MathAnalysis2015
.pdfКИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
НАВЧАЛЬНI ЗАВДАННЯ
ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ З
МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛIЗУ
для студентiв спецiальностi "механiка" механiко–математичного факультету
(I семестр першого курсу)
2015
Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко–математичного факультету (1 семестр першого курсу) / Упорядн. М. О. Назаренко, О. Н. Нестеренко, Т. О. Петрова, А. В. Чайковський. – Електронне видання. – 2015. – 91 с.
|
ЗМIСТ |
|
ЗМIСТ . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
ПЕРЕДМОВА |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
ЗАНЯТТЯ 1. |
СПРОЩЕННЯ ВИРАЗIВ. |
|
АЛГЕБРАЇЧНI ТА IРРАЦIОНАЛЬНI РIВНЯННЯ. ПРОГРЕСIЇ. . . . . . . . . . . . |
7 |
|
ЗАНЯТТЯ 2. |
ГРАФIКИ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦIЙ. ВЛАСТИВОСТI ЛО- |
|
ГАРИФМIВ ТА ПОКАЗНИКОВИХ ФУНКЦIЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
|
ЗАНЯТТЯ 3. |
ТРИГОНОМЕТРIЯ. НЕРIВНОСТI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
ЗАНЯТТЯ 4. |
КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ВИБРАНI ПИТАННЯ ЕЛЕМЕНТАР- |
|
НОЇ МАТЕМАТИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
|
ЗАНЯТТЯ 5. |
ЛОГIЧНI СИМВОЛИ. МНОЖИНИ I ДIЇ НАД НИМИ. . . . . . . . . |
23 |
ЗАНЯТТЯ 6. |
ДIЇ НАД МНОЖИНАМИ (ПРОДОВЖЕННЯ). ВIДОБРА- |
|
ЖЕННЯ. ОБРАЗИ I ПРООБРАЗИ. СЮР’ЄКЦIЯ, IН’ЄКЦIЯ, БIЄКЦIЯ. . . |
27 |
|
ЗАНЯТТЯ 7. |
ДIЙСНI ЧИСЛА. ОСНОВНI НЕРIВНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
ЗАНЯТТЯ 8. |
ГРАФIКИ ФУНКЦIЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
ЗАНЯТТЯ 9. |
ГЕОМЕТРИЧНЕ МIСЦЕ ТОЧОК. ПОЛЯРНI КООРДИНАТИ. 34 |
|
ЗАНЯТТЯ 10. |
ГРАНИЦЯ ПОСЛIДОВНОСТI. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦI ЗА |
|
ОЗНАЧЕННЯМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
|
ЗАНЯТТЯ 11. |
ВЛАСТИВОСТI ЗБIЖНИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ. |
|
ТЕОРЕМА ПРО ГРАНИЦЮ СУМИ, ДОБУТКУ I ЧАСТКИ . . . . . . . . . . . . . |
40 |
|
ЗАНЯТТЯ 12. |
ГРАНИЦЯ ПОСЛIДОВНОСТI. ТЕОРЕМА ШТОЛЬЦА . . . . . . . |
43 |
ЗАНЯТТЯ 13. |
ГРАНИЦЯ МОНОТОННОЇ ПОСЛIДОВНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
ЗАНЯТТЯ 14. |
ТОЧНI МЕЖI. ПIДПОСЛIДОВНОСТI. ЧАСТКОВI ГРАНИЦI. |
|
ВЕРХНЯ ТА НИЖНЯ ГРАНИЦI ПОСЛIДОВНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
|
ЗАНЯТТЯ 15. |
ТОЧНI МЕЖI. ПIДПОСЛIДОВНОСТI. ЧАСТКОВI ГРАНИЦI. |
|
ВЕРХНЯ ТА НИЖНЯ ГРАНИЦI ПОСЛIДОВНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
ЗАНЯТТЯ 16. |
ФУНДАМЕНТАЛЬНI ПОСЛIДОВНОСТI. КРИТЕРIЙ КОШI . |
52 |
ЗАНЯТТЯ 17. |
КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ДIЇ НАД МНОЖИНАМИ. |
|
ТОЧНI МЕЖI. ГРАНИЦI ПОСЛIДОВНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
3
ЗАНЯТТЯ 18. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ У ТОЧЦI. АРИФМЕТИЧНI ДIЇ НАД |
|
ГРАНИЦЯМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
57 |
ЗАНЯТТЯ 19. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ В ТОЧЦI (ПРОДОВЖЕННЯ). . . . . . . . . . . |
61 |
ЗАНЯТТЯ 20. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ У ТОЧЦI (ПРОДОВЖЕННЯ). . . . . . . . . . . |
64 |
ЗАНЯТТЯ 21. ОДНОСТОРОННI ГРАНИЦI. |
|
ВIДНОШЕННЯ "О", "о" ТА ЕКВIВАЛЕНТНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
ЗАНЯТТЯ 22. НЕПЕРЕРВНI ФУНКЦIЇ. ТОЧКИ РОЗРИВУ . . . . . . . . . . . . . . . . . |
71 |
ЗАНЯТТЯ 23. ВЛАСТИВОСТI НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ. |
|
РIВНОМIРНА НЕПЕРЕРВНIСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
