

откуда согласно (4.16) получаем

Графически это означает попадание одной точки кри­вой Михайлова (ω = ω₀) в начало координат, как пока­зано, например, на рис. 4.14.

Физический смысл величины ω = ω₀ — частота коле­баний системы на границе устойчивости (см. § 4.1). Важно отметить следующее. На границе устойчивости

системы все остальные корни, кро­ме λ = ±jω, должны лежать сле­ва от мнимой оси плоскости λ . Иначе система будет неустойчи­вой. Поэтому, кроме условия (4.23), требуется, чтобы кривая Михайлова проходила бы все ос­тальные квадранты, кроме пропу­щенного из-за прохождения через начало координат, как показано, например, для п = 5, на рис. 4.14.

Следовательно, например, рис. 4.15 соответствует не гра­нице устойчивости, а неустойчивой системе.

Другими словами, очертание кривой Михайлова на границе устойчивости должно быть таким, чтобы малой деформацией ее в начале координат можно было удов­летворить критерию Михайлова. Это можно сделать на рис. 4.14, но не на рис. 4.15.

Аналитически это означает, что в дополнение к ра­венствам (4.23) должен удовлетворяться критерий устой­чивости для многочлена

в котором исключена пара чисто мнимых корней, а в слу­чае нулевого корня

Заметим, что условие (4.24) надо проверять только при n ≥ 5, так как при п ≤ 4 оно сводится просто к по­ложительности коэффициентов уравнения D(λ)=0 (ко­торая предполагается с самого начала).

Выражения (4.23) используются для построения об­ластей устойчивости системы на плоскости любых двух параметров А и В, выбираемых при проектировании си­стемы (это могут быть, например, коэффициент усиления и постоянная времени). Тогда (4.23) можно записать в виде

причем параметры А и В входят в коэффициенты этих выражений (коэффициенты характеристического уравне­ния системы).

Таким образом, выражения (4.25) представляют собой уравнения границ устойчивости, изображаемых в виде некоторых кривых на плоскости параметров А, В. Пу­тем задания разных значений величины ω₀ (0 ≤ ω₀ ≤ ∞) каждый раз из уравнений (4.25) определяются значения параметров А и В. В результате по точкам строятся гра­ницы устойчивости на плоскости А, В.

Пример. Рассмотрим определение границ и области устойчивости системы по критерию Михайлова для про­стого случая. Пусть, как и в прежнем примере (§ 4.2),

получим выражения

Отсюда для границы устойчивости согласно (4.25) имеем

Из второго уравнения получаем два значения

Тогда из первого находим соответственно

Для бесконечно удаленного корня (ω₀ = ∞) из пре­дыдущего выражения получаем

Эти результаты совпадают с тем, что было сделано в примере по критерию Гурвица, где были изображены и области устойчивости, которые получаются, естественно, такими же (рис. 4.6, 4.7 и 4.8) и по критерию устойчи­вости Михайлова.

Если, как мы говорили выше, критерий Гурвица для определения границ устойчивости удобен лишь при п ≤ 4, то здесь по критерию Михайлова удобно определять об­ласти устойчивости для систем любого порядка.

Достоинством критерия Михайлова является то, что он проще и нагляднее для определения устойчивости си­стемы, чем критерий Гурвица, особенно для систем вы­сокого порядка.

Другая форма критерия Михайлова состоит в исполь­зовании свойства перемежаемости корней многочленов Х(ω) и Y(ω).

В самом деле, из рис. 4.9 видно, что, идя вдоль кри­вой Михайлова от точки ω = 0 в направлении возраста­ния ω, мы сначала выходим с оси X, затем пересекаем ось Y, потом снова Х и т. д. Это значит, что корни урав­нений

должны следовать поочередно друг за другом. Кривые Х(ω) и Y(ω) имеют вид, как примерно показано на рис. 4.16.

Итак, условием устойчивости системы является пере­межаемость корней этих уравне­ний. Нарушение данного условия говорит о неустойчивости системы.

Для прежнего примера уравне­ния принимают вид

Перемежаться должны корни этих уравнений, а именно:

Следовательно, здесь должно быть

откуда вытекает прежнее условие устойчивости

которое было получено выше другими способами.