Mech-Slobod

401

величина його різна для різних напрямків сили, тобто воно залежить не лише від величини, але й від напрямку сили.

Виявляється, що напрямок сили співпадає з напрямком прискорення лише у двох

Як би незвично не виглядали загальне рівняння (9.50) та його частинні випадки (9.51) і (9.52), вони неодноразово перевірені експериментально і в їх справедливості немає жодних сумнівів. Вони зручні при застосуванні до руху зарядженої частинки, відповідно, в магнітному та в електричному полях і ними широко користуються інженери, зокрема, при розрахунку прискорювачів заряджених частинок. При цьому використовують поняття так званих поперечної та повздовжньої мас, відповідно, m = αm і mΙΙ = α3m , запроваджених Лоренцем ще у 1899 р., з

використанням другого закону Ньютона, відповідно до двох випадків, яким відповідають формули

(9.51) та (9.52), коли напрям прискорення співпадає з напрямом сили, як коефіцієнтів з розмірністю маси, що встановлюють пропорційність між векторами сили та прискорення. Ця пропорційність не є прямою, оскільки величини m і mΙΙ залежать від швидкості частинок.

як mr , а в гіршому, й найбільш поширеному варіанті, просто як m . Доцільність такого кроку часто

402

її швидкості унеможливлює досягнення і перевищення нею швидкості світла c . Справжню масу при цьому

оголошують масою спокою, і в гіршому варіанті позначають її як m0 . При використанні позначення mr

можна переписати формулу для імпульсу (9.33) у класичній (нерелятивістській) формі: p = mrυ , а

формулу (9.36) для енергії у вигляді E = mr c2 , що само по собі не становить криміналу. Але далі, оскільки у ньютонівському виразі для імпульсу p = mυ множник, що стоїть при швидкості, є інертна маса,

з’являється спокуса оголосити множник mr , що стоїть при швидкості у суттєво релятивістській (хоч і

замаскованій під класичний вираз) формулі для імпульсу p = mrυ , інертною масою, але тепер вже

релятивістською! Після такого неправомірного кроку всі наступні дії з величиною mr трактованою як

«релятивістська інертна маса» будуть також неправомірними. Одним з них є знаходження (інертної) маси

(прикметник «інертної» часто випускають) матеріального об’єкта через його повну енергію: mr = cE2 .

Через цей «чорний хід» у безмасових частинок (наприклад, у фотона) з’являється маса. Поки що інертна.

Але з ньютонівської механіки відома як інертна, так і гравітаційна маса, а також їх пропорційність одна одній і можливість запровадження для них однакових одиниць вимірювання. Тому наступним кроком є

ототожнення величини E , яка чисельно дорівнює mr , з гравітаційною масою матеріального об’єкта. Таким c2

з’являється спокуса підставляти цю величину у формулу закону всесвітнього тяжіння Ньютона для визначення сили, що діє на фотон у гравітаційному полі масивного тіла. Але розрахований таким чином кут відхилення фотонів у гравітаційному полі Сонця виявляється вдвічі меншим, ніж спостережуваний експериментально. Ця серйозна розбіжність з експериментом не випадкова. З теорії гравітації, яку часто називають загальною теорією відносності, може бути одержана формула сили, прикладеної до легкої

масивної частинки, яка має енергію E та швидкість υ (або навіть до безмасової частинки, що має енергію

E ) з боку гравітаційного поля тіла з великою масою M (наприклад, Землі, Сонця або іншої зірки) 17

17 Доволі складний вигляд цієї формули зумовлений тим, що у релятивістському випадку гравітаційне поле визначається не однією скалярною величиною, а так званим тензором енергії-імпульсу, який має 10 незалежних компонент.

403

При малих (нерелятивістських) швидкостях υ << c для масивної частинки ця формула переходить у

принципово нову ситуацію: та частина формули (9.53), яку можна було б приймати за «гравітаційну масу» у

іншим, можна пояснити вищенаведену розбіжність між розрахунком та експериментом. Але головний висновок полягає в тому, що поняття гравітаційної маси незастосовне до релятивістського тіла: дійсно,

видається дивним говорити про гравітаційну масу фотона або навіть масивної частинки, що рухається зі швидкістю близькою до швидкості світла, якщо така величина для частинки, що падає вертикально до земної поверхні вдвічі менша, ніж для тієї самої частинки, що рухається в горизонтальному напрямку.

