Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MathAnalysis2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

539.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

ЗАНЯТТЯ 19

ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ В ТОЧЦI (ПРОДОВЖЕННЯ)

Контрольнi запитання

1.Теорема про границю суми, рiзницi, добутку та частки функцiй.

2.Таблиця основних границь.

А19

1. Знайти границi:

+ p3

+ p4

;

lim

;

x +

0 p5

! 1

2x + 1

+ 5x ¡ (1 + x)

px ¡ pa + px ¡ a

lim

;

lim

px ¡ 1

де m; n

x!a

px2 ¡ a2

x!1

px ¡ 1

lim

x +

x + p

;

x!+1

µq

lim

x!+1

x + 3x ¡ x ¡ 2x´:

2. Довести рiвностi:

lim sin x = sin x0;

lim cos x = cos x0;

x!x0

lim tg x = tg x ; x

+ ¼n; n

x!x0

0 6

3. Обчислити границi:
1)	lim	sin 3x		;

	x!¼ sin 4x
2)	lim	1 ¡ cos 3x				;
	x!0		4x2
		p			¡ p
3)	lim		1 + tg x				1 + sin x	;

	x!0					x2
Д1. Обчислити границi:
1)	lim	sin mx

	x!¼ sin nx ; де m; n 2 N;

lim(1

x) tg

¼x

;

x 1

sin 5x ¡ sin 3x

lim

;

x!0

lim

arcsin x

x!0

sin x

1 ¡ cos xp

lim

cos 2x

cos 3x

x!0

Д2. Знайти сталi a1, a2, b1, b2 з наступних умов:

x!¡1 ³p				´	= 0;
x!¡1 ³p	x		¡ x + 1 ¡ a1x ¡ b1	´	= 0;
lim		2
			61

lim

x!+1 ³px ¡ x + 1 ¡ a2x ¡ b2´ = 0:

Б19

1. Знайти границi:

x +

x + p

lim

9 + 2x

¡ 5

;

lim

;

px + 1

! 1

lim

1 + x ¡ 1

lim

1 + 2x

;

де

x!4

px ¡

8 + 3x

lim

;

lim

;

x!¡8

2 + p3 x

x + x p3

lim

27 + x ¡

27 ¡ x

;

x + 13

x + 1

10)

lim

;

x!3

¡ 9

+ 2p

lim

px ¡ 6 + 2

;

11)

lim

1 + x ¡

1 ¡ x

;

x!¡2

x3 + 8

x!0

p1 + x ¡ p1 ¡ x

¡ 2

¡ p3

;

lim

;

12)

lim

x + 2

x + 20

x ¡ 4

x + 9 ¡ 2

13)

lim

p1 + ax ¡ p1 + bx

;

де

m; n

14)

x!+1

(x + a

)(x + b)

;

lim

¡ (1 + x)

;

15)

lim

1 ¡ 2x ¡ x

16)

x!0

x + x + x´;

x!+1

x + 2x ¡ 2

lim

17)

lim

x!0+

rx ¡ ux ¡ sx

18)

x!1 ³p

¡ p

´:

+ x

+ 1

x ¡ x

+ 1

lim

3. Обчислити границi:

lim

sin 3x

;

10)

lim

sin 4x

;

x!0 sin 2x

x!0 px + 1 ¡ 1

lim

sin 7x ¡ sin 2x

;

11)

lim

x sin x

;

sin x

cos 2x

x!0

0 tg2 x + 1

tg x ¡ sin x

lim

;

lim

tg x

;

x 0

12)

sin

lim

1 ¡ cos3 x

;

2 sin

x ¡ 1

x!0 x ¡ sin 2x

13)

lim

p2 cos x ¡ 1

;

lim

tg(x ¡ 1)

;

1 ¡ tg

x!1

x2 ¡ 1

tg x

lim

cos 3x

;

14)

lim

;

0 arcsin x

x!0

x tg 2x

1 ¡ sin x

lim

;

1 ¡ pcos x

15)

lim

;

x!0

1 ¡ cos px

arctg(x

¢+ 3x)

sin

16)

lim

;

lim

;

arcsin 2x

x!0

sin x ¡ cos x

lim

cos 2x

;

17)

lim

;

1 ¡ tg

x sin x

x 0

lim

sin(x ¡ 2)

+ 2

2)¡2

;

x2 ¡ 4

19) x!2

ЗАНЯТТЯ 20

ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ У ТОЧЦI (ПРОДОВЖЕННЯ)

Контрольнi запитання

1.Теорема про границю суми, рiзницi, добутку та частки функцiй.