73 |
ЗАНЯТТЯ 24. ОЗНАЧЕННЯ ПОХIДНОЇ. ОБЧИСЛЕННЯ ПОХIДНИХ . . . . . . . |
75 |
ЗАНЯТТЯ 25. ОБЧИСЛЕННЯ ПОХIДНИХ (ПРОДОВЖЕННЯ) . . . . . . . . . . . . . |
78 |
ЗАНЯТТЯ 26. ОБЧИСЛЕННЯ ПОХIДНИХ (ПРОДОВЖЕННЯ). |
|
ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМIСТ ПОХIДНОЇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
80 |
ЗАНЯТТЯ 27. ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ. ДИФЕРЕНЦIАЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
82 |
ЗАНЯТТЯ 28. ПОХIДНI ТА ДИФЕРЕНЦIАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ . . . . . . . . |
85 |
ЗАНЯТТЯ 29. КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ В ТОЧЦI. ПО- |
|
ХIДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
ПРОГРАМА КУРСУ "МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛIЗ" ДЛЯ СТУДЕНТIВ |
|
СПЕЦIАЛЬНОСТI "МЕХАНIКА". |
|
I КУРС, I СЕМЕСТР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
89 |
4
ПЕРЕДМОВА
У цьому методичному посiбнику наведенi теми практичних занять з математичного аналiзу, умови задач, рекомендованих для розв’язання в аудиторiї, а також задачi для домашньої роботи
Головна мета практичних занять активне засвоєння студентами основних понять i положень курсу, набуття навичок їх застосування до розв’язання стандартних задач, опанування деяких спецiальних методiв. Умовам задач в кожному заняттi передують кiлька контрольних запитань, вiдповiдi на якi студенти мають пiдготувати вдома.
Укожному заняттi група задач А задачi для аудиторної роботи, група
Бдля домашнього завдання. Кiлькiсть i якiсть задач, що розв’язуються в аудиторiї i задаються додому, залежить вiд рiвня пiдготовки cтудентiв. Цi задачi пiдбираються викладачем з набору задач, наведених в методичцi.
Пропонуються також завдання пiдвищеної складностi для студентiв з високим рiвнем пiдготовки за умови успiшного виконання обов’язкової частини. Задачi пiдвищеної складностi позначенi лiтерою Д.
Упершому семестрi, як правило, проводяться двi контрольнi роботи, зразки умов та розв’язання (частково) яких наведено в текстi.
Упосiбнику також вмiщено програму курсу "Математичний аналiз"для студентiв спецiальностi "механiка" I курс, I семестр".
При пiдборi задач використано такi збiрники задач:
Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – Минск, 1990.
Дороговцев А.Я. Математический анализ. Сборник задач. -- Киев, 1987. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. – М., 1969.
Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. // Под ред. Н.Я.Виленкина – М., 1971, Ч.1.
Частина задач складена упорядниками. При пiдготовцi цього учбового посiбника автори суттєво використали методичнi розробки
Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко-математичного факультету (1 семестр першого курсу) // Упорядн. А.Я.Дороговцев, О.О.Курченко, М.О.Денисьєвський. – К.,1994,
Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко–математичного факультету (1 семестр першого курсу) / Упорядн. М. О. Денисьєвський, О. О. Курченко, В. Н. Нагорний, А. В. Чайковський. – К.: ВПЦ "Київський унiверситет", 2002.
5
Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко--математичного факультету (2 семестр першого курсу) // Упорядн. М. О. Денисьєвський, О. О. Курченко, В. Н. Нагорний, А. В. Чайковський, О.Н. Нестеренко. – К.: ВПЦ "Київський унiверситет", 2004.
6
ЗАНЯТТЯ 1 СПРОЩЕННЯ ВИРАЗIВ.
АЛГЕБРАЇЧНI ТА IРРАЦIОНАЛЬНI РIВНЯННЯ. ПРОГРЕСIЇ
Контрольнi запитання
1.Формули скороченого множення.
2.Властивостi дiй над степенями.
3.Властивостi дiй з коренями.