її зростання при зростанні швидкості тіла υ унеможливлює досягнення тілом швидкості світла навіть, якщо

звідки знайдемо T = π2mF c . Легко порахувати, що під дією сили, яка забезпечує стандартне прискорення

вільного падіння 9,81м/с2, тіло досягне швидкості світла і перевищить її всього за півтора року (556 діб).

Взагалі, при такому підході швидкість тіла зростає необмежено і, лише в півтора рази повільніше, ніж при використанні в тому ж розрахунку звичайної маси m ! Отже, таємнича «релятивістська» маса у цьому відношенні нічим не краща за звичайну масу m .

Основні властивості маси в механіці Ньютона та в СТВ подано в підсумковій Таблиці 9.2.

Таблиця 9.2. Властивості маси в механіці Ньютона та в СТВ

405

Контрольні запитання і вправи.

Література

1.И.Е.Иродов, Механика. Основные законы. М.-СпБ, Физматлит, 2001 г.

2.А. А.М.Федорченко, Теоретическая физика. Классическая механика. Киев,“Вища школа”, 1983.

3.А. И.В.Савельев, Курс общей физики, т.1, Механика, молекулярная физика.М., “Наука”, 1982.

4.Д.В.Сивухин, Общий курс физики, Механика. М.,”Наука”, 1979-93.

5.А.Н.Матвеев, Механика и теория относительности. М.,”Высш. школа”, 1986.

6.Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц, Механика. М., “Наука”, 1965.

7.Ч.Киттель, В.Найт, М.Рудерман, Берклиевский курс физики, Механика, т.1. М., “Наука”, 1983.

8.Дж.Орир, Физика, т.1. М., “Мир”, 1981.

9.И.И. Ольховский, Курс теоретической механики для физиков. М.,“Наука”, 1975. Г.Голдстейн, Классическая механика. М., “Наука”, 1965.

10.С.П.Стрелков, Механика. М., “Наука”, 1975.

11.Л.Б.Окунь, Понятие массы (масса, энергия, относительность). Журнал “Успехи

физических наук”, 1989, т.158, вып.3, с.313-352.

12. .Физический энциклопедический словарь. М.,”Сов. энцикл.”,1984.

13.Физическая энциклопедия. Гл. ред. А.М. Прохоров. 1-5 т.т., М.,”Сов. энцикл.”, 1988 -.,”Росс. энцикл.”, 1998.

Додаток 1.

У Таблиці Д.1 наведено дані про деякі ракети, що працюють на рідкому паливі, починаючи від першої практично використовуваної німецької одноступеневої бойової ракети V-2, (Фау-2) з

дальністю польоту 320 км і максимальною швидкістю 1,5 км/с, яка фактично стала відправною точкою для всіх наступних ракет-носіїв як американських, так і радянських, зокрема тих, якими було виведено на навколоземні орбіти перший штучний супутник Землі та першого космонавта Юрія Гагаріна. Із Таблиці Д.1 видно, що багатоступеневі ракети можуть забезпечити значне відношення m0 m при помірних відношеннях для ракети кожного ступеня. Сучасні українські

ракети-носії Циклон-2 та Зеніт-3SL використовуються для виведення на орбіту штучних супутників Землі. Ракета-носій Saturn 5-Apollo була використана для пілотованих польотів на

Місяць, здійснених американськими астронавтами в 1969-72 р. р. Якщо ж розглядати ракетно-

космічну систему Saturn 5-Apollo в цілому, то вона фактично являє собою п’ятиступеневу систему, і для неї m0 m =295, оскільки початкову масу 2950 т треба поділити на кінцеву масу

m =10 т так званого основного блоку, який повертається в атмосферу Землі. Поверхні Землі досягає лише командний відсік маса якого становить 5,5 т.