2.Таблиця основних границь.

А20

1. Знайти границi :

¡ 1

x¡1

lim

; де a > 0;

x+1

lim

;

x a

µx2 + 1

x!1

ln(1¡

+ 3x)

+ 1

lim

;

lim

;

x!¡1 ln(1 + 2x)

µx2 ¡ 2

x!1

10)

lim

ln(1 + 3x)

;

lim

1 + tg x

sin x

x!+1 ln(1 + 2x)

1 + sin x¶

;

loga x

x!0

11)

lim

; де " > 0;

lim

cosn

;

x!+1

n!1

12)

lim

ln(x2 + ex)

;

ln(x

¡ x + 1)

lim

;

x!0 ln(x4 + e2x)

x!+1 ln(x10 + x + 1)

ln(x2 + ex)

lim

ln cos ax

;

13)

lim

;

x!+1 ln(x4

+ e2x)

ln cos bx

x 0

ln(1 + x)

lim

p1 + x sin x ¡ 1

lim

;

14)

x!0

x 0

2. Побудувати графiки функцiй:

y = nlim

p1 + xn; x ¸ 0;

y = nlim

s1 + xn +

; x ¸ 0;

y = nlim

ln (2n + xn)

; x ¸ 0:

Д1. Знайти границю

(x2 ¡ 5x + 6)(x2 ¡ 5x + 8) ¡ (x ¡ 2)(x ¡ 3) lim (x2 ¡ 1)x(x + 2) ¡ 24 :

x!2

Д2. Нехай для функцiї f : R ! Rnf0g

x! x0 µ	jf(x)j¶
lim f(x) +	1	= 0:

Знайти lim f(x): x!x0

Д3. Нехай f(x) ! 0; x ! 0. Довести, що f(x) + f(2x) ! 0; x ! 0. Навести приклад, який показує, що обернене твердження, взагалi кажучи, не виконується.

Б20

1. Знайти границi:

1¡p

1 + x

sin x

lim

1¡x

11)

lim

x¡a

;

x!0 µ

2 + x

;

x!a µsin a ¶

x 1 2 + x

;

! ³

tg 2´x

1 + x

1¡px

12)

lim

cos x

;

lim

cos 2x

;

! µ

13)

lim (tg x)

1¡

1 + x

lim

1¡x

;

14)

lim (sin x)tg x;

2 + x

x!+1

;

15)

4 ¡ x´´

ctg x

xlim

22x+ x1

x!0 ³tg ³

!1 µ

lim

sin

+ cos

n + x

lim

;

16)

x!1

¶ ;

n!1 µn ¡ 1

lim(cos p

17)

;

lim sinn

2¼n

;

x!0

¼ +

+ x

;

x!+1 µ2x + x + 1

n!1

3n + 1

´´

tg 2x

18)

lim

¡ x + 1

;

! 4

19)

lim sh x;

lim

!1 µ

¡ 3x ¡ 2

20)

+ 2x

x!0

x + 1

xlim

;

lim

x ln

;

x + a

! 1

lim

;

21)

lim

ln x

ln a

;

x!1 µx ¡ a¶

x!a

¡ a

10)

lim(1 + sin ¼x)ctg ¼x;

22)

lim

(sin ln(x + 1)

sin ln x);

! 1

100 + x

26)

lim(x + ex)x

;

23)

xlim lg 1 + 100x2 ;

x!0

nlim

ln(2 + e

)

27)

n( px ¡ 1); де x > 0;

24)

lim

;

x!+1 ln(3 + e

)

lim

+ b

+ c

lg(1 + p

+ p3

)

28)

x!0 µ

;

