Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MathAnalysis2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

539.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Д2. Довести, що дотична до логарифмiчної спiралi r = aem', де a; m –

фiксованi, утворює сталий кут з радiусом-вектором точки дотику. x

Д3. Нехай a > 0. Графiк функцiї y = a ch a; x 2 R, називається

ланцюговою лiнiєю. Записати рiвняння нормалi до графiка цiєї функцiї у точцi M(x0; y0). Знайти довжину вiдрiзка MK, де K – точка перетину цiєї нормалi з вiссю абсцис.


					Б26
1.	Нехай 0 < " < 1. Довести, що функцiя g(y) = y ¡ " sin y; y 2 R;
має обернену функцiю. Знайти похiдну оберненої функцiї.
2.	Вказати iнтервали, на яких наступнi функцiї мають оберненi функцiї.
Побудувати графiки обернених функцiй i знайти їх похiднi, якщо:
	1)	y = 2x2 ¡ x4;		2) y =		x2	;	3) y = 2e¡x ¡ e¡2x:
		y = 2x2 ¡ x4;		2) y =		1 + x2	;	3) y = 2e¡x ¡ e¡2x:
						1 + x2
3.	Знайти похiднi функцiй, заданих параметрично:
	1)	x = sin2 t;	y = cos2 t; t 2		³0; 2 ´		;
					¼
	2)	x = a cos t;	y = a sin t; t 2 (0; ¼);

3)x = a(t ¡ sin t); y = a(1 ¡ cos t); t 2 R:

4.Знайти похiдну y0(x) наступних функцiй, заданих у неявному виглядi:

1)y2 = 2px (парабола);


2)	x2		+		y2	= 1 (eлiпс);
		a2			b2

				y
3)	arctg					= ln px2 + y2 (логарифмiчна спiраль).

				x

5. Нехай (r; ') - полярнi координати, x = r cos '; y = r sin '. Знайти похiдну y0(x); якщо:

1) r = a(1 + cos ') (кардiоїда);

2) r = aem' (логарифмiчна спiраль).

6. Записати рiвняння дотичної до графiка функцiї y = sin x ¡ cos x, в точцi x = ¼:

7. Пiд якими кутами перетинаються графiки наступних функцiй: 1) y = sin x i y = cos x; 2) y = 1=x i y = px ?

8. При яких значеннях незалежної змiнної дотичнi до графiкiв функцiй y = x2 i y = x3 перпендикулярнi?

ЗАНЯТТЯ 27 ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ. ДИФЕРЕНЦIАЛ

Контрольнi запитання

1.Означення диференцiйовностi функцiї в точцi.

2.Означення диференцiалу функцiї в точцi.

3.Геометричний змiст диференцiалу.

4.Критерiй диференцiйовностi функцiї в точцi.

					А27
1.	Знайти диференцiали:
	1)	d (sin x	¡	x cos x);	2)	d(4x ¡ 2x ¡ 1)	:
						d(2x)

2.	Записати повний прирiст та диференцiал функцiї f(x) = x3; x 2 R,

у точцi x0 = 1. Обчислити та порiвняти їх значення при таких значеннях
приросту аргумента: 1) ¢x = 1; 2)	¢x = 0; 1; 3) ¢x = 0; 01.
3. Замiнити повний прирiст функцiї	диференцiалом i знайти наближене

значення arctg 1; 01.	Порiвняти з точним значенням 0; 79037:::
(¼ ¼ 3; 1416).	p

4.Знайти наближене значення 2 cos 46o. Порiвняти з точним значенням

0; 982395::: (¼ ¼ 3; 1416).

5.Довести, що наступнi функцiї недиференцiйовнi:

1)f(x) = jx ¡ 1j у точцi x = 1; p

2)f(x) = 3 x ¡ 1 у точцi x = 1.

Чи iснують однобiчнi похiднi в точках недиференцiйовностi?

6. Знайти похiднi, побудувати графiки наступних функцiй та їх похiдних:

1) y = jxj;	2) y = xjxj;				3) y = ln jxj:
7. Довести, що функцiя
	1
y =	8x2 sin		;	якщо x 6= 0;
y =	8x2 sin	x	;	якщо x 6= 0;
	:			якщо x = 0;
	<0;			якщо x = 0;

має похiдну на R. Дослiдити неперервнiсть цiєї похiдної.

8. Навести приклад неперервної на R функцiї, яка не має похiдної в заданих точках a1; a2; : : : ; an.

