Mech-Slobod

391

Із релятивістського виразу для повної енергії (9.37) масивної частинки (тіла) випливає надзвичайно важливий і кардинально відмінний від нерелятивістської механіки наслідок, який полягає в тому, що енергія частинки (тіла) не є нульовою навіть тоді, коли таке тіло перебуває у

Ця формула була отримана Айнштайном у 1905 р. Вона стала символом фізики ХХ сторіччя і найбільш вагомим і найбільш відомим практичним наслідком теорії відносності, головним чином завдяки ядерній енергетиці та ядерній зброї, хоча вона має універсальний характер і тією самою мірою застосовна і до звичайної енергетики, заснованій на спалюванні вугілля чи газу, і до звичайної вибухівки на кшталт динаміту або тринітротолуолу.

На Рис.9.7 показано авіаносець

«Ентерпрайз» з ядерною силовою установкою і з ядерною зброєю на борту,

екіпаж якого вишикувався на палубі, щоб вшанувати формулу, яка лежить в основі його могутності.

Кінетичну енергію Eк можна

знайти як різницю повної енергії E та

енергії спокою E0 :

При малих швидкостях ( β = υc << 1) для кінетичної енергії частинки маємо

тобто вираз добре відомий із ньютонівської механіки. Аналогічно при граничному переході

а при збільшенні p вона стає сублінійною і при великих значеннях p асимптотично наближається до швидкості світла c . Швидкість безмасових частинок завжди дорівнює c . Добуток графіків c = const та p дає нам залежність енергії безмасової частинки від імпульсу, зображену штриховою прямою.

Таким чином, при малих імпульсах p маємо нерелятивістську (ньютонівську) механіку з квадратичною залежністю енергії частинки від її імпульсу та з лінійним зв’язком між імпульсом і швидкістю. При великих імпульсах p маємо релятивістську механіку, в якій, навпаки, має місце майже лінійна залежність енергії від імпульсу і нелінійний зв’язок між імпульсом і швидкістю.

Необхідно підкреслити, що в СТВ так само, як і в механіці Ньютона, мають місце закони

збереження енергії та імпульсу вільної частинки та замкненої системи частинок. Як і у

ньютонівській механіці, в СТВ енергія та імпульс адитивні: повна енергія та імпульс системи, що

складається з n вільних частинок, дорівнюють, відповідно

В СТВ маса замкненої системи також зберігається, тобто не змінюється з часом, але, як буде

видно з наведених нижче прикладів, не має властивості адитивності.

Розглянемо систему, що складається з двох фотонів (безмасових частинок, маса кожної з

яких m = 0 ), які розлітаються в протилежних напрямах і мають однакову енергію E . Легко

бачити що сумарний імпульс такої системи дорівнює нулю, а її сумарна енергія (енергія спокою)

дорівнює 2E . Таким чином, маса системи двох фотонів, що розлітаються у двох прямо

протилежних напрямках відмінна від нуля і дорівнює 2cE2 , тобто адитивність маси не має місця.

Легко переконатися, що система двох фотонів матиме нульову масу лише тоді, коли вони

рухаються в одному напрямку.

395

тобто маса атома водню як замкненої системи, що складається з протона та електрона, не дорівнює сумі мас протона та електрона, а дещо менша за цю суму,

причому це зменшення,

яке називають дефектом маси, пов’язане з рухом частинок всередині системи. Можна зробити чисельну оцінку цього зменшення, використавши відоме співвідношення між швидкістю

електрона на першій боровській орбіті та швидкістю світла υce ≈ 1371 (ця величина відома у

фізиці як так звана стала тонкої структури). Дефект мас у цьому випадку складає приблизно

3 10−5 me або 3 10−7 (me + mp ) , тобто він є порядку десятимільйонної частки маси атома водню.

Значно більший дефект маси має місце у випадку ядра важкого ізотопу водню – так званого дейтрону, системи, що складається із протона та нейтрона:

mD < mp + mn , ∆m = mp + mn − mD ≈ 10−3 (mp + mn ).

Більша величина дефекту маси для дейтрона (приблизно на 0,1 % суму мас протона та нейтрона) пояснюється тим, що енергія зв’язку цих нуклонів у ядрі значно більша, ніж енергія зв’язку електрона з ядром в атомі водню (основний внесок у притягання між нуклонами дає сильна взаємодія, яка на два порядки інтенсивніша за електромагнітну, причому на відстанях

порядку 10−15 м, що значно менше за радіус першої борівської орбіти в атомі водню (10−10 м) ).

Ці приклади дають підставу для парадоксального з точки зору повсякденного досвіду висновку, що сума мас черепків розбитого горщика в принципі не дорівнює масі цілого горщика. Рівність може бути досягнута з тим більшою точністю, чим менша енергія взаємодії цих черепків між собою в складі цілого горщика за його енергію спокою. Оскільки у повсякденній людській діяльності ця умова безперечно виконується для всіх макроскопічних тіл в усіх явищах,

в яких беруть участь ці тіла, то адитивність маси видається нам незаперечним фактом. Але при переході до систем, в яких енергія зв’язку між її складовими становить помітну частку від суми

396

енергій спокою їх складових, незаперечним експериментально підтвердженим фактом стає саме неадитивність маси.