25)

lim

;

x!+1 lg(1 + p3 x + p4 x)

де a;

c 2 (0; +1):

2. Знайти границi:

lim

ln(1 + xex)

;

x!0 ln(x + p1 + x2)

xx2+1

2)lim(2e1+x ¡ 1) x ;

x!0

lim

e¡

;

100

x!0 x

x lim

(

1 + x + x

¡ 1 ¡ x + x );

!¡1 p

lim (

1 + x + x

x + x ):

x!+1

3. Побудувати графiки функцiй:

y = lim

xn ¡ x¡n

; x = 0;

n!1 xn + x¡n

lim

;

y = n!1 q

y = nlim (x ¡ 1) arctg x :

ЗАНЯТТЯ 21

ОДНОСТОРОННI ГРАНИЦI. ВIДНОШЕННЯ "О", "о" ТА ЕКВIВАЛЕНТНОСТI

Контрольнi запитання

1.Означеня одностороннiх границь.

2.Означення вiдношення "О".

3.Означення вiдношення "о".

4.Означення вiдношення еквiвалентностi.

5.Означення головної частини функцiї вiдносно шкали порiвняння.

6.Означення порядку одної функцiї вiдносно iншої.

А21

1. Знайти одностороннi границi функцiї f(x) =	sin x	,	x 6= 0; при x ! 0.
	jxj

2.Чи має функцiя f(x) = cos ¼x , x 6= 0, одностороннi границi при x ! 0?

3.Довести наступнi твердження:

x sin x1 = O(jxj); x ! 0;

x ln x = o(ex); x ! +1;

arctg x1 = O(1); x ! 0;

xln x = o(ex); x

+ ;

ln2x = o(¡x

¢ ! 1

!21

ln x = o x¡"

; x

0; " > 0;

x = o(x2); x

! 1

;

x ); x

+ ; " > 0;

ln x 6= O (o(ln x )); x ! +1;

x = o(e ); x ! +1;

10) r

» p8

x + q

x + p

x; x ! 0;

11)x + x + px » px; x ! +1;

12)x2 + x ln100 x » x2; x ! +1:

4.Визначити головну частину функцiї f вiдносно шкали порiвняння

fx® j ® > 0g при x ! 0; якщо: p p

1) f(x) = 2x ¡ 3x3 + x5; 2) f(x) = 1 + x ¡ 1 ¡ x:

5. Визначити головну частину функцiї f(x) = x3 ¡3x+2 вiдносно шкали порiвняння f(x ¡ 1)® j ® > 0g при x ! 1.

6.	Визначити	головну частину		функцiї f вiдносно шкали порiвняння
©		ª		2) f(x) = px + 1 px:
x¡® j ® > 0		при x ! +1;		якщо:
		x + 1
		x + 1			¡
	1) f(x) =		;
	1) f(x) =	x4 + 1	;
7.	Знайти порядок вiдносно функцiї ¯(x) = x при x ! 0 функцiї

f(x) = tg3 x + x4:

8. Знайти порядок вiдносно функцiї ¯(x) =				1		при x ! 3 функцiї
8. Знайти порядок вiдносно функцiї ¯(x) =				x¡	3	при x ! 3 функцiї
	p3
f(x) =	p3	(x¡3)2	:
f(x) =	sin ¼x		:

Д1. Нехай g(x) ! +1 при x ! +1 i f(x) = o(g(x)) при x ! +1. Довести, що ef(x) = o(eg(x)) при x ! +1.

Д2. Нехай f(x) = o(g(x)); x ! 0: Довести, що iснує функцiя h така, що f(x) = o(h(x)); x ! 0 i h(x) = o(g(x)); x ! 0.

Д3. Чи

iснує функцiя

f :

f(x) > 0; x = 0; така, що

f(x) = o(x ); x ! 0 для кожного n 2 N?