Д1. Дослiдити диференцiйовнiсть функцiї							2 R Q:
f(x) =				( x2;	якщо x		2 R Q:
				x2;	якщо x		Q;
Д2. Довести, що функцiя				¡			2 n
Д2. Довести, що функцiя
1					1			1
f(x) = 8	p		;	якщо		· jxj <			; n 2 N;
					n + 1			n
		n			n + 1			n
<0;				якщо x = 0:
недиференцiйовна у:точцi 0.

Д3. Знайти диференцiал функцiї y = y(x), заданої у полярнiй системi координат рiвнянням r = a(1 + cos '); 0 < ' < ¼, в точцi (0; a).

Д3. Для яких значень параметра n 2 Z функцiя

			1
		y =	8xn sin		;	якщо x 6= 0;
		y =	8xn sin	x	;	якщо x 6= 0;
	R		<0;			якщо x = 0;
1) неперервна на		; 2)	:
Д4. Чи можна	твердити, що сума					функцiй f та g не має похiдної

уточцi x0, якщо:

1)функцiя f має похiдну у точцi x0, а функцiя g не має похiдної у цiй точцi?

2)обидвi функцiї f; g не мають похiдної в точцi x0?

Д5. Чи можна твердити, що добуток функцiй f та g не має похiдної

уточцi x0, якщо:

1)функцiя f має похiдну у точцi x0, а функцiя g не має похiдної у цiй точцi?

2)обидвi функцiї f; g не мають похiдної в точцi x0?

Розглянути приклади:

1)f(x) = x; g(x) = jxj;

2)f(x) = jxj; g(x) = jxj; де x0 = 0.

						Б27
1.	Знайти:					d(sin x)				d(tg x)
	1)	d(x3 ¡ 2x6 ¡ x9)	;	2)		d(sin x)	;	3)		d(tg x)	:
	1)	d(x3)	;	2)	d(cos x)		;	3)	d(ctg x)		:
		d(x3)			d(cos x)				d(ctg x)
2.	Нехай формула x = 5t2, де час t вимiрюється у секундах, a шлях x

у метрах, задає рiвняння руху. Для моменту часу t = 2 сек. визначити прирiст шляху ¢x i диференцiал шляху dx, якщо:

1)	¢t = 1 сек.;	2)	¢t = 0; 1 сек.;	3)	¢t = 0; 01 сек.
3. Знайти наближенi значення
1)	sin 29±;	2)	cos 151±;	3)	lg 11

за допомогою замiни приросту функцiї диференцiалом. Порiвняти з точними значеннями.

4. Знайти похiднi i побудувати графiки функцiй та їх похiдних:

1)	y =	(1 ¡ x)(2 ¡ x);				якщо 1 · x · 2;
	(	(2	¡	x);		якщо x > 2;
		¡	¡
2)		x;			якщо x < 0;
2)	y = (ln(1 + x);				якщо x		¸		0;
		x2e¡x2;					¸
3)	y =	x2e¡x2;			якщо	x	· 1;
	(	1 ;			якщо jxj		> 1:
		e				j j
5. Довести, що функцiя							¼
					<	¯	¼		¯
					<	¯			¯
				y =	8x2	¯cos		x	¯; якщо x 6= 0;
					0;	¯			¯	якщо x = 0;

будь-якого околу точки 0, але iснує похiдна f

(0).

не має похiдної в точках :

6. Дослiдити диференцiйовнiсть наступних функцiй:

якщо x 6= 0;

1)2;

3) y =

1) y = 5 (x

8x sin x

;

<0;

якщо x = 0;

2) y = j ln xj;

4) y =

8x arctg

;

якщо x 6= 0;

якщо x = 0:

<0;

7. Дослiдити диференцiйовнiсть наступних функцiй. Чи iснують
одностороннi похiднi у точках недиференцiйовностi?
	p		1

1)	y = 1 ¡ cos 2x;	3)	y = arccos		;
				x
2)	y = ln jx2 ¡ 4x + 3j;	4)	y = arcsin p				:
						1 ¡ x2
		84

ЗАНЯТТЯ 28

ПОХIДНI ТА ДИФЕРЕНЦIАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ

Контрольнi запитання

1.Означення похiдних вищих порядкiв.

2.Похiднi порядку n; n 2 N; для функцiй x®; x > 0 (® 2 R);

ax; x 2 R (a > 0); sin x; x 2 R; cos x; x 2 R; ln x; x > 0:

3.Формула Лейбнiца для старших похiдних вiд добутку.