Поява дефекту маси, наприклад, у процесі утворення дейтрона, розглянутого вище, не може бути підставою для тверджень про «зникнення» маси або про «перетворення маси в енергію» і

навпаки, які, начебто, випливають з рівняння (9.35). Перетворення однієї фізичної величини в іншу є незбагненним від самого початку, оскільки фізичні величини вводяться як кількісні характеристики властивостей матеріальних об’єктів. Тому твердження про перетворення однієї фізичної величини, яка має певну розмірність, в іншу фізичну величину, яка має іншу розмірність,

еквівалентне абсурдному твердженню про перетворення однієї властивості матеріального об’єкту на його іншу властивість. Таким самим нелогічним є твердження про те, що рівняння (9.35)

виражає «еквівалентність маси та енергії». Це рівняння виражає собою не більше ніж пропорційність маси та енергії (більш точно, пропорційність маси та енергії спокою)13. Якщо зберігається повна енергія системи, то з цього ще не випливає, що зберігається її маса, оскільки повна енергія частинки (тіла, системи) в загальному випадку є її енергія спокою плюс кінетична енергія. Тому коли в межах закону збереження енергії для замкненої системи частинок змінюється кінетична енергія, то енергія спокою зазнає зміни з протилежним знаком, що тягне за собою зміну маси відповідно до рівняння (9.35), яке, як уже неодноразово відзначалося, виражає собою пропорційність маси та енергії спокою14. Таким чином, при здійсненні і так званих ядерних, і так званих хімічних реакцій (перетворень) якщо і можна говорити про перетворення «чогось» у «щось», то це про перетворення енергії спокою в кінетичну енергію і навпаки, тобто енергії в енергію, а не в якусь іншу величину. Розглянемо декілька хрестоматійних прикладів, які підтверджують сказане.

від одного мають відносну швидкість близьку до нуля, починають зближуватись і анігілюють з

13Тут доцільно провести аналогію з поняттями інертної та гравітаційної мас, які є пропорційними одна одній, але є мірою різних властивостей тіл.

14Ця пропорційність дає можливість порівнювати маси елементарних частинок порівнюючи відповідні енергії спокою. Відповідно до цього у фізиці елементарних частинок набув поширення професійний жаргон, відповідно до якого маса електрона складає 0,511 МеВ, маса протона 938,3 МеВ, маса нейтрона 939,57 Мев тощо. Треба пам’ятати, що всі ці величини є енергії спокою. Ними зручніше користуватися при аналізі реакцій між частинками, оскільки закон збереження енергії виконується завжди.

2. У термоядерній реакції перетворення чотирьох протонів p та двох електронів e в ядро

атома гелію 4 He та два нейтрино ν

2e + 4 p→4He + 2ν + Ek

енергія спокою частинок, що вступають в реакцію є 2 0,51+ 4 938,3 = 3754,22 МеВ, а енергія

спокою ядра атома гелію 4 He складає 3728,54 МеВ. Енергія спокою зменшується при цьому на

величину ∆E0 = 25,67 МеВ. Отже, відносне зменшення енергії спокою, а також рівний йому

відносний дефект маси ∆mm становить величину порядку одного відсотка (приблизно 0,7 10-2 ),

тобто лише мала частина енергії спокою двох електронів та чотирьох протонів переходить у кінетичну енергію продуктів реакції.

3. В ядерній реакції поділу ядра після захоплення ядром 235U повільного нейтрону, яка відіграє основну роль в сучасній ядерній енергетиці, утворюються два ядра-осколки та 2 або 3 нейтрони,

сумарна кінетична енергія яких Ek ≈ 200 МеВ. У цьому випадку відносна частка енергії спокою,

яка перетворилася в кінетичну енергію, становить величину 0,9 10−3 . Ясно, що відносне зменшення маси продуктів реакції має таку саму величину. В ядерному реакторі кінетична енергія продуктів реакції переходить в тепло теплоносія, яке може бути використане для виконання механічної роботи або для виробництва електроенергії.

4. Тепер розглянемо приклади реакцій згоряння деяких типових речовин, які використовують як паливо: вуглецю, метану та водню. В нижченаведеній таблиці подано рівняння відповідних

реакцій, сумарну масу речовин m , що вступають в реакцію, сумарну енергію спокою E0 цих

399

внутрішня енергія води зростає за рахунок так званої прихованої теплоти топлення, яка надходить

із оточуючого середовища, і, відповідно, зростає маса води, причому ∆mm =3,7·10-12. І нарешті,

внутрішня енергія тіла може бути змінена простим його нагріванням. Так, якщо нагріти залізну

праску на 200º, то відносне збільшення її маси становитиме ∆mm =10-12.

Співвідношення (9.31) та (9.31) разом із законами збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу успішно застосовуються при аналізі руху та перетворень релятивістських частинок.

Цьому сприяє той факт, що експериментально вимірюють імпульси і енергії частинок до і після акту взаємодії (зіткнення, розсіяння, розпад тощо), коли відстані між частинками достатньо великі,

щоб можна було знехтувати взаємодією між ними і вважати їх вільними. В зв’язку з цим, а також з ряду інших причин (наприклад, хвильові властивості, невизначеність поняття траєкторіі, реакції між частинками) рівняння руху у вигляді другого закону Ньютона за участі його суттєвого атрибуту – сили, в цій ділянці практично не застосовуються. В той же час для інженерних розрахунків, наприклад, розрахунків руху релятивістських заряджених частинок в прискорювачах

де p є релятивістський імпульс у формі (9.33), яка є прямим наслідком основних співвідношень

(9.34) та (9.35). Відзначимо, що при дії постійної сили F релятивістський імпульс, як і у випадку

ньютонівської механіки, лінійно зростає з часом, pG = Ft. При цьому також зростає енергія

p практично лінійно: E ≈ pc = Ftc . З цієї точки зору немає принципових обмежень на те, щоб надати частинці як завгодно великий імпульс – питання полягає лише, чи маємо ми джерело енергії відповідної величини E = pc ! Інша справа, що, як було показано вище, швидкість