§ 4.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий устойчивости (критерий Найкви­ста) базируется на частотных характеристиках разомк­нутой цепи системы автоматического управления и дает правила, согласно которым по виду частотной характери­стики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим разные случаи.

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии. Пере­даточная функция разомкнутой цепи

Этот случай соответствует системам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию

где D(s) — характеристический многочлен замкнутой си­стемы, a L(s)—характеристический многочлен разомкну­той цени этой системы.

Подставим s = jω, получим

По критерию Михайлова изменение аргумента D( jω) при 0 ≤ ω ≤ ∞ равно , так как предполагается, что ра­зомкнутая цепь устойчива. С другой стороны, требуется,

чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменение аргумен­та D( jω) при 0 ≤ ω ≤ ∞ также равнялось .

Отсюда следует, что изменение аргумента W₁( jω) должно быть:

Это значит, что годограф W₁( jω) не должен охваты­вать начало координат (рис. 4.17 и 4.18). Вернемся те­перь к функции

которая представляет собой амплитудно-фазовую частот­ную характеристику разомкнутой цепи (рис. 4.19 и 4.20). Отсюда получаем следующую формулировку частот­ного критерия Найквиста.

Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточ­но, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку (—1) (см. рис. 4.19 и 4.20).

График на рис. 4.19 соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушится только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой цепи К,

а график на рис. 4.20 — случаю, когда и при уменьше­нии К система может стать неустойчивой (пропорцио­нально величине К, согласно (4.26), меняются радиус-векторы, всех точек характеристики). Неустойчивость замкнутой системы иллюстрируется на рис. 4.21 и 4.22.

Имея в виду сложные очертания амплитудно-фазовых характеристик (клювообразного вида как на рис. 4.20 и более сложные), к записанной выше формулировке ча­стотного критерия добавляется разъяснение, что надо по­нимать под термином «неохват точки (—1)». Характери­стика может пересекать отрицательную ось левее точки (—1), но тогда число положительных (сверху вниз) пере­ходов характеристики через ось абсцисс левее точки (—1) должно равняться числу отрицательных переходов (сни­зу вверх).

Система, нейтральная в разомкнутом состоянии. Ха­рактеристический многочлен разомкнутой цепи L(s) имеет нулевые корни, а все остальные корни имеют от­рицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой цепи W(s) имеет соответственно нулевые полюса:

Это соответствует астатическим системам, причем ν — порядок астатизма.

Рассмотрим сначала случай ν = 1, т. е.

Плоскость корней для L(s) имеет вид, примерно как показано на рис. 4.23. Подстановка s=jω при 0 ≤ ω ≤ ∞ означает перемещение вдоль оси ω от точки 0 вверх

(рис. 4.23). При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0 по окружности малого радиуса, т. е.

Тогда при s→0 получим

где большая величина, причем R → ∞ при ρ → 0 .

Следовательно, точке ω == 0 плоскости корней соответст­вует на характеристике W( jω) четверть окружности бесконечного радиуса (рис. 4.24).

Поскольку при этих выкладках все корни L(s) оста­вались слева, то формулировка критерия устойчивости остается такой же, как и для случая устойчивой разомкну­той цепи, а именно, не должна охватываться точка (—1).

В случае ν == 2 и ν = 3 аналогично получаем ту же формулировку критерия — неохват точки (—1), как пока­зано на рис. 4.25, а и б.

Для сложных очертаний амплитудно-фазовых харак­теристик в число отрицательных переходов надо вклю­чать и переход пунктирной окружности бесконечно боль­шого радиуса при ω = 0. Это имеет место и на рис. 4.25.

Система с неустойчивой разомкнутой цепью. Пусть характеристический многочлен L(s) разомкнутой цепи имеет l корней с положительной вещественной частью. Тогда, применяя формулу (4.21) к данному случаю, имеем

Введенная выше вспомогательная функция

при замене s = jω, согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы, должна иметь следую­щее изменение аргумента при 0 ≤ ω ≤ ∞:

Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика ра­зомкнутой цепи охватывала точку (—1) против часовой стрелки на угол lπ, где l — число полюсов с положитель­ной вещественной частью в передаточной функции не­устойчивой разомкнутой цепи данной системы. Другими словами, левее точки (—1) разность между числом поло­жительных и числом отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики через ось абсцисс должно равняться l/2.