4.Означення диференцiалiв вищих порядкiв.

А28

1. Знайти другу похiдну таких функцiй:

1) y = e¡x;

2) y = (1 + x2) arctg x:

2.Нехай u : A ! (0; +1) та v : A ! R двiчi диференцiйовнi на множинi A функцiї. Знайти другу похiдну функцiї y = uv.

3.Знайти d2(p1 + x2).

Нехай x(t) = 2t

t2;

y(t) = 3t

t3. Знайти похiднi

2 ¡

;

d y

;

1+x

Знайти похiдну порядку 100 функцiї y = p1¡x .

Знайти похiдну n-го порядку таких функцiй :

1) y =

;

2) y = cos2 x; 3) y = (x2 + 2x + 2)e¡x:

3x + 2

¡n

Нехай y = x

, де n – натуральне число. Знайти d y.

Знайти f(n)(0), якщо:

1) f(x) =

;

f(x) =

(1 ¡ 2x)(1 + x)

1 ¡ x

Д1. Знайти похiдну n-го порядку функцiї y = arctg x.

Д2. Нехай функцiя f : A ! R двiчi диференцiйовна у точцi x0 2 A. Довести, що

lim	f(x0 + ¢x) + f(x0 ¡ ¢x) ¡ 2f(x0)	= f00(x0):
	(¢x)2
¢x!0

Навести приклад, коли границя у лiвiй частинi цiєї рiвностi iснує, але функцiя f не має похiдної другого порядку у точцi x0.

Б28

Знайти другу похiдну таких функцiй:

y = xp

;

4) y = tg x;

1 + x2

y =

;

arcsin x

5) y = p

;

y = e¡

x2¡

1 ¡ x

;

y = x ln x:

Нехай u : A

R та v :

R двiчi диференцiйовнi на множинi A

функцiї, u(x)v(x) > 0; x 2 A. Знайти другу похiдну функцiї y = ln v .

ln x

Знайти d

Знайти d3

¡ p1

¢.

d 2y

d 3y

5. Знайти похiднi

;

наступних функцiй, заданих параметрично:

x = a cos t;

y = a sin t;

x = a(t ¡ sin t);

y = a(1 ¡ cos t).

Знайти похiдну порядку n наступних функцiй:

y =

; n = 8;

y =

; n = 10;

1 ¡ x

3)y = sin x sin 2x sin 3x; n = 10:

7.Знайти d10(x cos 2x).

8.Знайти похiдну n-го порядку таких функцiй:

		x		4)	y = sin4 x + cos4 x;
1)	y = p3		;
		1 + x				x
2)	2			5)	y =	e	;

	y = sin x;			6)		x
3)	y = cos ax cos bx;				y = ex sin x:

9.Нехай y = lnxx , n – натуральне число. Знайти dny.

10.Знайти f(n)(0), якщо:

1) f(x) = x2eax;				2) f(x) = eax cos bx:
11. Довести, що функцiя		8	1
		8	1
	f(x) =		exp µ¡		¶;	якщо x 6= 0;
	f(x) =		exp µ¡	x2	¶;	якщо x 6= 0;
		<0;				якщо x = 0;
нескiнченно	диференцiйовна у точцi x = 0.
нескiнченно		:
			86

ЗАНЯТТЯ 29

КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ В ТОЧЦI. ПОХIДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Завдання iндивiдуальнi. Зразок варiанта

За означенням границi функцiї в точцi довести, що

lim

= p

;

x x0

Обчислити:

1) lim

¡ 1

;

lim

x!1 p5 x ¡ 1

x!+1

µsin x

+ cos x

Знайти точки розриву та визначити їх тип: f(x) = sin x

+ e1=(x¡1):

+arctg(1

sin x

Обчислити похiдну: f(x) =

¡ ln ¡

¢:

cos 2x

5.Обчислити похiдну порядку n: f(x) = x2 sin 4x:

6.Обчислити похiдну неявно заданої функцiї y = y(x): exy = x2 + y2:

РОЗВ’ЯЗКИ

1. Оскiльки

8 fx0; xg ½ [0; +1) : jp

¡ p

0j · p

;

jx ¡ x0j

то

8" > 0 9± = "2 8x 2 [0; +1) \ (x0 ¡ ±; x0 + ±) n fx0g :

¡ p

< p

= ":

0j ·

jx ¡ x0j

Таким чином, виконанi умови

означення Кошi границi функцiї в точцi.