Таблиця Д.1

*Після польоту на Місяць повертається до Землі ** Досягає поверхні Землі

Додаток 2

Оцінка можливостей ракети на хімічному паливі

Спираючись на формулу (5.90) і залучивши елементарні відомості з молекулярної фізики оцінимо можливості одноступеневої ракети на хімічному паливі, наприклад, для досягнення другої космічної швидкості υ = 11,2 км/ с. За величину швидкості витікання продуктів згоряння u

з камери згоряння у вакуум можна прийняти середньоквадратичну швидкість молекул (атомів) в

камері згоряння, яку можна знайти з відомого співвідношення для середньої кінетичної енергії

Таким чином, швидкість витікання тим більша, чим менша маса молекул (атомів) продуктів згоряння та вища температура в камері згоряння. Отже, вигідно обирати такі пари паливо-

окислювач, які, з одного боку, вступаючи в реакцію можуть забезпечити високу температуру горіння, а з іншого, продукти реакції яких мають малу молярну масу. З цієї точки зору найбільш ефективними є пара зріджений водень і зріджений кисень, оскільки продукт їх реакції молекула

H2O має молярну масу 18 та зріджений водень і зріджений фтор, продуктом реакції яких є фторид водню HF з молярною масою Ma = 20 . При T = 3500 K (це дуже висока температура, але сучасні камери згоряння можуть її витримати) одержуємо для H2O u = 2203 м/с , а для HF – u = 2090 м/с.

За формулою (5.90) можна отримати відношення m0 m , рівні, відповідно, 150 та 200, що

виглядає не дуже обнадійливо. В той же час відомо, що в двигуні другого ступеня ракети Saturn 5

досягається швидкість витікання 4170 м/с. Така суттєва розбіжність зумовлена прийнятою нами дуже спрощеною моделлю надзвичайно складних явищ, що відбуваються в ракетному двигуні.

Однією з причин є те, що внаслідок дисоціації молекул води при таких високих температурах середня молярна маса продуктів згоряння значно менша, ніж прийнята нами для H2O. Швидкість витікання продуктів згоряння також суттєво залежить від конструкції сопла, в якому відбувається їх адіабатичне розширення і, відповідно, прискорення.

Ефективність палива для ракетних двигунів порівнюють за їх так званим питомим імпульсом, який є відношенням тяги ракетного двигуна до секундної витрати робочого тіла.

Питомий імпульс має розмірність н с кг−1 , яку на практиці часто приводять до м/ с, тобто до

розмірність швидкості. Для ідеального ракетного двигуна, що працює у вакуумі, питомий імпульс чисельно дорівнює швидкості витікання робочого тіла із сопла двигуна. У Таблиці 5.3 наведено питомі імпульси для двох найбільш популярних двокомпонентних ракетних палив, що містять кисень, які використовують у ракетно-космічних системах сьогодні, а також палива на основі зріджених фтору і водню, яке може забезпечити найбільший питомий імпульс. Це пов’язано з можливістю отримати вищу температуру згоряння водню у фторі ніж у кисні, завдяки тому, що фтор є найагресивнішим окислювачем. Крім того, паливо фтор-водень потребує вдвічі меншого об’єму паливних баків, ніж паливо кисень-водень, завдяки майже вдвічі більшій густині, що дозволяє суттєво зменшити масу ракети. Однак, якщо паливо кисень-водень є найбільш екологічним серед всіх відомих палив, то паливо фтор-водень є надзвичайно шкідливим для оточуючого середовища.

Таблиця Д.1

Найбільший питомий імпульс (10-210 км/с) можуть забезпечити так звані електричні ракетні двигуни, в яких робоче тіло набуває швидкості за рахунок енергії електромагнітного поля.

Наприклад, в іонних ракетних двигунах робочим тілом є іони, що розганяються електричним полем до великих швидкостей. Такі двигуни здатні працювати лише поза межами атмосфери і

розвивають невелику тягу, що не перевищує десятків ньютонів. На сьогодні вони використовуються переважно в автоматичних космічних апаратах як двигуни систем орієнтації та корекції, оскільки можуть багаторазово вмикатися і працювати тривалий час завдяки малим витратам робочої речовини.