Глава 3. Точность и чувствительность систем автоматического управления

§ 3.1. Процесс управления и требования к нему

Процесс управления во времени определяется решением дифференциального уравнения динамики замкну­той системы, полученного в разных формах записи в §2.3. Это решение для регулируемой величины имеет вид

где собственное движение x_соб(t) определяется общим ре­шением соответствующего однородного уравнения при за­данных начальных условиях

а вынужденное движение x_вын (t) — частным решением уравнения, отвечающим заданной правой части, т. е. за­дающему и возмущающему воздействиям и их производ­ным.

Если уравнения динамики системы записаны в нор­мальной форме Коши (2.21), то начальные условия про­цесса управления вместо (3.2) задаются в виде началь­ных значений всех координат состояния

а решение для процесса управления получает вид

Одна из этих координат состояния будет представлять регулируемую величину x(t), а остальные соответствуют внутренним переменным в цепи звеньев или их комбина­циям.

Первая часть решения (3.1) имеет вид

если все корни λ_i характеристического уравнения D(λ)=0 различны. Постоянные C_i определяются по начальным условиям.

Эта часть решения представляет собой переходный про­цесс в замкнутой системе управления. Значения постоян­ных С_i определяются после добавления частного решения x_вын(t), т. е. в полном решении (3.1). Поэтому форма переходного процесса будет зависеть не только от корней λ_i (хотя эта зависимость основная), по еще в некоторой степени и от вида заданной правой части, т. е. от внеш­них воздействий g(t) и f(t) и от коэффициентов опера­торных многочленов KN(p) и R(p) (см. § 2.3).

Другими словами, форма переходного процесса зави­сит не только от полюсов (s_i=λ_i) передаточных функ­ций замкнутой системы (2.13) и (2.15):

но еще и от нулей этих передаточных функций.

В случае наличия кратных корней в характеристичес­ком уравнении D(λ)=0 решение вместо (3.5) имеет вид

где P_i(t) — многочлен степени l_i—1, если l_i — кратность корня, а через k обозначено число различных корней λ_i. В реальных системах автоматического управления и ре­гулирования кратность корней маловероятна.

Вторая часть решения (3.1) x_вын(t), отвечающая пра­вой части дифференциального уравнения динамики зам­кнутой системы (2.17), представляет собой установившу­юся часть процесса управления. На нее накладывается

переходный процесс (3.5), который теоретически длится бесконечно, по его влияние практически становится нич­тожным через конечное время. После затухания переход­ной составляющей устанавливается процесс x_вын(t). Это проиллюстрировано, например, на рис. 3.1 для случаев постоянного (a) и синусоидального (б) внешнего воз­действий.

Таким образом, формой установившегося процесса x_вын(t) определяется точность системы автоматического управления. При этом установившаяся ошибка системы будет

а полное значение ошибки, существенное для начала процесса равно

Решение для установившегося процесса управления можно записать в виде интегралов свертки

где k_x(τ) и k_f(τ)—весовые функции замкнутой системы, т. е. ее реакции, взятые в точке выхода x(t), на единич­ный мгновенный импульс δ(t), приложенный соответ­ственно в точках приложения g(t) и f(t).

В результате, с точки зрения протекания процесса управления, требования к системе формируются по сле­дующим трем основным направлениям:

1) точность;

2) устойчивость;

3) качество переходного процесса.

Каждое из них будет рассмотрено отдельно в трех бли­жайших главах.

Точность системы задается и определяется в устано­вившихся режимах. Устойчивость гарантирует затухание переходного процесса, после чего обеспечивается желае­мое качество затухающего переходного процесса.

Для нахождения решения (3.1), определяющего про­текание процесса управления, применяются различные способы:

а) классическое математическое решение;

б) операционный метод:

в) численные и графические способы;

г) с помощью вычислительных машин (ЦВМ и АВМ). Все эти способы решения дифференциальных уравне­ний изучаются в соответствующих курсах. Поэтому они

здесь не излагаются.

Приведем только две формулы решения операционным методом.

При нулевых начальных условиях имеем изображение выходной величины замкнутой системы

Найдем процесс управления при одном внешнем воз­действия G(s):

Если g{t)=δ(t) — единичный мгновенный импульс, то G(s)= 1 и решение будет

где s_i полюсы передаточной функции замкнутой системы, т. е. корни многочлена D(s), в предположении отсутствия кратных полюсов; D' — производная по s.

Если же g(t) = 1 (t) — единичный скачок, то G (s) = и решение будет

В этих формулах все постоянные интегрирования уже определены через значения многочленов, входящих в пе­редаточную функцию замкнутой системы. Здесь также видно, что форма переходного процесса в основном опре­деляется значениями полюсов s_i (т. е. корнями характе­ристического уравнения замкнутой системы), но в неко­торой степени она зависит и от числителя передаточной функции KN(s), т. е. от правой части дифференциаль­ного уравнения.