2. 1) Маємо невизначенiсть типу 00 . Усунемо цю невизначенiсть алгебра-

їчними перетвореннями та

застосуємо теорему про арифметичнi дiї:

¡ ¢

¡ 1

= lim

(x ¡ 1)(x4=5 + x3=5

+ x2=5

+ x1=5 + 1)

lim

x!1

x ¡ 1

x!1

(x ¡ 1)(x2=3

+ x1=3

+ 1)

2) Маємо невизначенiсть типу (11). Зведемо задачу до застосування

x!1+

x!1¡

lim

1 + 1

= e:

спiввiдношення u!+1 ¡

u ¢

lim

sin

+ cos

x¶

x!+1

sin 1

+cos 1

µ µ

x ¡ ¶¶

1¢x³

x ¡

= x!+1

lim

1 + sin

+ cos

sin x +cos x ¡1

lim

= ex!+1 x³sin x +cos x ¡1´:

Оскiльки lim

sin u

= 1, то

u!0

sin(1=x)

¡2 sin2(1=2x)

lim

sin 1

¡ 1

lim

= 1:

x!+1

+ cos x

=x!+1

1=x

4x¢(1=2x)2

Остаточно,

lim

+ cos x´

= e:

x!+1³sin x

3. В усiх точках, крiм x = 0 та x = 1 функцiя неперервна за теоремами про арифметичнi дiї та суперпозицiю. Точка x = 0 є усувним розривом 1

роду, бо lim f(x) = lim f(x) = 1 + 1=e; f(0) не iснує. Точка x = 1 є x!0¡ x!0+

розривом 2 роду, бо lim f(x) = 0; lim f(x) = +1:

4. Користуючись таблицею похiдних та правилами диференцiювання, отри-

маємо: f0(x)

(2x+

1+(1 x)2

¢(¡1))¢

2x¡(x

+arctg(1¡x))¢

cos x¢cos 2x¡sin x¢(¡2 sin 2x)

¡arctg(1¡x)

cos 2x

1+(1¡x)2

sin x ¢

cos2 2x

2xp

¡ctg x¡2 tg 2x:

5. Використовуючи формулу Лейбнiца, отримаємо:

f(n)(x) =

Ck(x2)(k)

(sin 4x)(n¡k): Враховуючи, що (x2)(k) = 0; k

3; отримаємо f(n)(x) =

Cnk(x2)(k)(sin 4x)(n¡k) = Cn0x2(sin 4x)(n) +

k=0

1 2

P2 2

Cn(x

)0(sin 4x)

+ Cn(x )00(sin 4x)

(n)

(n 1)

n(n¡1)

2 n

(sin 4x)

+n2x(sin 4x)

2(sin 4x)

= x 4

sin 4(x¡

¼n

n 1

¼(n¡1)

) +

n(n¡1)

¼(n¡2)

) + 2nx4

¡ sin 4(x ¡

2 ¢ 4 sin 4(x ¡

6. Диференцiюємо цю рiвнiсть: exy(y + xy0) = 2x + 2yy0

: Виражаючи

звiдси похiдну, отримаємо: y0 =

2xyx¡yexy :

e x¡2y

ПРОГРАМА КУРСУ "МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛIЗ" ДЛЯ СТУДЕНТIВ СПЕЦIАЛЬНОСТI "МЕХАНIКА".

I КУРС, I СЕМЕСТР

Лекцiй – 60 годин Практичних занять – 60 годин

ВИБРАНI ПИТАННЯ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

Перетворення виразiв, що мiстять операцiї додавання, вiднiмання, множення, дiлення, пiднесення до степеня, логарифмування. Розв’язання алгебраїчних, iррацiональних, логарифмiчних та показникових рiвнянь, нерiвностей, систем рiвнянь. Перетворення тригонометричних виразiв, розв’язання тригонометричних рiвнянь та нерiвностей. Розв’язання рiвнянь та нерiвностей з параметром. Метод математичної iндукцiї. Арифметична та геометрична прогресiї. Властивостi функцiй: множина визначення, парнiсть, непарнiсть, перiодичнiсть. Графiки основних елементарних функцiй. Елементарнi перетворення графiкiв функцiй. Побудова геометричних мiсць точок. Полярна система координат.