1. Спростити вираз:
|
|
|
|
|
a2+3a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
ax¡5x+8a¡40 |
x+8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
r13 + 30 |
|
|
2 + |
9 + 4p |
|
|
||||||||||||||
|
|
2; |
|||||||||||||||||||
|
à |
1=2 |
+ y |
1=2 |
|
|
p |
1=2 |
|||||||||||||
3) |
x |
|
|
|
|
¡ |
(x + y) |
|
|
|
|
||||||||||
|
(x + y)1=2 |
|
x1=2 + y1=2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
(m¡n)2+4mn |
|
||||||||
|
|
n |
|
|
|
2n |
|||||||||||||||
4) |
|
qy |
|
: |
ry m2¡n2 |
: |
|
||||||||||||||
|
m¡n |
|
А1
!¡2
x + y
¡ 2pxy ;
2. Вказати множину, на якiй виконується рiвнiсть px2 + 6x + 9 = x + 3:
px |
|
x |
p |
p 2 |
pa2 |
= (p |
|
)2; б) p |
|
¢ |
p |
|
= |
p |
|
; в) |
||||||||||
3. Коли правильнi формули: а) |
a |
x |
|
y |
xy |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
= |
y ; г) a b = ¡ a b? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Розв’язати рiвняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
8x2 |
¡ 5x |
|
¡ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2) |
(x |
+ x + 1)(x + x + 2) = 12; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3) |
2x3 ¡ 5x2 + 7x ¡ 10 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4) |
jx2j + jx ¡ 1j = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5) |
jx ¡ 3x + 2j + 2x = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. Розв’язати системи рiвнянь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1) |
x¡1 + y¡1 = 5; |
|
2) |
|
y2 |
xy = ¡12; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
(x¡2 + y¡2 = 13; |
|
|
(x2 |
¡ xy = 28: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Розв’язати рiвняння з iррацiональностями:
1)px + 1 + px = 1;
2)p3x + 4 + px ¡ 4 = 2px:
7.Знайдiть суму дванадцяти перших членiв арифметичної прогресiї, якщо a1 = ¡40; d = 6:
8.Знайдiть 10-й член геометричної прогресiї, якщо b1 = ¡128 i q = 12 :
9.Знайти натуральне число n таке, що:
1)2 + 5 + ::: + (3n + 2) = 7n + 5;
2)3 + 6 + 12 + ::: + 3 ¢ 2n = 4n ¡ 7 ¢ 2n+2 + 2n+1 ¡ 3:
Д1. Спростити вираз:
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2+2a 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
|
|
|
(1 |
¡ |
|
2a + a2)(a2 |
¡ |
1)(a |
¡ |
1) : |
a 4 |
¡ |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pa+1 |
|
|||||||||
|
|
x4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
p |
¡x2¡x+1 |
|
¢ j |
x |
¡ |
3 |
j |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x ¡5x +7x¡3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3) |
|
p |
4x+4+x¡1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
p |
|
¢j2x2¡x¡1j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
pp5¡2¢p9+4p5+ pa2¡pa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
|
|
|
|
pp |
5+2¢p4 |
9+4p |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
5+a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Д2. Розв’язати рiвняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
x |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
= |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2+3x+2 |
|
x2+5x+2 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
px = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 + px + |
3 |
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2) |
3 |
|
9 ¡ px + 1 + |
3 |
7 + px + 1 = 4; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
p |
|
|
|
|
|
|
+ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9 |
|
|
|
|
x |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
24 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
7 + px + 1 = 4; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
p |
|
1 + |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
3 |
|
|
+ px = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Д3. Розв’язати системи рiвнянь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 + x3y3 + y3 = 17; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2y2 = 17; |
|||||||||||||||||||||||||||
1) |
(x + xy + y = 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
(x2 ¡ 2xy = ¡3; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
xy + x22 + x33 |
= 14; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + y3 = 2; |
||||||||||||||||||||
2) |
(x + yy = 3;y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
(x2 + y2 = 2: |
|||||||||||||||||
Д4. Чи |
правильно, |
|
що |
для всiх |
x |
2 |
( |
|
2; 2) виконується нерiвнiсть |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x4 + x · 20: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
Д5. Скiльки членiв арифметичної прогресiї 4; 10; ::: знаходиться мiж числами 110 i 340?
8
Д6. При яких значеннях параметра a коренi рiвняння x2 + 2(a ¡ 7)x + a2 ¡ 9 = 0 рiзнi i обидва додатнi?
Д7. Знайти всi значення параметра a; при яких рiвняння (a¡2)x2 ¡2(a+ 3)x+4a = 0 має два коренi, якi задовольняють умову: а) x1 < 2; x2 > 3;
б) x1 < 3; x2 > 2:
Д8. При яких значеннях параметра a рiвняння x2+4x¡2jx¡aj+2¡a = 0 має чотири коренi?
