Mech-Slobod

351

сферичної оболонки. Оскільки середовище ізотропне і однорідне, то форма хвильового фронту залишатиметься сферичної як завгодно далеко від поверхні сферичної оболонки. Рівняння такої хвилі, яку називають сферичною за формою її хвильового фронту (сфера) та розбіжною за

напрямком її поширення (розбігається від центру хвильового фронту) можна подати вигляді

потік енергії через будь-яку замкнену сферичну поверхню, центр якої співпадає з центром хвилі

буде однаковим, Φ = const . Тоді з (8. 185) випливає, що середня густини потоку енергії в довільній точці простору є обернено пропорційною квадрату відстані r від центру хвилі до цієї

точки. Оскільки середня густини потоку енергії пропорційна амплітуді хвилі, то остання має

Аналогічно для збіжної сферичної хвилі (яка збігається до центру хвилі) залежність зміщення від часу та відстані до центру хвилі є

Рівняння розбіжної (8. 186) та збіжної (8. 187) сферичних хвиль є розв’язками хвильового рівняння (8.116). Для задач з центральною симетрією зручніше використовувати сферичні координати r ,ψ і θ . Для випадку ізотропного середовища й ізотропного випромінювача всі

352

напрямки від і до центру симетрії є еквівалентними і єдиною змінною залишається r . Відповідне

густина потужності якої рівномірно розподілена у просторі, густина потужності групи з двох хвиль утворює максимуми, що переміщуються в просторі з груповою швидкістю υãð = ddkω . Тому

іноді кажуть, що групова швидкість є швидкістю перенесення енергії групою хвиль.

8.2.5. Стоячі хвилі

Повернемось до лекційної демонстрації поперечних коливань горизонтально натягнутого гумового шнура, один кінець якого закріплено нерухомо, а другий починають періодично коливати у вертикальній площині. Одразу після початку коливань синусоїдальне збурення починає поширюватись вдовж шнура і деякий короткий час можна бачити ділянку, де шнур уже здійснює коливання, і незбурену прямолінійну ділянка. У момент досягнення збуренням точки закріплення, на всій довжині шнура можна бачити синусоїдальне відхилення. У наступний

353

момент можна помітити поширення коливного збурення у зворотному напрямку. Воно накладається на хвилю, яка розповсюджується від джерела коливань до закріпленого кінця шнура.

Добираючи частоту коливань незакріпленого кінця шнура і його натяг можна досягти ситуації, коли замість ясно видимого переміщення вздовж шнура синусоїдального розподілу відхилень ділянок шнура усякий рух вздовж шнура ділянок з максимальними та мінімальним

положення, причому існують точки, амплітуда коливань в яких дорівнює нулю. Їх називають

вузлами стоячої хвилі. Між ними розташовані точки, в яких коливання мають максимальну амплітуду. Вони дістали назву пучностей стоячої хвилі. Для пояснення переходу від біжучої

хвилі, в якій ділянки максимальних і мінімальних (нульових) відхилень переміщуються вздовж шнура, до стоячої хвилі, уявимо, що шнур нескінченно довгий. Тоді, якщо вважати шнур абсолютно пружним і знехтувати втратами механічної енергії на роботу проти дисипативних сил опору, робота, яку виконує змушувальна періодична сила прикладена до незакріпленого кінця шнура, буде йти на збільшення енергії шнура за рахунок залучення до коливного процесу нових ділянок шнура. При цьому фронт хвилі, якій в одномірному випадку вироджується в точку на межі між збуреними і незбуреними частинами шнура, може поширюватись як завгодно довго і як завгодно далеко. З цих міркувань наявність точки закріплення шнура видається суттєвою для виникнення стоячої хвилі. Звернемось до Рис. 8.17в,г, де показано як імпульси поперечного відхилення, що виникли після удару палицею посередині шнура, після досягнення закріплених кінців перетворюються на такі самі імпульси протилежної полярності, які розповсюджуються

354

назустріч один одному з тією ж самою швидкістю, що й раніше. Імпульси розминуться посередині шнура не змінюючи швидкості і «не помічаючи один одного»: лише відхилення шнура у місці їх зустрічі буде приблизно вдвічі більше, ніж у кожному імпульсі. По досягненні кінців шнура вони знову змінять полярність на протилежну і при зустрічі посередині шнура на короткий час відтворять початковий імпульс. Це відбудеться після того, як кожний імпульс пройде шлях,

що дорівнює подвоєній довжині шнура 2l за час = 2l /υ , який є періодом повторення цього

процесу. Внаслідок дисипації механічної енергії цей процес поступово припиниться.

Зцього досліду можна зробити такі висновки:

1)Має місце своєрідне відбивання імпульсу в точках закріплення на кінцях шнура, при якому зміщення елементів шнура по досягненню точки закріплення змінює знак на протилежний;

2)Імпульси поширюються по шнуру незалежно один від одного;

3)У тих ділянках шнура, яких імпульси досягають одночасно, зміщення додаються,

причому ці ділянки залишаються нерухомими відносно шнура, тобто імпульси

(відхилення), що виникають при додаванні біжучих назустріч один одному імпульсів стоять на місці і змінюють свій знак двічі на період.

Повертаючись до утворення стоячих хвиль з гармонійних біжучих хвиль можна очікувати,

що:

1) для поперечних зміщень (відхилень) елементів шнура в біжучій гармонійній хвилі має місце таке саме відбивання;

2) біжучі хвилі, які поширюються назустріч одна одній, є незалежні і не збурюють одна

одну:

3) зміщення цих хвиль додаються у кожній точці простору як вектори, результуючий розподіл зміщень залишається нерухомим і змінює свій знак на протилежний двічі на період.