Б21

1. Знайти одностороннi границi наступних функцiй при x ! x0:

f(x) =

(

x + 1;

якщо x · 2;

x0 = 2;

2x + 1;

якщо x > 2;

f(x) =

x3 ¡ 1

; x = 1; x

= 1;

jx ¡ 1j

f(x) =

; x = 0;

1 ¡ cos 2x

= 0;

x x

f(x) =

; x 6= 3; x0 = 3;

(x ¡ 3)3

f(x) = x +

; x 6= 2; x0 = 2;

(

1 + 2

2¡x

f(x) =

якщо x < 1;

¡2x;

якщо x ¸ 1;

x0 = 1;

f(x) =

;

якщо x < 0;

8x ¡ 2

>1;

якщо x = 0;

x0 = 0;

>0;

якщо x > 0;

8)	f(x) =		cos x			; x 6= 0;	x0 = 0;
			1
		3 ¡ 2
				sin x
9)	f(x) =		tg x		; x 6= 0; x0 = 0:
			x2 ¡ 3x
2. Довести рiвностi:							2) x sin px = O(x2 ); x ! 0;
1)	2x ¡ x2 = O(x); x ! 0;
								3

3.Довести рiвностi:

1)2x ¡ x2 = O(x); x ! 0; 4) x + x2 sin x = O(x2); x ! +1; p 3

2)x sin x = O(x2 ); x ! 0; µ ¶ x + 1 µ1 ¶ arctg x 1

3)x2 + 1 = O x ; x ! +1; 5) 1 + x2 = O x2 ; x ! 1;

6)(1 + x)n = 1 + nx + o(x); x ! 0; де n 2 R;

7)2x3 ¡ 3x2 + 1 = O(x3); x ! +1;

f(x) = p

¡ 2p

+ p

;

2) f(x) = p

sin x1 :

x + 2

x + 1

Визначити головну частину

функцiї f вiдносно

шкали

порiвняння

1)¡®

3) f(x) =

1 ;

® > 0

при x

1; якщо:

f(x) =

;

sin ¼x

¡ 1

f(x) =

ln x

f(x) = r

1 + x

;

(1 ¡ x)

1 ¡ x

x ! 0

5. Знайти порядки вiдносно функцiї

¯(x)

при

наступних функцiй:

f(x) = tg qxpx;

p1 + x 1

f(x) = p3

sin x

;

f(x) = ln

¶;

p1 + x

µ1 ¡ 2

f(x) =

;

sin x

f(x) = x + p3

;

sin x

1 + 2x

1 ¡ x;

f(x) = tg x ¡ sin x;

f(x) = p

¡ p3

f(x) =

1 ¡ 2x ¡

1 ¡ 3x:

Знайти порядки вiдносно функцiї

¯(x)

при x

! +1

наступних функцiй:

f(x) = p

f(x) = x3 + 2x

f(x) =

px + px;

3 ¡

x ¡

3x2

);

f(x) =

;

ln(2 + e

2x + x2

f(x) =

3 +

Знайти порядки вiдносно функцiї

¯(x)

при

наступних функцiй:

f(x) = 3x2 + 5x

f(x) =

1);

x1 ¡ x;

f(x) = ln (x + x

f(x) = p

Знайти порядки вiдносно функцiї

¯(x) =

при

! 1

наступних функцiй:

f(x) = x4 ¡ 1;

f(x) = r1 x;

1 + x

f(x) =

sin x

;

f(x) =

sin ¼x

1 ¡ x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.20193.39 Mб1Massspectrom_Lazer.doc
#
03.09.20192.32 Mб21master GOS otvety.doc
#
26.11.20181.6 Mб4Master-1st grade.doc
#
14.09.20195.44 Mб50MAS_YaMR_ICh.doc
#
20.11.201829.73 Кб6Match_the_English_cinema_words_with_their_Ukrai....docx
#
07.03.2016539.4 Кб7MathAnalysis2015.pdf
#
07.03.20161.97 Mб30mat_metody_Nasledov.docx
#
09.12.20183.27 Mб27mat_model.doc
#
19.03.201514.21 Mб263Mech-Slobod.pdf
#
19.03.20154.07 Mб36mediapravo_ispit.pdf
#
24.08.2019230.4 Кб2MEDIKO-sotsialni_aspekti_nayvazhlivishikh_khvor...doc