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРIЇ МНОЖИН. ДIЙСНI ЧИСЛА

Логiчнi символи. Поняття множини. Операцiї над множинами. Правила де Моргана. Декартiв добуток множин. Загальне поняття вiдображення. Образ, прообраз, графiк. Сюр’єкцiя, iн’єкцiя, бiєкцiя. Суперпозицiя вiдображень. Обернене вiдображення.Рiвнопотужнi множини. Злiченнi множини та їх властивостi. Приклад незлiченної множини. Означення дiйсного числа, порiвняння дiйсних чисел. Числова пряма. Нерiвнiсть Кошi-Буняковського. Нерiвнiсть Кошi мiж середнiм геометричним та середнiм арифметичним.

ГРАНИЦЯ ПОСЛIДОВНОСТI

Означення границi числової послiдовностi. Приклади. Теорема про єдинiсть границi послiдовностi. Властивостi збiжних послiдовностей. Теорема про три послiдовностi. Теорема про арифметичнi дiї над границями послiдовностей. Теорема Тьоплiца про регулярне перетворення послiдовностi. Теорема Штольца, приклади застосування. Монотоннi послiдовностi. Теорема про збiжнiсть монотонної обмеженої послiдовностi, приклади застосування. Лема про вкладенi вiдрiзки. Число e. Пiдпослiдовностi. Частковi границi. Теорема про характеризацiю часткової границi. Теорема про iснування монотонної пiдпослiдовностi.

Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Теорема про iснування найбiльшого i найменшого елемента у множинi часткових границь. Верхня i нижня границi послiдовностi. Теорема про характеризацiю верхньої та нижньої границь послiдовностi. Обмеженi числовi множини. Точнi верхня i точна нижня межi. Теорема про iснування точних меж. Фундаментальнi послiдовностi та їх властивостi. Критерiй Кошi.

ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ В ТОЧЦI. НЕПЕРЕРВНI ФУНКЦIЇ

Гранична точка множини. Теорема про характеризацiю граничної точки. Означення Кошi границi функцiї у точцi. Приклади. Означення Гейне границi функцiї у точцi. Еквiвалентнiсть означень Кошi i Гейне границi функцiї у точцi. Властивостi границi функцiї у точцi. Одностороннi границi. Теореми про iснування границi функцiї у точцi. Вiдношення пiдпорядкованостi "О" та його властивостi, приклади. Вiдношення нехтування "о" та його властивостi, приклади. Вiдношення еквiвалентностi та його властивостi, приклади. Порядок однiєї функцiї вiдносно iншої. Шкала порiвняння, приклади. Головна частина. Єдинiсть головної частини. Асимптотичний розклад, приклад.

Неперервнi функцiї. Неперервнiсть справа i злiва. Класифiкацiя точок розриву функцiї. Теорема про арифметичнi дiї над неперервними функцiями, приклади. Елементарнi властивостi неперервних функцiй. Теорема про iснування i неперервнiсть оберненої функцiї. Приклади застосування. Визначнi границi. Перша та друга теореми Вейєрштрасса. Теорема про перетворення функцiї в нуль та теорема Кошi про промiжне значення, приклад. Означення рiвномiрної неперервностi та приклади. Теорема Кантора. Многочлени Бернштейна i теорема Вейєрштрасса про наближення многочленами неперервної на вiдрiзку функцiї.

ПОХIДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Означення похiдної, приклади. Фiзична iнтерпретацiя похiдної. Геометрична iнтерпретацiя похiдної. Правила обчислення похiдних. Похiдна суперпозицiї функцiй. Похiдна оберненої функцiї. Приклади обчислення похiдних. Одностороннi похiднi. Означення диференцiйовностi, диференцiал. Геометрична iнтерпретацiя диференцiала. Диференцiйовнiсть i похiдна. Правила диференцiювання. Iнварiантнiсть форми першого диференцiала. Похiднi вищих порядкiв. Формула Лейбнiца. Диференцiали вищих порядкiв.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.20193.39 Mб1Massspectrom_Lazer.doc
#
03.09.20192.32 Mб21master GOS otvety.doc
#
26.11.20181.6 Mб4Master-1st grade.doc
#
14.09.20195.44 Mб50MAS_YaMR_ICh.doc
#
20.11.201829.73 Кб6Match_the_English_cinema_words_with_their_Ukrai....docx
#
07.03.2016539.4 Кб7MathAnalysis2015.pdf
#
07.03.20161.97 Mб30mat_metody_Nasledov.docx
#
09.12.20183.27 Mб27mat_model.doc
#
19.03.201514.21 Mб263Mech-Slobod.pdf
#
19.03.20154.07 Mб36mediapravo_ispit.pdf
#
24.08.2019230.4 Кб2MEDIKO-sotsialni_aspekti_nayvazhlivishikh_khvor...doc