Например, если передаточная функция разомкнутой цепи будет

т. е. имеет l = 1 (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая ча­стотная характеристика разомкнутой цепи должна иметь вид, примерно показанный на рис. 4.26, а или б, а в слу­чае l = 3 — на рис. 4.26, в. При этом начальная точка

характеристики на оси абсцисс левее (—1) считается как половина перехода.

Случай наличия пары чисто мнимых полюсов переда­точной функции разомкнутой цепи. Этот случай может сочетаться со случаями расположения всех остальных полюсов слева от мнимой оси или наличия нулевого по­люса, или, наконец, наличия полюсов справа. Во всех вариантах формулировки частотного критерия устойчи­вости замкнутой системы остаются прежними, причем разрыв характеристики в точке мнимого полюса заполня­ется полуокружностью бесконечного радиуса (рис. 4.27). Это вытекает из замены на плоскости s точки мнимого полюса полуокружностью малого радиуса, и образования соответствующего контура обхода, аналогично тому как на рис. 4.23 обходилась точка нулевого полюса.

Через Т на рис. 4.27 обозначена постоянная времени соответствующего сомножителя (T²s²+l), являющегося источником пары чисто мнимых корней в знаменателе передаточной функции W(s) разомкнутой цепи.

Использование логарифмических частотных характе­ристик. Обратимся сначала к первым двум случаям: разомкнутая цепь системы устойчива или нейтральна (соответственно, замкнутая система без астатизма и астатическая). Как установлено выше, амплитудно-фазовая частотная харак­теристика разомкнутой цепи не должна охватывать точку (—1). Это значит, что должно быть

В свою очередь, это означает, что точка пересечения фазовой характеристики с линией — 180° должна лежать правее частоты среза, т. е. правее точки пересечения амплитудной характеристики с осью абсцисс. Левее этой последней точки при сложных очертаниях ЛАХ может иметься четное число пересечений фазовой характери­стики с линией —180°, как показано пунктиром на рис. 4.28, в соответствии с приведенным выше правилом равенства положительных и отрицательных переходов.

Первый график на рис. 4.28 соответствует системе без астатизма, а второй — системе с астатизмом первого по­рядка. Легко видеть, что пунктир на рис. 4.28, а соответ­ствует характеристике на рис. 4.20. При подсчете точек пересечения фазовой характеристики с линией —180° на­до иметь в виду, что если начало фазовой характеристи­ки будет лежать ниже линии —180° (что соответствует рис. 4.25, б), то в число отрицательных переходов надо включать бесконечно удаленную влево точку ω = 0.

Такова формулировка частотного критерия устойчиво­сти применительно к логарифмическим характеристикам в случаях устойчивой и нейтральной разомкнутой цепи.

Осталось сказать, о случае, когда разомкнутая цепь неустойчива, т. е. L(s) имеет l корней с положительной вещественной частью.

В этом случае разность между числом положительных и числом отрицательных переходов фазовой характери­стики через линию —180° левее частоты среза ω₀ (где

Lm = 0) должно равняться l/2. Здесь положительным счи­тается переход снизу вверх. При этом начало характе­ристики в бесконечно удаленной точке ω = 0 на линии —180° считается за половину перехода.

Например, для случаев, изображенных на рис. 4.26, а, б, это выглядит так, как представлено на рис. 4.29, а, б.

Использование экспериментальных характеристик. Осо­бенностью частотного критерия устойчивости, в отличие от предыдущих, является то, что не обязательно надо знать уравнения всех звеньев системы, а можно исполь­зовать экспериментальные данные.

Пусть например, система должна состоять из трех блоков (рис. 4.30), причем для двух блоков имеются допустим, уравнения или передаточные функции W₁(s) и W₃(s), а для одного блока (W₂) они неизвестны и очень трудно составить уравнения либо переда­точную функцию, но блок уже имеется в натуре или же для не­го легко сделать эксперименталь­ный макет.

Тогда для этого отдельно взятого блока (W₂) снима­ется экспериментально амплитудно-фазовая частотная ха­рактеристика (рис. 4.31) путем подачи на вход величины

при разных ω и замера каждый раз амплитуды А₂ и фа­зы φ₂ на выходе

Полученная экспериментально характеристика пере­множается с остальными, которые заданы аналитически, т. е. определяется

причем для каждого определенного значения частоты ω модули (амплитуды) перемножаются, а аргументы (фа­зы) складываются

По виду полученной общей характеристики разомкну­той цепи W(jω) на основании частотного критерия Найквиста судят о том, будет ли устойчива проектируемая из этих блоков замкнутая система.