Останні дві властивості свідчать про те, що для векторних полів зміщень, які виникають при проходженні пружних хвиль в деякій точці середовища, має місце їх суперпозиція (накладання),

356

З аналізу цього рівняння можна одержати основні характеристик стоячої хвилі, перелічені

нижче.

Всі ділянки шнура здійснюють гармонійні коливання з однаковою частотою ω .

Амплітуда цих коливань змінюється вздовж шнура.

Існують точки шнура, амплітуда коливань в яких дорівнює нулю. Положення цих точок

Між вузлами на таких же відстанях λ / 2 одна від одної розташовані пучності стоячої хвилі,

в яких амплітуда коливань максимальна і дорівняє сумі амплітуд прямої і відбитої хвиль 2a .

Положення цих пучностей визначається з умови A(z) = ±2a , тобто

знаку множника A(z) . Отже, коливання ділянок шнура, що лежать по різні сторони від вузла відбуваються в протифазі.

Конкретний вигляд розподілу амплітуди коливань в стоячій хвилі визначається довжиною l шнура (струни, стержня, трубки з газом чи рідиною тощо) і граничними умовами на кінцях.

Ясно, що біжуча хвиля, яка при своєму поширенні вздовж шнура повністю пройшла шлях l − z від довільної точки з координатою z до кінця шнура при z = l , відбилась від нього з приростом фази

α l , пройшла зворотний шлях l до кінця при z = 0 , відбилась від нього з приростом фази α 0 і

повернулась у вихідну точку з координатою z , набуде додаткової фази

яка визначає можливі довжини хвильλn = 2l / n , які можуть утворити стоячі хвилі на довжині шнура l за даних граничних умов. Оскільки λ = υT = υ /ν , то умова (8.sw5) визначає й частоти коливань частинок в стоячій хвилі

2l

Відповідні можливі розподіли амплітуди коливань для так званого основного тону при n = 0 та двох перших обертонів подано на Рис.8.28а.

Можна показати, що при відбиванні від вільного кінця шнура (стержня) фаза відбитої хвилі не набуває додаткового приросту.

Рис. 8.28 Стоячі хвилі поперечних коливань струни.

358

Якщо один кінець шнура (стержня) закріплений, наприклад, при z = l , а другий при z = 0

лабораторній роботі фізичного практикуму коливання основного тону та різних обертонів струни збуджують шляхом прикладання до ділянок, що відповідають пучностям, періодичної сили відповідної частоти ν n . Розподіли типу Рис.8.28б типові для стоячих звукових хвиль у трубках

відкритих з одного кінця або обох кінців (органні труби, свистки, тощо). На Рис.29 показана схема лабораторної установки для вимірювання швидкості звуку в повітрі. Поблизу відкритого кінця трубки 1 розміщено невеличкий гучномовець 2, плоска мембрана якого створює повздовжні звукові хвилі певної частоти ν . Висоту l повітряного стовпа в трубці 1 можна змінювати змінюючи в ній рівень води переміщенням у вертикальному напрямі сполученої з нею гнучкою трубкою посудини 3. При утворенні стоячої хвилі в трубці пучність завжди буде на відкритому

360

розподіл відхилення струни на ділянці між двома вузлами стоячої хвилі ζ (z,0) = 0 у деякий момент часу t = 0 , коли всі частинки струни проходять через положення рівноваги,та розподіл

ζ (z,T / 4) , що відповідає максимально можливому відхиленню всіх точок струни в момент часу t = T / 4 . На Рис. 8.30б подано відповідні розподіли густини кінетичної енергії wT (z,0) та

wT (z,T / 4) , а на Рис. 8.30в – відповідні розподіли густини потенціальної енергії wU (z,0) та

wU (z,T / 4) . При t = 0 швидкість кожної ділянки струни є максимально можливою, а деформація

на всіх ділянках дорівнює нулю. Відповідно, wU (z,0) = 0 для всіх ділянок струни, а wT (z,0) має

максимум при умові cos2 kz = 1 у місці розташування пучності посередині між вузлами. За

чверть періоду при t = T / 4 відхилення кожної ділянки струни і її деформація є максимально можливими, а швидкість усіх ділянок дорівнює нулю. Відповідно, wT (z,T / 4) = 0 для всіх ділянок

струни, а wU (z) має максимум при умові sin2 kz = 1, тобто у місцях розташування вузлів. Таким

чином, двічі за період повна енергія стоячої хвилі то повністю перетворюється на кінетичну енергію зосереджену переважно біля пучностей стоячої хвилі (де знаходяться пучності швидкості), то повністю перетворюється на потенціальну енергію зосереджену переважно біля вузлів стоячої хвилі (де знаходяться пучності деформації). При цьому має місце перетікання енергії від кожної пучності до сусідніх вузлів і навпаки. Потік енергії через вузли при цьому відсутній21. Це дає можливість подати енергію стоячої хвилі як суму енергій, що припадають на

кожну пучність. Оскільки ці енергії EÏ однакові, то повна механічна енергія E стоячої хвилі, в

якій нараховується n пучностей, є E = nEÏ . Енергію EÏ можна розглядати як енергію деякого осцилятора, для якого EÏ = T + U . Це дає можливість говорити про те, що повна механічна

енергія середовища, в якому існують стоячі хвилі, може бути представлена як сума енергій осциляторів. Такий підхід часто застосовується в фізиці підрахунку густини енергії різних хвиль як пружних так і електромагнітних.

21 Середній за часом потік енергії через будь-який переріз z = const дорівнює нулю.