Б1
1.Розкласти на множники:
1)a2(x ¡ 1) ¡ y(1 ¡ x);
2)3(x + y) + (x + y)2;
3)ax + ax+1;
4)acx2c + acxc;
5)ax2 ¡ cx2 ¡ cx + ax ¡ a + c;
6)12a2y2 ¡ 6ayc + 3ac2 ¡ 6a2yc ¡ c + 2ay;
7)(x + y)(x2 + y2) ¡ x3 ¡ y3;
8)a2b2(b ¡ a) + b2c2(c ¡ b) + c2a2(a ¡ c);
9)x3 + 9x2 + 11x ¡ 21;
10)x4 + y4 + z4 ¡ 2x2y2 ¡ 2x2z2 ¡ 2y2z2;
11)x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz:
2.Позбавитися iррацiональностi в знаменнику:
|
p |
|
|
; |
2) |
|
2 |
|
|
; |
3) |
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||
1) |
4 |
|
p |
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p |
5 |
|
|
|
5+ |
|
6 |
|
|
2 |
|
3 |
¡ |
|
3 |
|
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Спростити вираз:
1) |
a + x ¡ |
a2+x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a¡x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) |
|
|
y |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3y |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x¡2 |
6xy+9x¡4y¡6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
x |
+ 1 |
´ |
|
|
|
1 |
2x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
1¢ 4x ¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
³x 2 |
|
|
|
|
|
|
3y |
|
|
|
|
|
y2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4) |
³ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡b |
|
|
|
|
|
´ |
¢ ³ |
|
¡ |
|
´ |
|
|
||||||||||||||
a2 |
2x |
¡ |
y |
2 |
|
¡ |
4x2 |
8c2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2x+y |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
5) |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(a¡b)(a¡c) |
(b¡a)(b¡c) |
(c¡a)(c¡b) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
p |
3 |
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
¡ |
4p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7) |
9 ¡ |
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8) |
a7=12 |
|
|
x5=6 |
|
: a |
2=3 |
|
|
|
|
|
3=4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
p |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
x |
|
|
¢ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9) |
(a |
0:5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0:25 |
|
|
|
0:5 |
|
|
|
0:5 |
¡ (ax) |
0:25 |
0:5 |
); |
||||||||||||||||
|
+ (ax) |
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
) ¢ (a |
|
|
|
+ x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
10) |
|
|
|
|
|
0:5 |
|
|
|
|
|
|
|
0:5 |
|
|
|
(ax)0:5 |
|
|
|
0:5 |
|
0:5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
a¢a0:5 |
+x¢0x:5 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
+x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
+x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ ¢ ³ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
³ |
|
a4=3 8a1=3b |
¡ |
: (1 |
|
|
|
) |
|
|
|
¡ |
2=3´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) |
|
|
|
3 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2=3 |
+2 |
p |
ab |
+4b2=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1=2 |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
¡ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
px |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
12) |
x + (x ¡ 1) |
|
|
|
|
+ |
|
|
1 ¡ px2¡1 |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x ¡ px2 ¡ 1 |
|
|
|
|
x(x2 ¡ 1)¡1=2 |
+ 1 |
|
|
(x ¡ x1 )¡1=2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Спростити вираз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(p4 |
|
|
+ p4 |
|
|
|
)2 + (p4 |
|
|
¡ p4 |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
m |
n |
m |
n |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(m ¡ n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pm3 ¡ pn3 |
¡ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
x ¡ y |
|
|
|
|
|
|
x1=2y1=4 + x1=4y1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1=4y¡1=4 |
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3=4 + x1=2y1=4 ¢ |
|
|
|
|
|
|
x1=2 + y1=2 |
|
|
|
¢ x1=2 ¡ 2x1=4y1=4 |
+ y1=2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Нехай D = |
b2 |
+ |
a3 |
|
|
|
|
0; x = |
3 |
|
|
|
|
|
|
b |
+ p |
|
+ |
3 |
|
|
|
b |
|
|
p |
|
Обчислити |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
D: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¸ |
|
q¡ |
q¡ |
¡ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 + ax + b: |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6. Розв’язати рiвняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
¡ 4x ¡ 1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1) |
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2) |
2x + 3x + 7 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3) |
3x2 + 9x + 1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4) |
2x4 + x2 ¡ 3 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5) |
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
(x |
3¡ 1)(x2 |
¡ 2)(x ¡ 3)(x ¡ 4) = 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
x |
|
|
¡ |
2x |
|
|
¡ |
4x + 1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= ¡2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8) |
xx+1+1 + xx |
+22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
¡14 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20(xx+1¡2 )2 ¡ 5(xx+21 )2 |
+ 48xx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
= 1; |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10) |
|
|
|
2x |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3x2¡x+2 |
3x2+5x+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11)j2x ¡ 1j + jx + 1j = 1;
12)j1 ¡ xj + j3x ¡ 1j = 2;
13)jx2 ¡ 3j + 2 = 0;
14)j5 ¡ 4x ¡ x2j + x ¡ 5 = 0:
10