Mech-Slobod

261

Якщо припустити, що сила, яка прикладена до яблука з боку Землі й спричинює прискорення його вільного падіння на Землю, має таку саму природу, що й сила, яка прикладена до Місяця з боку Землі й спричинює його рух по орбіті, то для яблука можна записати

яблуком і центром Землі.

З рівностей (7.10) та (7.11) випливає просте співвідношення між прискореннями яблука та Місяця

прискорень яблука та Місяця з великою точністю дорівнює квадрату оберненого відношення відстаней від центра Землі до яблука і до Місяця у повній відповідності до формули (7.12), що є вагомим аргументом на користь зробленого припущення про однакову природу сил тяжіння між небесними тілами і силою тяжіння поблизу поверхні Землі. Саме це дає підстави називати закон яжіння (7.1) всесвітнім або універсальним6, оскільки він справедливий для всіх без виключення тіл у Всесвіті.

6Термін універсальний походить від латинського universalis − всеосяжний, загальний, який, у свою чергу, походить від латинського universum − загальне, Всесвіт.

263

7.2. Рух частинки в полі центральної сили, обернено пропорційної квадрату відстані до силового центру

7.2.1 Рух частинки в полі центральної сили

Застосуємо закони збереження моменту імпульсу та енергії до розгляду руху частинки в полі центральної сили.

Оскільки момент центральної сили F = f (r) rr відносно центра силового поля завжди дорівнює

нулю:

то момент імпульсу частинки в полі центральної сили, визначений відносно центра поля,

зберігається,

L = [r × p] = const .

Оскільки центральна сила є консервативна сила, то повна механічна енергія частинки в полі центральної сили також зберігається:

E = mυ 2 +U (r) = const .

2

Оскільки напрям вектора L є незмінним у просторі, а радіус-вектор частинки r та вектор її імпульсу p , а отже і вектор швидкості, перпендикулярні до L , траєкторія частинки повністю лежить в одній площині, перпендикулярній до вектора L . Рівняння цієї площини є (L r ) = 0 , тобто вона

проходить через центр поля (силовий центр).

Оберемо напрям осі OZ декартової системи координат вздовж вектора L . Тоді відмінною від нуля буде лише проекція вектора L на цю вісь, Lz = L . Траєкторія частинки при такому виборі

системи координат повністю лежить в площині XOY . У координатному записі маємо такі вирази для величини моменту імпульсу та для повної механічної енергії частинки

Таким чином, вираз для повної енергії частинки в центральному полі має такий самий вигляд як і для повної енергії частинки при одновимірному русі (див. формулу (5.56)), де потенціальну

енергію U (r) замінено на потенціальну енергію Uеф(r) . Отже рух частинки в радіальному

напрямку можна розглядати як одновимірний рух у полі з ефективною потенціальною енергією

Uеф(r) . Швидкість такого руху є

частинки в центральному полі називають квазіодновимірним.

Рівняння траєкторії частинки в полярних координатах можна знайти з рівності (7.22),

підставимо в неї dt , знайдене з рівності (7.25),

266

і отримаємо зв’язок між диференціалами dϕ та dr

залежить від конкретного виразу для потенціальної енергії U (r) .

Ясно, що при наявності залежності ϕ = ϕ (r) можна, в принципі, знайти й обернену залежність

r = r(ϕ ) .

Як і у випадку істинного одновимірного руху, квазіодновимірний рух можливий лише при

таких r , при яких E − Uеф ≥ 0. При цьому він може бути як інфінітним, якщо область можливих значень r обмежена лише знизу, r ≥ rmin , або фінітним, якщо rmax ≥ r ≥ rmin . При цьому характер

руху і розміри області, в якій він можливий, визначаються конкретним виглядом потенціальної енергії U (r) і повною механічною енергією частинки. Приклади руху частинки в полі з

потенціальною енергією U (r) = rαn при різних значеннях α та n подано на Рис.7.5.

Необхідно відзначити, що навіть при фінітному русі, коли траєкторія частинки повністю лежить в кільцевій області rmax ≥ r ≥ rmin , вона в загальному випадку не є замкненою. Умова замкненості

може бути отримана з таких міркувань. Одновимірний радіальний фінітний рух частинки є

267

Рис. 7.5. Рух частинки в центральному полі

періодичним. Цей період дорівнює проміжку часу, за який частинка, починаючи рухатись від

268

За цей час радіус-вектор частинки повернеться на кут

прийде в ту саму точку простору і траєкторія замкнеться. Таким чином, траєкторія частинки буде

2π

замкненою, якщо відношення ∆ϕ є раціональне число. Відомо два типи центральних полів, у яких

траєкторії фінітних рухів замкнені: поля, в яких потенціальна енергія частинки обернено пропорційна

віддалі від силового центра, U (r) ~ r−1 та поля, в яких потенціальна енергія частинки прямо

пропорційна квадрату віддалі від силового центра U (r) ~ r2 . До першого типу належать

гравітаційне поле точкової маси та електростатичне поле точкового заряду, а до другого − поле квазіпружної сили.

7.2.2 Рух частинки під дією центральної сили, обернено пропорційної квадрату відстані до силового центру

Дослідимо тепер рух частинки в полі з U (r) = αr , зокрема знайдемо явний вигляд можливих

траєкторій, спираючись на результат отриманий вище для довільного центрального поля, а саме на рівняння траєкторії частинки в полярних координатах (7.30) з ефективною потенціальною енергією

270

Рівняння (7.40) є відомим з аналітичної геометрії рівнянням конічних перерізів, яке зв’язує так

званий фокальний радіус-вектор r з полярним кутом θ . Залежно від значень фокального параметра p та ексцентриситету e це рівняння може визначати еліпс ( e < 1), параболу ( e = 1) або гіперболу

( e > 1).

У випадку притягання частинки до силового центру (α < 0 ) у рівнянні (7.40) необхідно брати

знак «+»

а у випадку відштовхування частинки від силового центру (α > 0 ) необхідно брати знак «−»

Аналіз різних випадків руху частинки відповідно до (7.41) і (7.42) подано на Рис. 7.6, у верхній

частині якого наведено графіки залежності ефективної потенціальної енергії Uеф від відстані до

силового центру r , а нижче при збереженні одного й того ж масштабу по осі абсцис зображено траєкторії частинок при різних значеннях їх повної енергії E як для випадку притягання(α < 0 ), так і для випадку відштовхування (α > 0 ). Там же показано додаткові побудови і наведено параметри,

які використовуються для опису кривих другого порядку (асимптоти, півосі, директриси тощо).