§ 6.5. Метод корневого годографа

О качестве процесса регулирования можно судить по расположению корней характеристического уравнения (т. е. полюсов передаточной функции замкнутой си­стемы), учитывая также еще и операторный многочлен в правой части дифференциального уравнения (т. е. нули передаточной функции замкнутой системы). Вкратце об этом шла речь выше (§ 5.3).

Корневым годографом называется совокупность тра­екторий перемещения всех корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-ли­бо параметра этой системы (например, общего коэффи­циента усиления К разомкнутой цепи данной системы).

Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи системы автоматического регулирования. Запишем ее в виде

где К. — общий коэффициент усиления разомкнутой це­пи, а многочлены N(s) и L(s) имеют единичные коэф­фициенты при младших членах.

Главная передаточная функция замкнутой системы для регулируемой величины по задающему воздействию g(s), как известно, имеет вид

Характеристическое уравнение замкнутой системы за­пишется соответственно в форме

Его можно записать и иначе:

Эта форма записи характеристического уравнения замкнутой системы и используется в дальнейшем. Вы­ражение (6.26) является основным уравнением метода корневого годографа.

Обозначим корни характеристического уравнения замкнутой системы:

полюса передаточной функции разомкнутой цепи [кор­ни L(s)]:

нули передаточной функции разомкнутой цепи [корпи N(s)]:

Очевидно, величины Р_i и N_q не зависят от К. Задача состоит в том, чтобы, зная расположение ну­лей N₁ , ..., N_m и полюсов P₁, ..., Р_n передаточной функ­ции разомкнутой цепи KW(s), найти корни характери­стического уравнения s₁, ..., s_m как функции параметра К. Графически это и будет корневой годограф данной системы.

Корни характеристического уравнения являются по­люсами передаточной функции замкнутой системы. Что же касается нулей этой функции, то согласно (6.25) пу­ли замкнутой системы совпадают с заданными нулями разомкнутой цепи этой системы (6.24).

Преобразуем основное уравнение метода корневого годографа. Уравнение (6.26) распадается на два: урав­нение модулей

где С — отношение коэффициентов при старших членах многочленов N(s) и L(s).

Подставим вместо s один из искомых корней харак­теристического уравнения s_k. На плоскости s = σ + jω (рис. 6.24) этот корень изобразится вектором s_k . По­строим также векторы P_i (i = 1, 2, ..., n) и N_q (q = 1, 2, ..., т) полюсов и нулей функции KW(s). Полюса Р_i будем обозна­чать крестиками, нули N_q — кружочками, а кор­ни s_k — треугольниками. На рис. 6.24 показаны также векторы величин s_k — N_q и s_k — Р_i. Обозна­чим их аргументы соот­ветственно через и , а модули: и l_i.

Тогда уравнение фаз (6.28) с учетом выражения (6.29) можно переписать в виде

а уравнение модулей (6.27) с учетом (6.29) — в виде

Уравнение фаз (6.30) не зависит от К. Поэтому путь решения задачи может быть такой. Сначала следует подобрать на плоскости s такое положение s_k , которое бы удовлетворяло уравнению фаз (6.30) при всех задан­ных P_i и N_q . Потом по уравнению модулей (6.31) нужно подсчитать, какой величине параметра К это соответ­ствует. Таким путем постепенно можно построить весь корневой годограф.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Дано

Согласно (6.29) можно написать

где

Изобразим данные нули и полюса (рис. 6.25). Заме­тим, что согласно (6.25) и (6.24) при К=0 все корни s_k совпадают с полюсами P_i Далее же легко проверить, что уравнение фаз

будет удовлетворяться для корня s₁, если он находится на оси между точками P₁ и N₁; для корня s₄ — если он лежит на оси левее точки Р₄. С увеличением К эти корни движутся как показано на рис. 6.25 стрелками.

Что же касается корней s₂ и s₃, то уравнение фаз удовлетворяется, когда они оба находятся на оси между точками P₂ и P₃ . С увеличением К они движутся навстречу друг другу. При некотором значении К они сли­ваются, а затем с увеличением К становятся комплекс­ными (сопряженными) и движутся по некоторым кривым, точки которых определяются так, чтобы удовлетво­рялось уравнение фаз. Кривые эти симметричны, по­скольку корпи сопряженные (рис. 6.25).

Величина К, отвечающая каждому конкретному положению корней, находится по уравнению модулей

Итак, траектории корней строятся только по уравне­нию фаз, а уравнение модулей используется затем для определения соответствующих значений К.

В указанном виде процесс построения будет довольно громоздким. Однако он очень упрощается при использо­вании общих свойств корневого годографа изложенных, например в [27].

Пример 2. На основе аналогичных рассуждений мо­жем построить корневой годограф для системы с пере­даточной функцией разомкнутой цепи

в виде, изображенном па рис. 6.26 при ζ > 1 и на рис. 6.27 при ζ < 1.

Проиллюстрируем на примерах некоторые элементы синтеза корректирующих устройств с помощью метода корневого годографа.

Для системы, схема которой изображена на рис. 6.28 задана передаточная функция

Требуется выбрать коэффициент усиления К и параметры последовательного корректирующего устройства

Рассмотрим два варианта: а) β = 0,1 —устройство близко к дифференцирующему; б) β=10 — устройство близко к интегрирующему.

Изобразим сначала корневой годограф системы без коррекции. В передаточной функции (6.32) имеем по­люса:

Корневой годограф показан на рис. 6.29. В случае с коррекцией (6.33) получаем

где добавляется еще один полюс и появляется один нуль:

В первом случае (β=0,1) выберем τ так, чтобы нуль N₁ расположился вблизи доминирующих корней (рис. 6.30). Полюс P₄ расположится на десятикратном расстоянии влево, т. е. будет несущественным.

Получаем новый корневой годограф (рис. 6.30). Вид­но, что «опасные» комплексные корни значительно ото­двинуты от мнимой оси, а влияние нового вещественного

корня s₁ уменьшается наличием близко расположенного нуля N₁.

Во втором случае (β = 10) новый полюс P₄ согласно (6.34) будет в десять раз ближе к началу координат, чем нуль N₁. Следовательно, Р₄ близок к нулю, а система становится близкой к дважды астатической, что увели­чивает ее точность. Корневой годограф принимает вид, изображенный на рис. 6.31.

Рассмотрим теперь включение интегро-дифференцирующего устройства с передаточной функцией

при значениях β₁ = 10, β₁ = 0,1. В этом случае имеем два добавочных полюса и два нуля:

Первый из них очень мал (почти нулевой), а второй расположен далеко влево (рис. 6.32). Корни s₁ и s₂, имев­шие неудовлетворительное расположение ранее (рис. 6.31), теперь (рис. 6.32), выходя от начала координат, влива­ются в нули N₁ и N₂. Эти корни s₁ и s₂ ближе других к мнимой оси.

Но, во-первых, они уже не могут вызвать неустойчивости и, во-вторых, их влияние нейтрализуется близко расположенными нулями. Корни же s₃ и s₄, стре­мящиеся с увеличением К вправо, располагаются доста­точно далеко от мнимой оси.

В книге [27] приведены другие примеры коррекции (неединичная обратная связь и регулирование по внеш­нему воздействию).

Другие методы синтеза рассматриваются ниже в гла­вах 7 и 8.